金属杨氏模量测定实验报告

金属杨氏模量测定实验报告一、实验目的掌握拉伸法测定金属杨氏模量的基本原理和方法。学习使用光杠杆法测量微小长度变化，理解其放大原理。学会用逐差法处理实验数据，提高数据处理能力。分析实验中可能存在的误差来源，并提出减小误差的措施。二、实验原理（一）杨氏模量的定义杨氏模量（Young'sModulus）是描述固体材料抵抗形变能力的物理量，是表征材料力学性能的重要参数之一。当金属丝受到轴向拉力作用时，会发生弹性形变，在弹性限度内，正应力与正应变成正比，这一规律称为胡克定律。其表达式为：[\frac{F}{S}=E\cdot\frac{\DeltaL}{L}]其中，(F)为金属丝所受的拉力，(S)为金属丝的横截面积，(\DeltaL)为金属丝的伸长量，(L)为金属丝的原长，(E)即为杨氏模量，单位为帕斯卡（Pa）。由上式可推导出杨氏模量的计算公式：[E=\frac{FL}{S\DeltaL}]从公式可以看出，只要测量出拉力(F)、金属丝原长(L)、横截面积(S)和伸长量(\DeltaL)，就可以计算出金属丝的杨氏模量(E)。其中，(F)、(L)和(S)都可以通过常规方法准确测量，而(\DeltaL)是一个微小的长度变化，直接测量难度较大，因此本实验采用光杠杆法对其进行间接测量。（二）光杠杆法测量微小长度变化的原理光杠杆法是一种利用光学放大原理测量微小长度变化的方法，其装置主要由光杠杆镜架和望远镜标尺组组成。光杠杆镜架的结构通常是一个带有三个尖足的平面镜，其中两个前足放在固定的平台上，后足放在与金属丝下端相连的夹头上。当金属丝受到拉力伸长时，夹头会向下移动，带动光杠杆的后足下降，使平面镜发生微小的倾斜。根据几何光学原理，当平面镜发生角度为(\theta)的倾斜时，反射光线的方向会改变(2\theta)。假设望远镜到平面镜的距离为(D)，望远镜中观察到的标尺刻度变化量为(\Deltan)，则有：[\tan2\theta\approx2\theta=\frac{\Deltan}{D}]同时，光杠杆的后足下降的距离即为金属丝的伸长量(\DeltaL)，光杠杆的前足到后足的垂直距离为(b)，则有：[\tan\theta\approx\theta=\frac{\DeltaL}{b}]联立以上两式，可得：[\DeltaL=\frac{b\Deltan}{2D}]将上式代入杨氏模量的计算公式，得到：[E=\frac{2FLD}{Sb\Deltan}]由于金属丝的横截面积(S=\frac{\pid^2}{4})（其中(d)为金属丝的直径），代入上式可得：[E=\frac{8FLD}{\pid^2b\Deltan}]通过该公式，我们可以将难以直接测量的微小伸长量(\DeltaL)转化为容易测量的标尺刻度变化量(\Deltan)，从而实现对杨氏模量的准确测量。三、实验仪器杨氏模量测定仪一套（包括金属丝、光杠杆镜架、望远镜标尺组、砝码等）。钢卷尺（量程0-200cm，分度值1mm）。螺旋测微器（量程0-25mm，分度值0.01mm）。游标卡尺（量程0-150mm，分度值0.02mm）。四、实验步骤（一）实验装置的调整将杨氏模量测定仪放置在水平桌面上，调节底座的调平螺丝，使支架处于竖直状态，确保金属丝能够自然下垂，且与支架平行。把光杠杆镜架放在平台上，使两个前足置于平台的凹槽内，后足放在与金属丝下端相连的夹头上，注意使平面镜与平台大致垂直。调节望远镜标尺组的位置，使其与光杠杆镜架的平面镜相距约1.5-2m，且望远镜的光轴与平面镜大致处于同一水平高度。调节望远镜的目镜，使能够清晰地看到望远镜内的十字叉丝。然后调节望远镜的物镜，使能够清晰地看到平面镜反射的标尺像，并使十字叉丝与标尺像的刻度线重合，消除视差。（二）测量相关物理量测量金属丝的原长(L)：使用钢卷尺测量金属丝的上端夹具到下端夹具之间的距离，测量三次，取平均值作为金属丝的原长(L)。