非线性回归模型及回归分析课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2非线性回归模型及回归分析人教A版2019·选择性必修第三册课程目录01核心概念深入解析非线性回归模型、残差分析方法以及评估模型拟合效果的关键指标，夯实理论基础。02模型线性化重点掌握指数、对数、幂函数及二次函数等常见非线性模型转化为线性模型的实用技巧。03建模步骤梳理从数据收集、模型选择、参数求解到检验评估的非线性回归建模完整流程，建立全局视角。04典例剖析与易错警示结合典型案例进行实战演练，剖析常见的建模误区，帮助大家规避错误，提升解题准确率。一、非线性回归模型什么是非线性相关关系？当两个变量的散点图不呈现“直线带状分布”时，即呈现曲线或不规则形态时，二者存在非线性相关关系。此时，不能直接套用线性回归模型进行分析。核心解题思路：换元线性化通过引入新变量进行替换，将原本复杂的非线性关系转化为我们熟悉的线性回归模型，求解线性方程后，再回代变量，最终得到原变量的非线性回归方程。常见非线性模型类型：•指数函数模型•对数函数模型•幂函数模型•二次函数模型线性相关散点图样本点大致分布在一条直线附近，呈“直线带状”。可以直接用线性回归方程来拟合数据趋势。非线性相关散点图样本点呈现明显的曲线趋势，或无规则分布。需通过换元法将其转化为线性模型求解。这是本节课的重点分析对象。二、非线性回归建模七步法01画散点图根据原始数据绘制散点图，初步判断变量关系的形态，区分线性与非线性。02选模型类型结合散点图的大致形状，选定匹配的非线性模型（如指数、对数、幂函数等）。03换元线性化通过引入新变量进行替换，将复杂的非线性模型转化为标准的线性回归模型。04求线性回归方程利用最小二乘法，对变换后的新变量数据进行拟合，求解出线性回归方程。05回代将步骤3中建立的变量替换关系反向代入到线性方程中，还原得到关于原始变量的非线性回归方程。06残差分析通过绘制残差图或计算决定系数(R²)，检验模型的拟合效果。若效果不理想，则返回步骤2重新选择模型。07预测与应用利用经过检验并最终确定的非线性回归方程，对未知数据进行预测，或者对实际问题进行深入分析与决策。三、指数模型与对数模型

📌核心特征：增长或衰减的速率随变量变化呈加速趋势，即“越变越快”。

📌核心特征：初期变化较快，随着变量增大，变化速率逐渐放缓并趋于稳定。

典型例题讲解

天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190

典型例题讲解

（xi－

）2

（xi－

）·（yi－

）

（xi－

）·（zi－

）3.562.833.5317.5596.50512.04

典型例题讲解（3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379）

三、指数模型与对数模型

📌核心特征：增长或衰减的速率随变量变化呈加速趋势，即“越变越快”。

📌核心特征：初期变化较快，随着变量增大，变化速率逐渐放缓并趋于稳定。

典型例题讲解

典型例题讲解

幂函数模型与二次模型

典型例题讲解例3:“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况.年份20212022202320242025年份代码x12345某新能源汽车年销售量y/万辆1.55.917.732.955.6（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）典型例题讲解

典型例题讲解

四、残差与残差分析残差定义

残差图

拟合效果判断判断模型是否合适的核心依据：随机分布：残差点均匀落在水平带状区域内，且无明显趋势。精度指标：带状区域越窄，说明模型拟合精度越高。五、拟合效果的量化指标除了通过散点图和拟合直线进行直观判断，我们还可以利用以下数值指标来精确衡量模型的拟合优度。残差平方和

概念辨析：不要将决定系数R²与相关系数r混淆。前者衡量