2022-2023学年北京市海淀区育英学校高二(下)期中数学练习试卷

2022-2023学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学练习试卷一、选择题。（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，0≤x≤1}，集合B＝{（x，y）|y＝2x，0≤x≤10}，则集合A∩B＝（）A．{1，2} B．{x|0≤x≤1} C．{（1，2）} D．∅2．（4分）已知等差数列{an}满足a1＝2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，则d＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．（4分）设a＝log25，b＝log35，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b4．（4分）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A． B．﹣2 C． D．5．（4分）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．36．（4分）经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.857．（4分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（4分）命题“∃x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）9．（4分）对数列{an}，记前n项和为Sn（n∈N*）．下列四个结论中一定成立的是（）A．若Sn＝an2+bn+c（a，b，c是常数），则{an}是等差数列 B．若an+1＝an（n∈N*），则{an}既是等差数列又是等比数列 C．若Sn＝1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列 D．若{an}是等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，（m∈N*）也成等比数列10．（4分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦（）A． B． C． D．二、填空题。（每小题5分，共25分）11．（5分）复数i（1+i）的实部为．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．13．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n+1，求{an}的通项公式．14．（5分）设函数①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，则b的取值范围是．15．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）三、简答题。（共85分）16．（13分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．17．（13分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．18．（14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）19．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）试判断函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过两点P，．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线l与以线段FP为直径的圆交于另一点E（异于点F），求|AB|•|FE|的最大值．21．（15分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．（1）若an＝n，bn＝2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．

2022-2023学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学练习试卷参考答案与试题解析一、选择题。（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，0≤x≤1}，集合B＝{（x，y）|y＝2x，0≤x≤10}，则集合A∩B＝（）A．{1，2} B．{x|0≤x≤1} C．{（1，2）} D．∅【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】根据交集的定义，列方程组求出x、y的值即可．【解答】解：集合A＝{（x，y）|y＝x+1，0≤x≤1}，集合B＝{（x，y）|y＝2x，0≤x≤10}，由，解得，其中0≤x≤1；∴集合A∩B＝{（1，2）}．故选：C．2．（4分）已知等差数列{an}满足a1＝2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，则d＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】D【分析】由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d．【解答】解：等差数列{an}满足a1＝2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22＝a1a5，即为（2+d）2＝2（2+4d），即d2＝4d，解得d＝4（0舍去），故选：D．3．（4分）设a＝log25，b＝log35，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】对数函数的值域与最值．【答案】B【分析】a，b分别为y＝logax，y＝logbx，在x＝5时的函数值，借助图象比大小，b，c借助y＝log3x的单调性比较大小．【解答】解：由题意知a，b分别为y＝log2x，y＝log3x，在x＝5时的函数值，由图象知a＞b．因为y＝log3x是增函数，所以b＞c．故选：B．4．（4分）已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（）A． B．﹣2 C． D．【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案．【解答】解：＝＝＝+＝，∴λ＝1，μ＝﹣，∴＝﹣2．故选：B．5．（4分）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x＝x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）＝a﹣1＝2，∴a＝3．故选：D．6．（4分）经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】A【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵学生成绩X服从正态分布N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，∵P（X≥90）＝[1﹣P（80＜X＜90）]＝，∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．故选：A．7．（4分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】抛物线的性质．【答案】B【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，xA＝＝，|OD|＝|OA|，＝+5，解得：p＝4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．8．（4分）命题“∃x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1）【考点】存在量词和特称命题．【答案】B【分析】由题意可知，∀x∈R，，再结合判别式，即可求解．【解答】解：命题“∃x0∈R，使”是假命题，则∀x∈R，，所以Δ＝，解得﹣1＜a＜3，故实数a的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．9．（4分）对数列{an}，记前n项和为Sn（n∈N*）．下列四个结论中一定成立的是（）A．