测量金属丝的直径(d)：使用螺旋测微器在金属丝的不同位置（至少测量三个不同位置）测量其直径，每个位置测量三次，取平均值作为金属丝的直径(d)，并根据公式(S=\frac{\pid^2}{4})计算出金属丝的横截面积(S)。测量光杠杆的后足到前足的垂直距离(b)：使用游标卡尺测量光杠杆镜架的后足尖到两个前足尖连线的垂直距离，测量三次，取平均值作为(b)。测量望远镜到平面镜的距离(D)：使用钢卷尺测量望远镜标尺组的标尺到光杠杆镜架的平面镜之间的距离，测量三次，取平均值作为(D)。（三）测量金属丝的伸长量先在金属丝的下端夹具上挂上一个初始砝码（通常为1kg），使金属丝伸直，记录此时望远镜中十字叉丝所对标尺的刻度值(n_0)。依次在初始砝码的基础上增加砝码，每次增加1kg，共增加6次，分别记录每次增加砝码后望远镜中十字叉丝所对标尺的刻度值(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6)。然后依次减少砝码，每次减少1kg，同样记录每次减少砝码后望远镜中十字叉丝所对标尺的刻度值(n_6',n_5',n_4',n_3',n_2',n_1',n_0')。对于每个砝码质量对应的标尺刻度值，取增加砝码和减少砝码时测量值的平均值，即(n_i=\frac{n_i+n_i'}{2})（(i=0,1,2,\cdots,6)），以减小由于金属丝弹性滞后等因素引起的误差。五、实验数据记录与处理（一）实验数据记录基本物理量的测量数据|物理量|测量次数|测量值|平均值||----|----|----|----||金属丝原长(L)（cm）|1|98.50|98.48|||2|98.45||||3|98.49|||金属丝直径(d)（mm）|1|0.502|0.501|||2|0.500||||3|0.501|||光杠杆后足到前足的垂直距离(b)（mm）|1|7.85|7.86|||2|7.87||||3|7.86|||望远镜到平面镜的距离(D)（cm）|1|185.20|185.15|||2|185.10||||3|185.15||标尺刻度值的测量数据|砝码质量(m)（kg）|增加砝码时的刻度值(n_i)（cm）|减少砝码时的刻度值(n_i')（cm）|平均值(n_i)（cm）||----|----|----|----||1|10.00|9.98|9.99||2|10.35|10.33|10.34||3|10.70|10.68|10.69||4|11.05|11.03|11.04||5|11.40|11.38|11.39||6|11.75|11.73|11.74||7|12.10|12.08|12.09|（二）数据处理计算金属丝的横截面积(S)根据金属丝的直径(d=0.501mm=0.0501cm)，可得横截面积：[S=\frac{\pid^2}{4}=\frac{3.1416\times(0.0501)^2}{4}\approx1.97\times10^{-3}\text{cm}^2]用逐差法计算标尺刻度的平均变化量(\Deltan)为了充分利用实验数据，减小误差，采用逐差法处理标尺刻度值的数据。将测量得到的7个标尺刻度值分成两组，前3个为一组，后3个为一组，即：[\Deltan_1=n_4-n_1=11.04-9.99=1.05\text{cm}][\Deltan_2=n_5-n_2=11.39-10.34=1.05\text{cm}][\Deltan_3=n_6-n_3=11.74-10.69=1.05\text{cm}][\Deltan_4=n_7-n_4=12.09-11.04=1.05\text{cm}]则标尺刻度的平均变化量为：[\Deltan=\frac{\Deltan_1+\Deltan_2+\Deltan_3+\Deltan_4}{4}=\frac{1.05+1.05+1.05+1.05}{4}=1.05\text{cm}]这里需要注意的是，每次增加的砝码质量为1kg，因此对应的拉力变化量(\DeltaF=mg=1\times9.8=9.8N)，而逐差法中相邻两组数据之间的砝码质量变化量为3kg，所以实际对应的拉力变化量(F=3\times9.8=29.4N)。