第八章资料储存与运算

1第八章資料儲存與運算※手動換頁李明山編撰2目錄8-1資料儲存8-1-1數字系統8-1-2資料儲存單位8-1-3數值資料表示法8-1-4文字資料表示法8-2資料運算8-2-1數值運算8-2-2數位邏輯

3序言數位化為現代生活與工作帶來許多的衝擊，從電腦的儲存與運算，到網路的傳輸、資訊的流通，都受到數位技術的影響而在近二、三十年間突飛猛進，因此，在學習使用電腦的同時，我們必須對資料的儲存與運算具備基本的認識與概念。48-1

資料儲存8-1-1數字系統8-1-2資料儲存單位8-1-3數值資料表示法8-1-4文字資料表示法58-1-1數字系統常見的數字系統(Numbersystem)共有四種：二進位制(Binarysystem)八進位制(Octalsystem)十進位制(Decimalsystem)十六進位制(Hexadecimalsystem)所謂二進位制，就是計算數值時，大到等於2即進位，亦即「逢2進位」；八進位制就是「逢8進位」；十進位制就是「逢10進位」；十六進位制就是「逢16進位」。6數字系統表示式在無特別標註的情況下，一般的數字是十進位制。各種數字系統採用基底或下標的方式表示，如：(01001011)2為二進位制(573)8為八進位制(B3)16為十六進位制7二進位制構成的基本符號為0與1二進位制換算為十進位制：由右而左，每一位數值乘以2n(n=0,1,2,…，由右而左依序)的總和。例：

(01001011)2=0*27+1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20=0+64+0+0+8+0+2+1=758二進位制含小數位數的二進位制換算為十進位制：整數部分由右而左，每一位數值乘以2n(n=0,1,2,…)，加上小數部分由左而右，每一位數值乘以2-n(n=1,2,…)的總和。例：

(0100.1011)2=0*23+1*22+0*21+0*20+

1*2-1+0*2-2+

1*2-3+

1*2-4=0+4+0+0+0.5+0+0.125+0.0625=4.68759八進位制構成的基本符號為0,1,2,3,4,5,6,7八進位制換算為十進位制：由右而左，每一位數值乘以8n(n=0,1,2,…，由右而左依序)的總和。例：(573)8=5*82+7*81+3*80=5*64+7*8+3*1=320+56+3=37910八進位制二進位制(573)8(101111011)211十進位制構成的基本符號為0,1,2,3,4,5,6,7,8,912十進位制換算為二進位制(75)10(01001011)275÷2=37餘137÷2=18餘118÷2=9餘09÷2=4餘14÷2=2餘02÷2=1餘01÷2=0餘10100101113十六進位制構成的基本符號為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F相當於十進制之10,11,12,13,14,15（由於人們習用的文數字符號並沒有象徵10~15的字符，因此，使用A~F代表）14十六進位制十六進位制換算為十進位制：由右而左，每一位數值乘以16n(n=0,1,2,…，由右而左依序)的總和。例：(B3)16=11*161+3*160=11*16+3*1=176+3=17915十進位制換算為十六進位制(179)10(B3)16179÷16=11餘311÷16=0餘11B316十六進位制二進位制(B3)16(10110011)2178-1-2資料儲存單位今日我們所熟知的電腦，其儲存資料的方法是建立在位元(BIT：BinarydigIT)觀念的基礎上。位元是電腦記憶體上的最小儲存單位。能夠變換兩種狀態的裝置或物質，即可用以儲存位元資料。由早期的電容器，到今天的IC。一個位元可以表達兩種狀態：“1”或“0”“是”與“否”(true/false)“開”或“關”(on/off)“正”與“反”(positive/negative)“陰”或“陽”…188-1-2資料儲存單位由於位元的單位太小，一個位元只能代表兩種狀態。因此，利用一連串的位元來代表一個數值或符號較為實用。早期的電腦有組合6個位元或7個位元成為一個單位，稱cell或word；終於，以8個位元稱為一個位元組的基本資料單位已成為國際性的標準，稱為「位元組」（BYTE：BinarY

TErm）。「位元組」成為資料存放在主記憶體中的最小基本計算單位。198-1-2資料儲存單位一般所謂電子計算機的大小是以主儲存體容量的大小而定，為了計數上的便利，儲存容量常以

K(Kilo)

表示，

1K

表示

1024

（是

210

趨近於

1,000

），單位則是位元組。更大量的資料則使用

M

（

Mega

是

220

趨近於

1,000,000

）或是使用

G

（

Giga

是

230

趨近於

1,000,000,000

）。

1Kilo＝210＝1,024≒1,000＝1031Mega＝220

＝1,048,576≒1,000,000＝1061Giga＝230

＝1,073,741,824≒1,000,000,000＝109

240

又該怎麼稱呼呢？208-1-3數值資料表示法基本觀念所謂資料表示法，乃是將有限資料之各種可能的組合與排列方式設定其象徵意義的規則。電腦儲存資料的方法是建立在位元觀念的基礎上，因此，數值的大小是以電腦內部儲存資料之位元組合

對應其設定之表示法所象徵之數值。一個位元可以表示兩種狀態，用作數值表示僅能有0與1。一個位元組有八個位元，可以表示256種狀態，用作數值表示可以是0~255,1~256,-128~+127，端看我們如何設定它的象徵意義，也必須訂定一套對應之換算法則作為位元組狀態與數值的轉換關係。218-1-3數值資料表示法運用電腦作數值資料的運算或處理，基本上有整數與實數兩種數值的資料型態是必須的。一個位元組有八個位元，可以表示256種狀態，用作數值表示僅能有0~255，若再平分正負值，便是-128~+127，一般的整數運算上，這是無法滿足的，因此，兩個位元組是整數值儲存的最小單位。兩個位元組可以表示65536(216)種狀態，用作正值表示可以是0~65535，若再平分正負值，便是-32768~+32767。228-1-3數值資料表示法--整數兩個位元組可以表示65536(216)種狀態，用作正值表示可以是0~65535（二進位制換算十進制直接可以引用）。若再平分正負值，便是-32768~+32767。以第一個位元(0號)代表正、負符號，其餘十五個位元代表絕對值。

