离散型随机变量的方差【教学课件】 2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差第六章

计数原理★

离散型随机变量的数学期望：复习回顾★

数学期望的性质：(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn新课引入随机变量的均值E(X)是一个重要的数字特征，它刻画的是随机变量X取值的平均水平。均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、工程方案预测、投资收益预测中都可以通过随机变量的均值来进行估计.(决策问题)因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小。所以，我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.某人射击

10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？X1234P所得环数

X

的分布列如下所示：新知探究新知探究某人射击

10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？X1234P均值概念生成

离散型随机变量的方差

设离散型随机变量

X

的分布列如表所示：则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2

p2＋…＋(xn－E(X))2

pn为随机变量

X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn概念解读(1)计算随机变量的可能取值

xi与均值

E(X)的偏差：(2)取偏差的平方：(3)偏差平方的加权平均：

可按如下步骤求随机变量的方差：(i＝1，2，3，...，n)xi－E(X)(xi－E(X))2(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p1＋…＋(xn－E(X))2pn典例剖析例1

已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X)

解析：E(X)＝0×0.1＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋

(4－2)2×0.1＝1.2，σ(X)＝变式训练1.随机变量X

的分布列如下表所示，则D(X)＝(

)A．1

B．2C．3

D．4X024PaB2.随机变量X的分布列如下，若E(X)＝

，则D(X)的值是(

)A．

B．

C．

D．X－101PabD新知学习问题

从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03应该派哪名同学参赛？按什么标准选拔？表1表2新知学习X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03表1表2E(X)＝6×0.09＋7×0.24＋8×0.32＋9×0.28＋10×0.07＝8，E(Y)＝6×0.07＋7×0.22＋8×0.38＋9×0.30＋10×0.03＝8，由于他们的均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，下图分别是X和Y的概率分布图：新知学习X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03“矮胖型”数据较分散“瘦高型”数据较集中可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.新知学习X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03分别计算两位同学的方差，比较问题中甲、乙成绩的稳定性.已知：E(X)＝8，E(Y)＝8

D(X)＝(6－8)2×0.09＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.32＋(9－8)2×0.28＋(10－8)2×0.07＝1.16，D(Y)＝(6－8)2×0.07＋(7－8)2×0.22＋(8－8)2×0.38＋(9－8)2×0.30＋(10－8)2×0.03＝0.92，∵D(X)＞D(Y)，∴随机变量

Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.概念解读随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.典例剖析►课本P69例2

掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X

的方差。解析：随机变量

X

的分布列为P654321X写分布列求均值E(X)求方差D(X)典例剖析►课本P69例3

投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.股票

A收益的分布列股票

B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?

(2)投资哪种股票的风险较高?因为E(X)＞E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大解析：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，E(X)＝-1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，典例剖析►课本P69例3

投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.股票

A收益的分布列股票

B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?

(2)投资哪种股票的风险较高?解析：因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)＞D(Y)，所以投资股票

A的风险较高(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(Y)＝02×0.3＋12×0.4＋22×0.3－12＝0.6，D(X)＝(－1)2×0.1＋02×0.3＋22×0.6－1.12＝1.29，方法归纳求离散型随机变量X的方差的基本步骤：①确定取值：理解

X的意义，写出X可能取的全部值；②写分布列：求X取每个值的概率，写出分布列；③求均值：根据分布列，由均值的定义求出E(X)；④求方差：根据方差的定义求出D(X)变式训练►课本P70练习2甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下:甲班的目测误差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直观判断

X和

Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算

X和

Y的方差，验证你的判断.乙班的目测误差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05甲班的目测误差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直观判断

X和

Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算

X和

Y的方差，验证你的判断.乙班的目测误差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05直观的观察可判断

X的离散程度较大，下面用方差验证.解析：∵

D(X)＞D(Y)

∴X的分布离散程度较大∵E(X)＝E(Y)＝0∴

D(X)＝(－2)2×0.1＋(－1)2×0.2＋02×0.4＋12×0.2＋22×0.1－02＝1.2，D(Y)＝(－2)2×0.05＋(－1)2×0.15＋02×0.6＋12×0.15＋22×0.05－02＝0.7，变式训练练习3A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好？次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04次品数ξ20123概率P0.80.060.040.10次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04次品数ξ20123概率P0.80.060.040.10Dξ1＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，Dξ2＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.9264.所以Dξ1<Dξ2

故A机床加工较稳定、质量较好.解析：Eξ1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44,Eξ2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差新知探究思考：随机变量

X加一个常数或乘一个常数后，其方差会怎样变化？

X加上一个常数b，仅仅使

X的值产生一个平移不改变

X与其均值的离散程度，方差保持不变D(X＋b)＝D(X)X乘以一个常数

a，其方差变为原方差的

a2倍D(aX)＝a2D(X)因此D(aX＋b)＝？概念生成

离散型随机变量的方差的性质(1)D(X＋b)＝D(X)(2)D(aX)＝a2D(X)(3)D(aX＋b)＝a2D(X).►课本P70例4

已知随机变量

X的分布列为X1234P0.20.30.40.1求

D(X)和

σ(2X＋7).解析：E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，σ(2X＋7)＝1.833典例剖析变式训练

A．C．4D．5B．D练习4已知随机变量的分布列为

，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝()变式训练►课本P70XcP1离散型随机变量

X的分布列为：E(X)＝c×1＝cD(X)＝(c－c)2×1＝0练习5若随机变量

X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，求D(X).解析：知识解读随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释——如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.变式训练练习6

有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息:甲单位不同职位月工资X

/元1200140016001800获得相应职位的概率P0.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X

/元1000140018002200获得相应职位的概率P0.40.30.20.1根