高考数学向量试题及答案

高考数学向量试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量2a+b的坐标为（）（2分）A.(5,1)B.(7,3)C.(4,3)D.(6,0)【答案】C【解析】2a+b=2(1,2)+(3,-1)=(2,4)+(3,-1)=(5,3)2.若向量a=(1,k)与向量b=(2,3)共线，则k的值为（）（2分）A.2B.3C.6D.9【答案】A【解析】向量共线则存在实数λ使得a=λb，即(1,k)=λ(2,3)，解得λ=1/2，k=21/2=13.向量a=(1,1)的模长为（）（2分）A.√2B.2C.√3D.3【答案】A【解析】|a|=√(1^2+1^2)=√24.已知点A(1,2)和B(3,0)，则向量AB的坐标为（）（2分）A.(2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(-2,-2)【答案】A【解析】AB=(3-1,0-2)=(2,-2)5.若向量a=(3,4)，则向量a的垂直向量为（）（2分）A.(-4,3)B.(4,-3)C.(-3,4)D.(3,-4)【答案】A【解析】垂直向量满足a·b=0，(3,4)·(-4,3)=3(-4)+43=06.设a=(1,2)，b=(3,4)，则|a+b|的值为（）（2分）A.√10B.√26C.5D.√30【答案】B【解析】a+b=(1,2)+(3,4)=(4,6)，|a+b|=√(4^2+6^2)=√40=√267.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，则a·b的值为（）（2分）A.-5B.5C.-1D.1【答案】A【解析】a·b=2(-1)+(-1)3=-2-3=-58.向量a=(1,2)在向量b=(3,4)上的投影长度为（）（2分）A.√5B.√10C.5D.10【答案】B【解析】投影长度|a|cosθ=|a||b|cosθ/|b|=|a·b|/|b|=|-5|/5=√109.若向量a=(1,2)与向量b=(k,1)垂直，则k的值为（）（2分）A.1/2B.2C.1/4D.4【答案】D【解析】a⊥b则a·b=0，(1,2)·(k,1)=k+2=0，k=-210.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AC与向量BC的夹角为（）（2分）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】AC=(-2,-4)，BC=(-4,-2)，AC·BC=-8+8=0，垂直二、多选题（每题4分，共20分）1.下列关于向量的说法正确的有（）（4分）A.两个平行向量的方向相同或相反B.向量可以比较大小C.零向量的模为0D.向量a=(1,0)与向量b=(0,1)垂直E.向量a与向量b垂直的充要条件是a·b=0【答案】A、C、D、E【解析】向量不能比较大小，B错误2.已知向量a=(1,2)，b=(3,k)，若向量a与向量b的夹角为锐角，则k的取值范围是（）（4分）A.k>5B.k<5C.k≠-3D.k≠-6【答案】A、C【解析】a·b>0，13+2k>0，k>-3/2，k≠-3排除D3.下列向量中，与向量a=(1,2)共线的有（）（4分）A.(2,4)B.(-1,-2)C.(3,6)D.(-2,-4)【答案】A、B、C、D【解析】共线向量存在λ使得a=λb，所有选项均满足4.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则下列关系正确的有（）（4分）A.向量AB=向量ACB.向量BA=-向量ABC.向量BC=向量ACD.向量AB与向量AC垂直【答案】B、D【解析】AB=(2,-2)，AC=(-2,-4)，BC=(-4,-2)，只有B、D正确5.向量a=(1,2)在向量b=(3,4)上的投影向量为（）（4分）A.(9/5,12/5)B.(3/5,4/5)C.(6,8)D.(9/5,12/5)或(3/5,4/5)【答案】D【解析】投影向量=b·a/|b|^2a=(9/25)a=(9/5,12/5)或投影长度向量三、填空题（每题4分，共16分）1.若向量a=(3,4)，向量b与向量a平行且方向相反，则b=__________（4分）【答案】(-3,-4)2.已知点A(1,2)，B(3,0)，则向量AB的模长为__________（4分）【答案】√103.若向量a=(1,2)，向量b=(3,k)垂直，则k=__________（4分）【答案】-3/24.设向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a在向量b上的投影长度为__________（4分）【答案】√10四、判断题（每题2分，共10分）1.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0（）（2分）【答案】（√）2.向量a=(1,2)的模长等于向量b=(2,4)的模长（）（2分）【答案】（√）3.若向量a=(1,2)与向量b=(3,k)共线，则k=6（）（2分）【答案】（×）【解析】共线则存在λ使得a=λb，1=3λ，2=kl，解得λ=1/3，k=64.零向量没有方向（）（2分）【答案】（×）【解析】零向量的方向是任意的5.向量a=(1,2)在向量b=(3,4)上的投影为负数（）（2分）【答案】（√）【解析】投影长度|a|cosθ=|-5|/5=√10>0，但投影向量方向与b相反五、简答题（每题5分，共15分）1.已知向量a=(3,4)，向量b=(2,-1)，求向量a+2b的坐标（5分）【答案】a+2b=(3,4)+2(2,-1)=(3,4)+(4,-2)=(7,2)2.已知点A(1,2)，B(3,0)，求向量AB的模长和方向余弦（5分）【答案】AB=(2,-2)，|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2，方向余弦cosx=2/(2√2)=√2/2，cosy=-2/(2√2)=-√2/23.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,k)，若向量a与向量b的夹角为45°，求k的值（5分）【答案】cos45°=a·b/|a||b|，√2/2=(13+2k)/√(1^2+2^2)√(3^2+k^2)，解得k=±√10六、分析题（每题10分，共20分）1.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，求向量a在向量b上的投影向量，并说明其几何意义（10分）【答案】投影向量=b·a/|b|^2a=(13+24)/25a=11/25(1,2)=(11/25,22/25)几何意义：向量a在向量b方向上的分量2.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，求向量AB与向量AC的夹角θ，并判断四边形ABCD是否为平行四边形（10分）【答案】AB=(2,-2)，AC=(-2,-4)，cosθ=AB·AC/|AB||AC|=4/√8√32=1/2，θ=60°四边形ABCD为平行四边形，因为AB=AC七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，向量c=(k,0)，满足a+b+c=0，求k的值，并证明向量a、b、c共线（25分）【答案】a+b+c=0，(1,2)+(3,4)+(k,0)=(0,0)，解得k=-4证明：a+b+c=0，即c=-(a+b)，向量a、b、c共线2.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，求向量AB与向量BC的夹角θ，并证明三角形ABC为直角三角形（25分）【答案】AB=(2,-2)，BC=(-4,-2)，cosθ=AB·BC/|AB||BC|=8/√8√20=√5/5，θ=arccos(√5/5)证明：AB⊥BC，因为AB·BC=0，三角形ABC为直角三角形八、标准答案一、单选题：1.C2.A3.A4.A5.A6.B7.A8.B9.D10.C二、多选题：1.A、C、D、E2.A、C3.A、B、C、D4.B、D5.D三、填空题：1.(-3,-4)2.√103.-3/24.√10四、判断题：1.√2.√3.×4.×5.√五、简答题：1.(