二次函数y=ax²的图象和性质课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2二次函数的图象和性质26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质新课导入1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是______________________．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是________________．一条经过(0，b)的直线过原点的直线2．描点法画出一次函数的步骤：分别为________、________、________三个步骤．3．我们把形如__________________的函数叫作二次函数．列表描点连线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)探究新知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)最简单的二次函数y=ax2y=x2回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？1.列表：在y=x2中，自变量x可以是任意实数.x···-3-2-10123···y=x2······2.描点.3.连线.y=x2用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸.画二次函数y=x2的图象.9410149可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线

y=ax2+bx+c.y=x2二次函数y=x2的性质.y轴是抛物线y=x2的对称轴.抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点.实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.y=x2y=x2y＝x2的图象是一条抛物线；图象开口向上；图象关于y轴对称；顶点（0，0）；图象有最低点．你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？y=x2当x<0时，

y随着x的增大而减小；

当x>0时，y随着x的增大而增大.从二次函数y=x2的图象可以看出：

x···-4-3-2-101234···y=x2······x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=2x2······84.520.500.524.5884.520.500.524.58y=2x2观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？y=x2y=2x2①图象开口向上；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最低点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.思考：

开口大小y=x2y=2x2①图象开口向上；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最低点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.⑥a越大，抛物线的开口越小.思考：当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？探究：回顾上面研究二次函数y=ax2（a>0）的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax2（a<0）的图象和性质吗？

(1)列表；x···-4-3-2-101234···y=-x2···-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8···x···-3-2-10123···y=-x2···-9-4-10-1-4-9···(2)描点；(3)连线.y=－x2y=-2x2x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=-2x2···-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8···仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？①图象开口向下；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最高点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.⑥a越小，抛物线的开口越小.y=－x2y=-2x2y=ax2a>0a<0图象位置开口方向开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方对称性关于y轴对称，对称轴是直线x=0顶点最值顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.知识归纳1．二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线．我们把二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫作抛物线y＝ax2＋bx＋c.2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是_______，顶点是_______．当a＞0时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最_______点，当a＜0时，抛物线的开口向_______，顶点是抛物线的最_______点．y轴原点向上低下高3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______．减小增大增大减小例1例题与练习

已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．(1)求m的值．解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4.(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2.(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.例2

二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).(1)求a，m的值；解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，∴点P的坐标为(1，1).将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1.得m＝2×1－1＝1，(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大.（1）y=3x2；

（2）y=−3x2；1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=3x2y=−3x22.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况：（1）y=4x2；

向上y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而减小；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而增大.（2）y=−4x2；向下y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而增大；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而减小.

向上y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而减小；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而增大.

向下y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而增大；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而减小.

上y轴(0，0)下y轴(0，0)4．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1______y2.5．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是______．＜0课堂小结1．如何画出函数y＝ax2的图象？2．函数y＝ax2具有哪些性质？随堂检测1、已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（）C2、如图，二次函数y=2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