如果將1~15號位元直接引用二進位制換算十進制，則數值表示範圍如下頁所示…0000000000000000012345678910111213141523000000000000000001234567891011121314150000000000000001011111111111111110000000000000001000000000000001111111111111111101327670-1-32767數值資料表示法--整數平分正負值248-1-3數值資料表示法--整數上述對應換算法則有兩項缺失：兩個組合狀態對應同一數值0。算術運算很難處理。補數表示法可以彌補缺失。1的補數(1’scomplement)2的補數(2’scomplement)25補數補數是一種表示負數的方式對每一k進位制的數字系統而言，其補數有兩種：“k”的補數

（又稱基數補數radixcomplement）“k-1”的補數

（又稱基數減一補數radixminusonecomplement）26“k”的補數定義：k進位制的數值v，若最大位數為n，則其“k”的補數=kn–v

(0010)2之2的補數

=24–(0010)2

=(10000)2–(0010)2

=(1110)2亦即，每一位數以其最大值減去的結果再加1。

(0010)2之2的補數

=(1111)2–(0010)2+(0001)2

=(1101)2+(0001)2

=(1110)227“k”的補數(315)8之8的補數

=83–(315)8

=(1000)8–(315)8

=(463)8(A35D)16之16的補數

=(FFFF)16–(A35D)16+(0001)16

=(5CA2)16+(0001)16

=(5CA3)1628“k-1”的補數定義：k進位制的數值v，若最大位數為n，則其“k-1”的補數=(kn–1)–v

(0010)2之1的補數

=(24–1)–(0010)2

=(1111)2–(0010)2

=(1101)2意即，每一位數以其最大值減去的結果。

29“k-1”的補數(315)8之7的補數

=(83–1)–(315)8

=(777)8–(315)8

=(462)8(A35D)16之15的補數

=(164–1)–(A35D)16

=(FFFF)16–(A35D)16

=(5CA2)16=(kn–1)–v308-1-3數值資料表示法--實數實數是帶有小數點的數值，實數的表示法又稱浮點表示法(Floatingpointnotation)。一般的實數值儲存單位為四個位元組，區分為三個部分：正負符號(Signbit)、指數部分(Exponent)、小數部份(Mantissa)。00000000000000000123456789101112131415正負符號

(Signbit)指數部分

(Exponent)小數部份

(Mantissa)000000000000000016171819202122232425262728293031318-1-3數值資料表示法--實數正負符號：一個位元，0表正數，1表負數。指數部分：8個位元，因平分正負指數值，因此以128為分界，即換算為十進位值後需減去128，方為實際指數值。指數值範圍為-128~+127。小數部份：23個位元，是經過二進位正規化(normalization)後的小數。所謂二進位正規化係將實數轉換成二進位制後，將小數點移至自左端算起第一個“1”的右側，指數大小為小數點移動的位數，指數的正負值取決於向左移（正值）或向右移（負值），移動後小數點以右部分即為「小數部份」之內容（由左向右填入，個位數之“1”省去）。328-1-3數值資料表示法--實數例:(18.375)10正值，Signbit=0

(18.375)10=(00010010.011)2

00010010.011=1.0010011×24

小數部份=(4)10+(128)10=(132)10=(10000100)2

指數部份=1000010001000010000100110123456789101112131415正負符號

(Signbit)指數部分

(Exponent)小數部份

(Mantissa)0000000000000000161718192021222324252627282930311000010000100110000000000000000338-1-4文字資料表示法文字資料在電子計算機中是設定有順序的代碼對應各種字符作為儲存。譬如一個位元組是由八個位元所組成，即可表示

256

個代碼，一般的文字資料是由

26

個英文字母分大、小寫，加上數字符號、運算符號及一些特殊符號所組成，為了資料交流的便利，美國國家標準局

(AmericanNationalStandardsInstitute)

乃制定了一套標準化的資訊交換碼－『美國國家標準資訊交換碼

(AmericanStandardCodeforInformationInterchange

，簡稱

ASCII

碼

)

』。

ASCII

碼是由七個位元所組成，共計128個字碼，涵蓋了一般的常用字符。在

IBMPC

個人電腦的安排中，因為一個位元組可表示

256

個代碼，所以採用了『擴充型

ASCII

碼』─除包含

標準

ASCII

碼

128

個字碼外，還加編了

128

個圖形碼

。348-2資料運算8-2-1數值運算8-2-2數位邏輯

358-2-1數值運算二進位數值的加法運算（使用2的補數）：正負數一視同仁，由右而左逐位相加，超位(carry)則刪除。兩正數相加，其和若為負值，則屬溢位(overflow)。兩負數相加，其和若為“10…”，則屬溢位。

0010(+2)

+0101(+5)0111(+7)0110(+6)

+0101(+5)1011(**)0010(+2)

+1101(–3)1111(–1)0110(+6)

+1101(–3)10011(+3)1010(–6)

+0100(+4)1110(–2)1100(–4)

+0110(+6)10010(+2)1110(–2)

+1101(–3)11011(–5)1010(–6)

+1101(–3)10111(**)超位刪除