若Sn＝an2+bn+c（a，b，c是常数），则{an}是等差数列 B．若an+1＝an（n∈N*），则{an}既是等差数列又是等比数列 C．若Sn＝1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列 D．若{an}是等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，（m∈N*）也成等比数列【考点】数列递推式；等差数列的性质；等比数列的性质．【答案】C【分析】根据题意，由等比、等差数列的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若Sn＝an2+bn+c，当c＝0时，{an}是等差数列，当c≠0时，{an}不是等差数列，A错误；对于B，当an+1＝an＝0时，{an}是等差数列，不是等比数列，B错误；对于C，若Sn＝1﹣（﹣1）n，当n＝1时，a1＝S1＝1﹣（﹣1）n＝2，当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣1）n﹣1﹣（﹣1）n＝﹣2×（﹣1）n，而a1＝2符合该式，故an＝﹣2×（﹣1）n，则{an}是等比数列，C正确；对于D，当公比q＝﹣1，m为偶数时，Sm＝S2m﹣Sm＝S3m﹣S2m＝0，Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m不是等比数列，D错误．故选：C．10．（4分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦（）A． B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【答案】B【分析】以CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据列出方程求得a的值，得到向量，，且是平面ABD的一个法向量，设A1B与平面ABD所成角为θ，再利用线面角的向量求法可得答案．【解答】解：由题意，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，则A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，1），A1（a，0，2），可得，，，，因为点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，所以GE⊥平面ABD，所以，即，解得a＝2，可得B（0，2，0），A1（2，0，2），所以，，因为GE⊥平面ABD，所以是平面ABD的一个法向量，设A1B与平面ABD所成角为θ（0°≤θ≤90°），，所以．故选：B．二、填空题。（每小题5分，共25分）11．（5分）复数i（1+i）的实部为﹣1．【考点】虚数单位i、复数．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【考点】二项式定理．【答案】见试题解答内容【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（x）6﹣r•（﹣）r＝（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r＝2，解得r＝2，∴展开式中x2的系数为×＝，故答案为：．13．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n+1，求{an}的通项公式an＝．【考点】数列递推式．【答案】an＝．【分析】运用数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化简整理可得所求通项公式．【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝3+1＝4，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n+1﹣3n﹣1﹣1＝2•3n﹣1，上式对n＝1不成立，所以an＝．故答案为：an＝．14．（5分）设函数①若a＝0，则f（x）的最大值为1；②若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，则b的取值范围是（0，1）．【考点】分段函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】①，当a＝0时，f（x）＝，由此分析函数的单调性，据此分析可得答案；②，根据题意，由函数的解析式分析可得图象关于直线x＝a对称，若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有2个交点，结合函数的图象分析可得答案．【解答】解；①，当a＝0时，f（x）＝，当x≤0时，f（x）＝2x，f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，当x＞0时，﹣x＜0，则f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，+∞）为减函数，则f（x）max＝f（0）＝20＝1；②，根据题意，当x≤a时，f（x）＝2x﹣a，当x＞a时，则有2a﹣x＜a，此时f（x）＝f（2a﹣x）＝2a﹣x，f（x）＝，其图象关于直线x＝a对称，若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有2个交点，其图象如图：必有0＜b＜1，即b的取值范围为（0，1）；故答案为：①，1，②（0，1）．15．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是②③．（填写所有正确结论的编号）【考点】直线与平面所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的棱长为1的正方体，|AC|＝1，|AB|＝，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体棱长为1，故|AC|＝1，|AB|＝，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量＝（0，1，0），||＝1，直线b的方向单位向量＝（1，0，0），||＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，＝（cosθ，sinθ，﹣1），||＝，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα＝＝|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ＝＝＝|cosθ|，当与夹角为60°时，即α＝，|sinθ|＝＝＝，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ＝|cosθ|＝，∵β∈[0，]，∴β＝，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．三、简答题。（共85分）16．（13分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直；二面角的平面角及求法．【答案】见试题解答内容【分析】（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P﹣CD﹣B的平面角即可．（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝2，∴AB＝2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴＝（0，0，2），＝（2，2，0），＝（﹣2，2，0）∴•＝0，•＝0，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（2）解：由（1）得＝（0，2，﹣2），＝（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），即，故平面PCD的法向量可取为＝（0，1，1）∵PA⊥平面ABCD，∴＝（0，0，2）为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ＝，∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．（3）解：由（1）得＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），同理，可得平面PBD的法向量为＝（1，1，1）．∵＝（2，2，﹣2），∴C到面PBD的距离为d＝||＝．17．