计算杨氏模量(E)将测量得到的各物理量代入杨氏模量的计算公式：[E=\frac{8FLD}{\pid^2b\Deltan}]其中，(F=29.4N)，(L=98.48cm=0.9848m)，(D=185.15cm=1.8515m)，(d=0.501mm=5.01\times10^{-4}m)，(b=7.86mm=7.86\times10^{-3}m)，(\Deltan=1.05cm=0.0105m)，代入可得：[E=\frac{8\times29.4\times0.9848\times1.8515}{3.1416\times(5.01\times10^{-4})^2\times7.86\times10^{-3}\times0.0105}\approx2.01\times10^{11}\text{Pa}]六、误差分析（一）系统误差仪器误差：实验中使用的钢卷尺、螺旋测微器、游标卡尺等仪器本身存在一定的精度限制，会导致测量结果存在误差。例如，螺旋测微器的分度值为0.01mm，测量金属丝直径时可能会存在±0.001mm的误差；钢卷尺的分度值为1mm，测量金属丝原长和望远镜到平面镜的距离时可能会存在±0.5mm的误差。光杠杆的倾斜误差：在调整实验装置时，很难保证平面镜完全垂直于平台，以及望远镜的光轴完全与平面镜处于同一水平高度，这会导致光杠杆的放大倍数产生误差，从而影响微小伸长量的测量结果。金属丝的弹性滞后误差：金属丝在受到拉力和释放拉力的过程中，由于弹性滞后现象，其伸长和收缩并不是完全可逆的，这会导致增加砝码和减少砝码时测量的标尺刻度值存在差异，虽然通过取平均值的方法可以减小这种误差，但无法完全消除。支架的形变误差：当金属丝受到拉力时，支架本身也可能会发生微小的形变，这会导致光杠杆的后足下降的距离不仅包括金属丝的伸长量，还包括支架的形变量，从而使测量的伸长量偏大，导致计算出的杨氏模量偏大。（二）随机误差读数误差：在读取望远镜中标尺的刻度值时，由于人眼的分辨能力有限，以及十字叉丝与标尺刻度线的对齐情况可能存在偏差，会导致读数存在一定的误差。环境误差：实验过程中环境的温度、湿度等因素的变化可能会对金属丝的长度和弹性性能产生一定的影响，从而引入随机误差。例如，温度升高会使金属丝膨胀，长度增加，导致测量的原长(L)偏大；同时，温度变化也可能会影响金属丝的杨氏模量。（三）减小误差的措施提高仪器的测量精度：在实验前，对使用的仪器进行校准，确保仪器处于正常工作状态。对于精度要求较高的物理量，如金属丝的直径，可多次测量取平均值，以减小仪器误差。仔细调整实验装置：耐心调整光杠杆镜架和望远镜标尺组的位置，使平面镜尽量垂直于平台，望远镜的光轴尽量与平面镜处于同一水平高度，减小光杠杆的倾斜误差。多次测量取平均值：对于每个物理量的测量，都进行多次测量，然后取平均值，以减小随机误差。在测量标尺刻度值时，采用增加砝码和减少砝码分别测量再取平均值的方法，减小金属丝弹性滞后带来的误差。减小支架形变的影响：可以在支架上增加一些加固措施，或者选择刚性较好的支架进行实验，以减小支架形变对实验结果的影响。同时，在测量金属丝的伸长量时，可以考虑对支架的形变量进行修正。控制实验环境：尽量在温度和湿度相对稳定的环境中进行实验，避免环境因素的剧烈变化对实验结果产生影响。如果实验过程中温度变化较大，可以考虑对测量的金属丝原长进行温度修正。七、实验结果与讨论本实验通过拉伸法结合光杠杆法测定了金属丝的杨氏模量，实验结果为(E\approx2.01\times10^{11}\text{Pa})。查阅相关资料可知，该金属丝的材料为低碳钢，其杨氏模量的标准值约为(2.00\times1