华北理工轧制原理教案第5章 轧制单位压力

图4推导Orowan方程图示整理后式中，“-”为前滑区；“+”为后滑区，将上式写成导数的形式：（24）若对该式积分必须首先找出与的关系。先研究一下水平力。①弧上的水平力=?由图1可知,弧上的水平力等于与在水平方向上的投影之和，即由于因起的水平分力与引起的水平分力相比甚小，可略去，则由图4可知，（25）②求与的关系：即确定=？根据平面变形时的Mises屈服条件：将假定④代入上式有因以轴对称，故与无关，又在接触面上，可知在小弧条上处处皆有，则上式为：（26）将（26）式代入（25）式,水平力为：对上式积分，得（27）其中将（27）式代入（23）式,得（28）这就是著名的Orowan单位压力微分方程式．式中的曾在工程法中讨论过，它主要取决于接触面上的摩擦状态：当，且，则当5.3.2Orowan方程的Sims解这里将推出Sims单位压力的分布函数式。1．假定条件：①摩擦规律——接触面全粘着：，这只有热变形才有可能。②接触弧方程（关系）——圆弧Sims认为，较大时，若仍以弦代弧，将带来较大偏差，故应采用接触面的实际形状——圆弧，其方程为③平面变形抗力为常数：，热变形适合。④无张力，非连轧，仅用于单道次或可逆式轧制。2．Sims式的通解：由Orowan方程（28）式，因对的接触面，，故(5)式可写成：两边除以，然后对左边求导：式中代入上式并整理后，得则通解为：（29）3．Sims式的特解（积分常数C的确定）：根据（27）式，单元体上的水平力为（30）由边界条件：①入口处：，水平力，代入（30）式有由于，必有，代入（29）式有（31）②出口处：，水平力，代入（30）式有由于必有，代入（29）式有（32）将（31）、（32）两式分别代入（29）式，可得到前、后滑区的分布函数式：后滑区：（33）前滑区：（34）这就是适用于热轧中厚板的Sims单位压力分布函数式。4．利用Sims式确定中性角的计算模型：在中性面上，有，将（33）、（34）两式代入，则整理一下式中：所以（35）因为所以代入（35）式有（36）这就是利用Sims单位压力分布函数式得到的中性角计算模型。5.3.3Karmann方程与Orowan方程的比较Karmann方程：Orowan方程：1．二者在形式上的差别仅是Orowan方程有，而Karmann方程则没有。反映的是接触面的摩擦状况，其取值在1～之间。当时（接触面摩擦系数较小的情况），两个方程一致；当时（接触面摩擦系数较大的情况），二者差别最大。可见Orowan方程更具有一般性，而Karmann方程仅适用于接触面上摩擦系数较小的情况。2．虽然两个方程的建立采用的都是工程法，但从平衡方程的建立，边界条件的确定以及屈服条件的应用来看，Orowan方程更为严谨，Karmann方程用的是近似工程法，这也是它适用范围受限的原因。5.4Stone方程及其Stone解关于冷轧薄件的单位压力的分布式是通过求解Stone方程得到的。本节将重点建立Stone方程，并以Stone自己对方程的求解作为例子，来讨论求解Stone方程的方法。要求：1．对Stone方程应能独立完成推导；2．对Stone得到的解析解——的分布式，应能进行理论上的分析，并能掌握求解Stone方程的基本方法。5.4.1Stone单位压力微分方程式作为作业由学生自己完成。5.4.2求解Stone方程的Stone解Stone单位压力的分布函数式在《塑性加工力学》中利用近似工程法已导出过，这里作为作业由学生自己完成。以上仅是求出了单位压力沿接触弧分布