（13分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．【考点】正弦函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可．（Ⅱ）根据零点求出sin（2x﹣）＝的根，利用作差法进行求解即可，【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin（﹣2x）＝sincos2x﹣cossin2x﹣2sin（x﹣）cos（x+π﹣）＝cos2x+sin2x+2sin（x﹣）cos（x﹣）＝cos2x+sin2x+sin（2x﹣）＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，∴由y＝f（x）﹣＝0得f（x）＝，则由sin（2x﹣）＝得2x1﹣＝2k1π+①，2x2﹣＝2k2π+，②，则②﹣①得2（x2﹣x1）＝2（k2﹣k1）π+，即（x2﹣x1）＝（k2﹣k1）π+，则|x1﹣x2|＝|（k2﹣k1）π+|，k1，k2∈Z，则当k1＝k2时，|x1﹣x2|取得最小值，最小值为|x1﹣x2|＝．18．（14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．【解答】解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）＝＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X＝0）＝（）2＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X012PE（X）＝2×．（Ⅲ）．19．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）试判断函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e），f（e）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到，所得到a∈（0，1），证明当a∈（0，1）时，f（x）有两个零点即可．【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝lnx+x，f′（x）＝+1，f′（e）＝1+，f（e）＝e+1，故切线方程是：y﹣（e+1）＝（1+）（x﹣e），故切线方程是：…（4分）（2）①当a≤0时，显然f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（6分）②当a＞0时，令，则﹣2ax2+x+1＝0，易知其判别式为正，设方程的两个根分别为x1，x2（x1＜x2），则，∴x1＜0＜x2，∴令f'（x）＞0得x∈（0，x2），其中，所以函数f（x）在上递增，在上递减．…（10分）（3）由（2）知①当a≤0时，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，至多一个零点，不符合题意；②当a＞0时，函数f（x）在（0，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，∴fmax（x）＝f（x2）要使f（x）有两个零点，必须f（x2）＞0，即，又由f'（x2）＝0得：，代入上面的不等式得：2lnx2+x2＞1，解得x2＞1，∴，所以a∈（0，1）…（12分）下面证明：当a∈（0，1）时，f（x）有两个零点．，，又，且，，所以f（x）在与上各有一个零点．…（16分）20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过两点P，．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线l与以线段FP为直径的圆交于另一点E（异于点F），求|AB|•|FE|的最大值．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）将两点的坐标代入求出a，b的值即可；（Ⅱ）设直线方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，根据条件可以求出以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为，故圆心到直线l的距离为．进而表示出|EF|，因为，结合基本不等式即可求出范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：过点，，所以得故椭圆C的标准方程为，（Ⅱ）由题易知直线l的斜率不为0，设l：x＝ty+1，由得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，显然Δ＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．又．以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为，故圆心到直线l的距离为．所以．所以＝＝＝，因为t2+1≥1，所以，即．所以．当t＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|•|FE|＝1，所以|AB|•|FE|的最大值为1．21．（15分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．（1）若an＝n，bn＝2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．【考点】数列的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别求得a1＝1，a2＝2，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn＝b1﹣na1＝1﹣n，cn+1﹣cn＝﹣1对∀n∈N*均成立；（2）方法一：由bi﹣ain＝[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n＝（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1＝0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设＝An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；方法二：设数列{an}和{bn}的通项公式，求得cn，构造函数f（x）＝b1﹣a1x和函数，根据函数性质，分类讨论d1≠0和d1＝0两种情况，即可证明cm，cm+1，cm+2…是等差数列．【解答】解：（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝5，当n＝1时，c1＝max{b1﹣a1}＝max{0}＝0，当n＝2时，c2＝max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}＝max{﹣1，﹣1}＝﹣1，当n＝3时，c3＝max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}＝max{﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有cn＝b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），＝[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，＝（2k﹣2）﹣n（k﹣1），＝（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，因此，对∀n∈N*，且n≥2，cn＝b1﹣na1＝1﹣n，cn+1﹣cn＝﹣1，∴c2﹣c1＝﹣1，∴cn+1﹣cn＝﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{cn}是等差数列；（2）证明：方法一：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），则bi﹣ain＝[b1+（i﹣1）d2]﹣[a1+（i﹣1）d1]×n，＝（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1＝0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1＝0，则bi﹣ain＝（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1