2026年高考北京卷数学模拟卷含解析及答案(新课标卷)

2026年高考北京卷数学模拟卷含解析及答案(新课标卷)一、选择题（每小题5分，共35分）

1.若函数f(x)=x^22ax+1在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≤2

C.a≥1

D.a≥2

答案：D

解析：由题意知，f(x)=x^22ax+1在区间(0,+∞)上是增函数，因此导函数f'(x)=2x2a在(0,+∞)上恒大于等于0。解不等式2x2a≥0，得x≥a。因为x>0，所以a≥0。又因为f(x)是二次函数，开口向上，对称轴为x=a，故a≥1。故选D。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n=n(2a1+(2n1)d)，则等差数列{an}的公差d等于（）

A.a1

B.2a1

C.a1/2

D.0

答案：D

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得S2n=2n(a1+a2n)/2。又因为S2n=n(2a1+(2n1)d)，所以2n(a1+a2n)/2=n(2a1+(2n1)d)。化简得a2n=2a1+(2n1)d。又因为a2n=a1+(2n1)d，所以2a1+(2n1)d=a1+(2n1)d。解得d=0。故选D。

3.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调递增区间。

A.(∞,1)∪(1,+∞)

B.(∞,1)∪(1,+∞)

C.(∞,1)∪(1,+∞)

D.(∞,1)∪(1,+∞)

答案：A

解析：求导得f'(x)=3x^23。令f'(x)>0，解得x>1或x<1。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,1)∪(1,+∞)。故选A。

4.设平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B在第一象限的角平分线上，且|AB|=5，求点B的坐标。

A.(3,2)

B.(4,1)

C.(1,4)

D.(3,4)

答案：A

解析：设点B的坐标为(x,y)，则由题意知x=y。因为|AB|=5，所以(x2)^2+(y3)^2=25。代入x=y得(x2)^2+(x3)^2=25。解得x=3，y=2。故点B的坐标为(3,2)。故选A。

5.若三角形ABC的面积为10，且AB=5，AC=4，BC=3，则角BAC的正弦值等于（）

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.3/4

答案：C

解析：由海伦公式得，三角形ABC的面积S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。代入已知数据得10=√[4(45)(44)(43)]。解得角BAC的正弦值为1/2。故选C。

二、填空题（每小题5分，共20分）

6.若函数f(x)=x^36x+9在x=a处取得极值，则a的取值范围是________。

答案：(2,1)

解析：求导得f'(x)=3x^26。令f'(x)=0，解得x=±√2。因为f(x)在x=a处取得极值，所以a=±√2。又因为f(x)在(∞,√2)和(√2,+∞)上单调递增，在(√2,√2)上单调递减，所以a的取值范围是(2,1)。

7.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n=n(2a1+(2n1)d)，则等差数列{an}的首项a1等于________。

答案：d

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得S2n=2n(a1+a2n)/2。又因为S2n=n(2a1+(2n1)d)，所以2n(a1+a2n)/2=n(2a1+(2n1)d)。化简得a2n=2a1+(2n1)d。又因为a2n=a1+(2n1)d，所以2a1+(2n1)d=a1+(2n1)d。解得a1=d。

8.若函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调递减区间是________。

答案：(1,1)

解析：求导得f'(x)=3x^23。令f'(x)<0，解得1<x<1。因此，f(x)的单调递减区间是(1,1)。

9.若三角形ABC的面积为10，且AB=5，AC=4，BC=3，则角BAC的余弦值等于________。

答案：3/5

解析：由余弦定理得，cosBAC=(AB^2+AC^2BC^2)/(2ABAC)。代入已知数据得cosBAC=(25+169)/(254)=3/5。

三、解答题（共45分）

10.（15分）已知函数f(x)=x^36x+9。

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）求f(x)的极值点及极值。

答案：

（1）单调递增区间为(∞,2)和(1,+∞)；

（2）极值点为x=2和x=1，极小值为f(2)=5，极大值为f(1)=5。

解析：

（1）求导得f'(x)=3x^26。令f'(x)>0，解得x>1或x<2。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,2)和(1,+∞)。

（2）令f'(x)=0，解得x=±√2。因为f(x)在(∞,√2)和(√2,+∞)上单调递增，在(√2,√2)上单调递减，所以x=2和x=1是极值点。计算得f(2)=5，f(1)=5，所以极小值为5，极大值也为5。

11.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n=n(2a1+(2n1)d)。

（1）求数列{an}的首项a1和公差d；

（2）证明数列{an}的前n项和Sn为二次函数。

答案：

（1）首项a1=d；

（2）证明：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得Sn=n(a1+a1+(n1)d)/2=n(2a1+(n1)d)/2。由题意知S2n=n(2a1+(2n1)d)，代入Sn得n(2a1+(n1)d)/2=n(2a1+(2n1)d)。化简得Sn=n^2a1/2+n(n1)d/2。因为a1=d，所以Sn=n^2d/2+n(n1)d/2=(n^2+n(n1))d/2=(n^2+n^2n)d/2=n^2d/2+n(n1)d/2。因此，Sn为二次函数。

12.（15分）在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B在第一象限的角平分线上，且|AB|=5。

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AB的方程。

答案：

（1）点B的坐标为(3,2)；

（2）直线AB的斜率为(23)/(32)=1。因此，直线AB的方程为y3=1(x2)，即y=x+5。

解析：

（1）设点B的坐标为(x,y)，则由题意知x=y。因为|AB|=5，所以(x2)^2+(y3)^2=25。代入x=y得(x2)^2+(x3)^2=25。解得x=3，y=2。故点B的坐标为(3,2)。

（2）直线AB的斜率为(23)/(32)=1。因此，直线AB的方程为y3=1(x2)，即y=x+5。

13.（15分）在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的面积为10，且AB=5，AC=4，BC=3。

（1）求角BAC的正弦值和余弦值；

（2）求三角形ABC的周长。

答案：

（1）角BAC的正弦值为1/2，余弦值为3/5；

（2）三角形ABC的周长为12。

解析：

（1）由海伦公式得，三角形ABC的面积S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。代入已知数据