2026年高考北京卷数学必考试题库含答案解析

2026年高考北京卷数学必考试题库含答案解析1.选择题

（1）若函数f(x)=x^33x在区间(a,b)内有两个不同的零点，则实数a和b的取值范围是（）

A.a<2,b>2

B.a<1,b>3

C.a<0,b>2

D.a<1,b>1

答案：C

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。又因为f(2)=2,f(0)=0,f(2)=2，所以函数在(∞,1)和(1,+∞)上单调递增，在(1,1)上单调递减。要使函数在区间(a,b)内有两个不同的零点，则a<0且b>2。

（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=36，则该数列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：设数列的首项为a1，则S3=3a1+3d=12，S6=6a1+15d=36。解这个方程组，得到d=3。

（3）已知函数g(x)=x^22ax+a^2a+3，其中a是实数，那么函数g(x)的最小值是（）

A.3

B.a3

C.a+3

D.a+3

答案：A

解析：g(x)=(xa)^2+a^2a+3，当x=a时，函数取得最小值a^2a+3。又因为a^2a+3=(a1/2)^2+11/4≥11/4，所以函数的最小值为3。

（4）已知函数h(x)=x^24x+3，则方程h(x)=0的根的判别式Δ等于（）

A.4

B.8

C.12

D.16

答案：A

解析：根据判别式公式Δ=b^24ac，代入h(x)的系数，得到Δ=(4)^24×1×3=1612=4。

2.填空题

（1）若a是实数，且a^2+2a3=0，则a的取值范围是_______。

答案：a≤3或a≥1

解析：解方程a^2+2a3=0，得到a=3或a=1。所以a的取值范围是a≤3或a≥1。

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=n^2+n，则数列{bn}的通项公式为bn=_______。

答案：bn=2n1

解析：当n=1时，b1=T1=1^2+1=2；当n≥2时，bn=TnTn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。所以数列{bn}的通项公式为bn=2n1。

（3）已知函数p(x)=x^36x+9，求证：函数p(x)在区间(0,3)上有两个不同的零点。

证明：p'(x)=3x^26，令p'(x)=0，解得x=±√2。当x<√2或x>√2时，p'(x)>0，函数单调递增；当√2<x<√2时，p'(x)<0，函数单调递减。又因为p(0)=9，p(3)=0，所以函数在(0,3)上有两个不同的零点。

3.解答题

（1）已知函数q(x)=x^2+ax+b，其中a,b是实数。若函数q(x)的图像与x轴有两个不同的交点，求a,b的取值范围。

解：由题意，函数q(x)的图像与x轴有两个不同的交点，即方程q(x)=0有两个不同的实根。根据判别式公式Δ=b^24ac，得到a^24b>0。

（2）已知数列{cn}的前n项和为Un，且Un=2^n1。求证：数列{cn}是等比数列。

证明：当n=1时，c1=U1=2^11=1；当n≥2时，cn=Un