带电粒子在复合场中的运动（讲义）解析

93带电粒子在复合场中的运动

带电粒子在组合场中的运动

1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。

2“3步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段;

笫2步：受力和运动分析，主要涉及两种典型运动.

粒子垂宜于电场类平抛

红合场中|广|电偏转

1线进入匀强电场运动

两种典型H

的偏转I磁偏转粒子而|工于滋感匀速网

线进入匀强磁场周运动

第3步：用规律

带电粒子在叠加场中的运动

1.叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存.

2.无约束情况下的运动

(1)洛伦兹力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机

械能守恒，由此可求解问题.

(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可

用动能定理求解问题.

(3)电场力、洛伦兹力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动.

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能

量守恒定律或动能定理求解问题.

3.有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线

运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不

做功的特点，运用动能定理、能量守，恒定律结合牛顿运动定律求解.

带电粒子在交变电、磁场中的运动

解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路

先读图看清并明白场的变化情况

受力分析分析粒子在不同的变化场区的受力情况

过程分析分析粒子在不同时间内的运动情况

找衔接点找出衔接相邻两过程的物理量

选规律联立不同阶段的方程求解

【典例1】（北京卷・18）某空间存在匀强磁场和匀强电场.一个带电粒子（不计重力）以一定初

速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动.下列因

素与完成上述两类运动为毛的是（）

A.磁场和电场的方向B.磁场和电场的强弱

C.粒子的电性和电量D.粒子入射时的速度

【答案】C

【解析】在匀强磁场和匀强电场的叠加区域内，带电粒子做匀速直线运动，则速度方向与

F

电场方向和磁场方向均垂直，qvB=qE,故1^=方因的粒子是否在“速度选择器中做匀速直

线运动，与粒子的电性、电量均无关.撤去电场时，粒子速度方向仍与磁场垂直，满足做

匀速圆周运动的条件.

【变式1】（全国卷1」6）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上

（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里.三个带正电的微粒〃、b、c电荷量相等，质量分

别为〃比、〃，八〃命.已知在该区域内，。在纸面内做匀速圆周运动，Z?在纸面内向右做匀速直

线运动，。在纸面内向左做匀速直线运动,下列选项正确的是（）

X|XXXX

左XXXXX右

A.nki>inb>m（B.m）>rna>ni（C.m（>ina>nibD.m<>inb>ma

【答案】B

【解析】设三个微粒的电荷量均为g,

Q在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，即

mag=qE①

b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则

mbg=qE~\-qvB②

c•在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则

m<：g+qvB=qE③

比较①②③式得：，〃心选项B正确.

【变式2］（北京高考）如图所示，质量为加、电荷量为q的带电粒子，以初速度u沿垂直

磁场方向射入磁感应强度为3的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受

重力。

（1）求粒子做匀速圆周运动的半径R和周期T；

（2）为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场

强度石的大小。

【答案】崂舞⑵出

【解析】（1）洛伦兹力提供向心力，有尸qvB=j般

带电粒子做匀速圆周运动的半径/?=浅

勺速圆周运动的周期T=平=塞-

⑵粒子受电场力尸=9七，洛伦兹力/="瓦粒子做匀速直线运动，则通=小3

电场强度的大小E=vB.

【变式3】（陕西省延安一中2021届高三模拟）如图所示，在两水平极板间存在匀强电场

和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里，一带电粒子以某一速度沿水

平直线通过两极板。若不计重力，下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动就迹不会改

变（）

A.粒子速度的大小B.粒子所带的电荷量C.电场强度D.磁感应强度

【答案】B

【解析】带电粒子在电场和磁场中做匀速直线运动，由平衡条件知可以看出，

带电粒子在电场和磁场中运动时，电场强度、磁感应强度以及带电粒子速度的大小均能影

响粒子的运动轨迹，而粒子所带的电荷量不影响运动轨迹，选项A、C、D不符合要求，选

项B正确。

【变式4］（2021•福建南平市适应性检测）如图，在平面直角坐标系中，x轴上方存在沿

y轴负方向的匀强电场，电场强度为旦x轴下方存在垂直坐标系平面向外的匀强磁场，磁

感应强度为B.一个静止的带正电粒子位于y轴正半轲的A（0,加点，某时刻由于内部作用，

分裂成两个电荷量都为+q的粒子a和d分别沿x轴正方向和负方向进入电场.已知粒子

。的质量为机，粒子。进入第一象限的动量大小为p.设分裂过程不考虑外力的作用，在电

场与磁场中的运动过程不计粒子重力和粒子间的相互作用,求：

y

2Aa

M

⑴粒子a第一次通过X轴时离原点O的距离X；

（2）粒子a第二次通过大轴时与第一欠通过x轴时两点间的距离L.

