八省八校T8联考2026届高三下学期第二次质量检测（4月联合测评）数学试卷（含解析）

八省八校T8联考2026届高三下学期第二次质量检测（4月联合测评）数学试卷一、选择题1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.2．已知复数的实部与虚部相等，则实数(

)A. B. C. D.33．已知数列的前n项和，若，p，q为正整数，则(

)A.4052 B.2026 C. D.4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则(

)A. B. C.1 D.2 5．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量a在平面上的投影向量是(

)A. B. C. D.6．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则(

)A.2 B.3 C.4 D.57．已知，，，则(

)A. B. C. D.8．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线右支上一点，的平分线交x轴于点，令，，若，则双曲线C的离心率为(

)A. B. C. D..二、多项选择题9．设A，B为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是(

)A.若事件A，B互斥，则B.若事件A，B互斥，则C.若事件A，B相互独立，则D.若，则10．已知在棱长为1的正方体中，M为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是(

)A.若平面BDM，则DM的最大值为B.若点M在线段上，则的最小值为C.存在点M，使得点和点C到平面的距离相等D.三棱锥外接球的体积的最小值是11．已知三个不同的实数x，y，z满足，且，，则(

)A. B.C. D.的最小值是三、填空题12．的展开式中的系数为________________.13．在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点C的纵坐标为________________.14．已知数列的前n项和为，若，，则________________.四、解答题15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C的取值范围；（2）求的取值范围.16．如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，，E为线段上靠近的三等分点，F为线段BC的中点.（1）求证：平面ACE；（2）求点到平面ACE的距离.17．已知椭圆的上顶点为P，右焦点为，右顶点为A.（1）若椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，b为半径的圆与直线相切，求椭圆C的标准方程；（2）若直线PF交椭圆C于另一点Q，设直线AP，AQ的斜率分别为，求的值（结果用离心率e表示）.18．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为、试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.（1）记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望；（2）设为第n轮试验使用A型号机器人的概率.①求数列的通项公式；②记为前n轮试验的期望总得分，求关于n的表达式.19．已知函数，若有三个实数解，且.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：①；②.参考答案1．答案：D解析：，，.2．答案：B解析：.复数的实部与虚部相等，，解得.3．答案：A解析：易知数列为等差数列，，，..4．答案：B解析：是定义在R上的奇函数，当时，，解得，当时，，.5．答案：C解析：向量a在法向量n上的投影向量为，向量a在平面上的投影向量是.6．答案：C解析：圆的标准方程为，圆的圆心为，半径为.又圆的圆心为，半径为.两圆的圆心距为.两圆有且仅有三条公切线，两圆外切，，解得.7．答案：A解析：在R上为增函数，，，即.方法一：，，.，即，.方法二：，，.易知时，，，，.，即，.8．答案：D解析：为的平分线，且，，，即.由双曲线定义可得，即，解得，.方法一：设，则由正弦定理得.在中，，.把代入，得，.由得，.把代入，得，，化简得，此时.在中，由余弦定理得，即.两边同除得，即，或（舍去）.方法二：，或，，或.又是的内角，，，，.作的平分线，交于点N.易知，是等腰三角形，，，.又，，.9．答案：ACD解析：若事件A，B互斥，则，，选项A正确，选项B错误；若事件A，B相互独立，则，选项C正确；由得，，选项D正确.10．答案：ACD解析：易知平面.又点M在侧面内，点M的轨迹为线段，当点M在处时，DM取最大值为，选项A正确；将沿翻折到与平面共面，且，C在的异侧.如图，连接，交于点H，则即为的最小值.易知，，最小值为，选项B错误；由平分可知点和点B到平面的距离相等，若点和点C到平面的距离相等，必有平面.又，点M在线段AD上，选项C正确；设平面的中心为，平面的中心为，易知三棱锥外接球的球心O在线段上.令，外接球半径为R，则，.又，，整理得，当时，，此时外接球的体积为，即点M与点重合时，三棱锥外接球的体积取最小值，选项D正确.11．答案：ABC解析：，选项A正确；，.y，z是不同实数，，即.整理得，解得.同理可得.又，，，即，解得或.，，.综上所述，，选项B正确；同理，，解得，选项C正确；，代入，，得，这是关于y的二次函数，开口向上，对称轴，且，对称轴在区间内，最小值在处取得，即最小值为，选项D错误.12．答案：解析：的展开式中的系数即为的展开式中的系数.又二项式的展开式的通项为，令，可得，的展开式中的系数为.13．答案：解析：如图，把函数图象进行平移，使得点A与坐标系原点O重合，得函数的图象，点B，C的对应点分别为，.依题意，可设，则.，，解得（正值舍去）.，即点C的纵坐标为.14．答案：解析：依题意得.当时，，即.设，则，即.又，是以4为首项，2为公比的等比数列，，，即..15．答案：（1）；（2）解析：（1），由正弦定理得，即.为锐角三角形，，即.，，.（2）由正弦定理得.，.16．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）证明：如图1，连接DF交线段AC于点G，连接GE.，，.又，.又平面ACE，平面，平面ACE.（2）如图2，连接，四边形ABCD为菱形，，，，则为等边三角形.又F为BC中点，.又，.易知平面，以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，，E为上靠近的三等分点，.，，.设平面ACE的法向量为，则令，则，，点到平面ACE的距离.17．答案：（1）；（2）解析：（1）依题意得，联立解得椭圆C的标准方程为.（2）依题意得，直线PQ的方程为.联立消去y，得，解得，或.点Q的坐标为，..18．答案：（1）；（2）①；②解析：（1）若得分为0分，则3轮都失败，概率为；若得分为1分，则3轮中只有1轮成功，概率为若得分为2分，则3轮中只有2轮成功，概率为；若得分为3分，则3轮都成功，概率为..（2）①由题意得递推关系得.由，构造等比数列得，通项公式为.②设第k轮得分期望为，则.前n轮期望总得分为.19．答案：（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析解析：（1）令，即.设，则函数的图象与有三个交点.当时，，.易知此时，在区间上单调递减.当时，，.当时，；当时，.在区间上单调递增，在区间上单调递减.当时，；当时，，.要使直线与函数的图象有三个交点，