【答案】见解析

【解析】（1）如图所示，粒子〃在电场中只受电场力，做类平抛运动

h=^aP@

qE=tna®

p=mvo®

联立①(§)③④解得：

(2)粒子。进入磁场时.设速度为u,与x轴正方向成。角,y轴方向的速度为丸则

vy=at@

vy=vsin0®

粒子4在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为广，有

qvB=^~®

由几何知识得:

L=2rsin0®

联立②③⑤⑥⑦⑧式解得:

22mEh

一月q

【变式5].(2021•山东威海市5月模拟)如图所示，位于第一象限内半径为R的圆形磁场与

两坐标轴分别相切于P、Q两点，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为3,第四象

限内存在沿)，轴正方向的勺强电场，电场强度大小为EQ点有一粒子源，叶在xO.y平面内

向各个方向发射速率均为v的带正电粒子，其中沿x轴正方向射入磁场的粒子恰好从P点

射出磁场.不计重力及粒子之间的相互作用.

Q

°Hfrrr

⑴求带电粒子的比荷

(2)若4Q弧长等于六分之一圆弧，求从磁场边界上A点射出的粒子，由Q点至第2次穿出

磁场所经历的时间.

答案(磕⑵q垂+等

解析(1)由几何关系得：粒子做圆周运动的半径7•=/?

根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=*

(2)由于粒子轨迹半径和圆半径相等，则无论粒子沿哪个方向射入磁场，从磁场中射出时速

度方向均沿y轴负方向；若AQ弧长等于六分之一圆弧，粒子的运动轨迹如图所示：

粒子在磁场中运动周期：7=平

T

粒子在Q4段运动时间：/i=-

无场区段距离：x=R-Rcos30°

粒子在A3段运动时间：力=寺

粒子在电场中运动时，由牛顿第二定律得：qE=ma

在电场中运动时间：13=2”

a

T

粒子在AC段运动时间：然=]

总时间:/=力+尬+/3+十

代入数据得：/=』+2-，]+至g

vE

【变式6](天津高考)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=55

N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小8=0.5T。

有一带正电的小球，质量团=lxl()-6kg,电荷量“=2x10-6c,正以速度口在明示的竖直面

内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取

2

10m/so求：

BXXXXXX

XXXXXXE

X晨XXXX

(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.

【答案】(l)20m/s,方向与电场方向成60。角斜向上(2)3.5s

【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有

qvB=\jq2E2+nrg2①

代入数据解得

1=2()m/s②

速度u的方向与电场E■的方向之间的夹角。满足

tan夕=延(3)

mg

代入数据解得

tan0=小

。=60。。④

(2)解法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为〃，

有

♦片炉+小屋

没撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为人，有

x—vt⑥

设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y,有

)'=%尸(7)

a与〃7g的夹角和u与E的夹角相同，均为仇又

tan0=)⑧

联立④⑤⑥⑦⑧式，代人数据解得

/=2小s-3.5So⑨

解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以

P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为

vv=vsin0⑤

若使小球再次穿过尸点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有

"L上产=()@

联立⑤⑥式，代入数据解得

t=2y[3s-3.5So⑦

【变式7】(全国卷I)如图所示，在)，＞0的区域存在方向沿)，轴负方向的匀强电场，场强大

小为E：在)，v0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的勺强磁场。一个亢核IH和一个展汨

先后从y轴上)，=〃点以相同的动能射出，速度方向沿龙轴正方向。已知IH进入磁场时，

速度方向与x轴正方向的夹角为60。，并从坐标原点0处第一次射出磁场。IH的质量为机，

电荷量为夕。不计重力。求：

(1)|H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

⑵磁场的磁感应强大小；

(3)TH第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

【解析】(1)后在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动枕迹如图所示。

设IH在电场中的加速度大小为初速度大小为0,它在电场中的运动时间为力，第一次

进入磁场的位置到原点O的距离为51。由运动学公式有

5i=vin①

h=^a\fi②

由题给条件，IH进入磁场计速度的方向与x轴正方向夹角a=60。。IH进入磁场时速度的

)，分量的大小为

6/i/i=ritan0\③

联立以上各式得

S1=¥尢④

(2)lH在电场中运动时，由牛顿第二定律有

qE=ma\®

设IH进入磁场时速度的大小为/i,由速度合成法则有

Mi⑥

设磁感应强度大小为B,IH在磁场中运动的圆轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二

定律有

MB阁⑦

由几何关系得

5i=2/?isin0\®

联立以上各式得解。©

(3)设?H在电场中沿X轴正方向射出的速度大小为V2,在电场中的加速度大小为。2,由题给

条件得

:(2〃)应=%7V?⑩

由牛顿第二定律有

qE=2mai⑪

设汨第一次射入磁场时的速度大小为小，速度的方向与工轴正方向夹角为。2,入射点到原

点的距离为S2,在电场中运动的时间为介。由运动学公式有

S2=V2t2⑫

⑬

sin<?2=^7®

联立以上各式得

5

32=51,01—0\,v'l=2/】⑯

设汨在磁场中做圆周运动的半径为&,由⑦磅及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公

式得

RA*回⑰

所以出射点在原点左侧

设加进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s?，由几何关系有

s'2=2R2sin仇⑱

联立④⑧工得，第一次离开磁场时的位置到原点。的距离为

心―$2=¥^(也—1)〃。⑲

【变式8】(甘肃省兰州一中2021届高三模拟)如图所示，一个质量为〃?、电荷量为q的

正离子，在。处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂

直纸面向里。结果离子正好从距4点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入句强电场，此电

场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距4点2d(AGLAC),不计离子重

力，离子运动轨迹在纸面内。求:

(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r;

⑵离子从。处运动到G处所需时间;

(3)离子到达G处时的动能。

.一、2,八9+2兀制、4>那

【合案】⑴利(2)3Bq⑶9"?

【解析】(1)正离子运动的轨迹如图所示。磁场中做圆周运动的半径r满足:

J=r+rcos60°,解得r=孤

(2)设离子在磁场中的运动速度为vo,则有：q\\}B=m-o

2nr2nm

一vo-qB，

由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为：

.I-2nm

n=37=W

离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间为：

2d3m

匕=荷=丽

离子从。处运动到G处所需时间为：

9+2兀〃2

/="，2=FT。

(3)设电场强度为E,则有:qE=ma

d=^an

由动能定理得：qEd=EkG一

解得3*。

【变式10］如图所示，在X。)，平面内，有一半径为R、磁感应强度为8(未知)、方向垂直

纸面向里的圆形磁场区域与x轴相切于。点，圆心Oi位于(0,/?)：x轴下方有一直线CD,

CD与x轴相距g/?,x轴与直线CD之间的区域有一沿+)，轴的匀强电场，电场强度上=

卑耍;在。。的下方有一矩形磁场区域，区域上边界紧靠CO直线，磁感应强度82=华詈,

LCKLCK

方向垂直纸面向外。纸面内一束宽为R的平行电子束以速度vo平行于x轴射入圆形磁场,

最下方电子速度正对。点，偏转后所有电子都经过原点O进入x轴下方的电场。已知电

子质量为〃2,电荷量为%不计电子重力。

三嘴一

T；~~r

C--j---vLv...y_.D

：..B.L...•

（1）求磁感应强度Bi的大小；

⑵求电子第一次到达CD直线的范围大小；

⑶欲使所有电子都能达到x轴，求矩形磁场区域的最小面积和此时x轴上有电子到达的范

围长度。

【答案】见解析

【解析】（1）由图可知力=凡根据m=岩，可得81=翳

（2）在电场中。=第=嚓2,由仍/?=，〃汽

2R

得/=一,x=vof=2R

vo

电子第一次到达CO直线的范围长度h=2R

（3）在CD直线下方的磁场中力=市=《

进入磁场时速度与。。直线夹角9=60。

当电子速度与CQ直线夹角为60。时，恰好能到达x轴

由几何关系可得矩形磁场的最小面积

S=（77cos8+n）（2r2+r2sin。）=4（4+小）R?

x轴上有电子到达的范围/2=呼+专+2}

【变式11］（多选）（2021•山东济南市上学期期末）如图所示，两竖直平行边界内，句强电场

方向竖直（平行纸面）向下，匀强磁场方向垂直纸面向里.一带负电小球从尸点以某一速度

垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动.若增大小球从尸点进入的速度但保持方向不

变，则在小球进入的一小段时间内（