河北高考单招试题及答案

河北高考单招试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.下列关于函数$f(x)=\ln(x+1)$的叙述中，正确的是（）（2分）A.定义域为$(-\infty,-1)$B.值域为$(-\infty,+\infty)$C.在定义域内单调递减D.图像关于原点对称【答案】B【解析】函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域为$(-1,+\infty)$，值域为$(-\infty,+\infty)$，在定义域内单调递增，且图像关于点$(-1,0)$对称。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,4)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为（）（2分）A.$-\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{5}$C.$-\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{5}$【答案】D【解析】$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1\times(-3)+2\times4}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{5}$。3.设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=9$，$S_6=18$，则公差$d$为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】$S_3=3a_1+3d=9$，$S_6=6a_1+15d=18$，解得$d=2$。4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率为（）（2分）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{12}$C.$\frac{5}{36}$D.$\frac{1}{18}$【答案】A【解析】可能的情况有$(1,4)$，$(2,3)$，$(3,2)$，$(4,1)$，共4种，概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。5.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha$为锐角，则$\cos\alpha$的值为（）（2分）A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{4}$C.$-\frac{4}{5}$D.$-\frac{3}{4}$【答案】A【解析】$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}$。6.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{b}{a}$的值为（）（2分）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.1【答案】C【解析】$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。7.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则函数在$x=2$处的切线方程为（）（2分）A.$6x-y-8=0$B.$6x+y-8=0$C.$x-6y+8=0$D.$x+6y-8=0$【答案】A【解析】$f'(x)=3x^2-6x$，$f'(2)=6$，$f(2)=0$，切线方程为$y=6(x-2)$，即$6x-y-8=0$。8.已知函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)$的最小正周期为$\pi$，且图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值为（）（2分）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{3\pi}{4}$C.$\frac{5\pi}{4}$D.$\frac{7\pi}{4}$【答案】B【解析】周期为$\pi$，则$2\pi=2T$，$T=\pi$，又图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$2\times\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$，取$k=1$，$\varphi=\frac{3\pi}{4}$。9.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，则$f(f(f(x)))$的值为（）（2分）A.$\frac{1}{x+3}$B.$\frac{1}{x+2}$C.$\frac{1}{x}$D.$x+1$【答案】C【解析】$f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2}$，$f(f(f(x)))=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}+1}=\frac{1}{x+3}$。10.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，则函数在区间$[1,3]$上的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】$f(x)=(x-1)^2+2$，在$x=1$处取得最小值2。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若$A\subseteqB$，$B\subseteqC$，则$A\subseteqC$B.$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$C.函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty,0)$上单调递减D.直线$y=kx+b$的斜率为$k$E.若$ab>0$，则$\ln(ab)=\lna+\lnb$【答案】A、B、D【解析】选项A是集合包含关系的传递性，正确；选项B是三角恒等式，正确；选项C，函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，正确；选项D，直线$y=kx+b$的斜率为$k$，正确；选项E，$\ln(ab)=\lna+\lnb$要求$a>0$，$b>0$，不一定成立，错误。2.下列函数中，在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.$f(x)=2x+1$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=\ln(x+1)$E.$f(x)=\sinx$【答案】A、D【解析】$f(x)=2x+1$是线性函数，单调递增；$f(x)=x^2$在$(0,+\infty)$上单调递增；$f(x)=\frac{1}{x}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减；$f(x)=\ln(x+1)$在$(-1,+\infty)$上单调递增；$f(x)=\sinx$不是单调函数。3.下列关于圆的叙述中，正确的有（）（4分）A.圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则圆心为$(a,b)$，半径为$r$B.圆$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的圆心坐标为$(2,-3)$C.圆$x^2+y^2=1$与直线$y=x$有交点D.圆的半径缩小为原来的一半，面积也缩小为原来的一半E.圆心相同，半径不同的两个圆一定相交【答案】A、C【解析】选项A是圆的标准方程，正确；选项B，圆心坐标为$(2,-3)$，错误，正确圆心为$(2,-3)$；选项C，圆心$(0,0)$到直线$y=x$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，小于半径1，有交点，正确；选项D，面积与半径的平方成正比，半径缩小为原来的一半，面积缩小为原来的$\frac{1}{4}$，错误；选项E，圆心相同，半径不同的两个圆可能相切或不相交，错误。4.下列关于数列的叙述中，正确的有（）（4分）A.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_3=7$，$a_6=15$，则公差$d=4$B.等比数列$\{b_n\}$中，若$b_2=6$，$b_4=54$，则公比$q=3$C.数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$c_n=S_n-S_{n-1}$，则$\{c_n\}$一定是等差数列D.数列$\{d_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$d_n=S_n-S_{n-1}$，则$\{d_n\}$一定是等比数列E.数列$\{e_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n=2n^2+n$，则$c_n=4n+1$【答案】A、B、E【解析】选项A，$a_6=a_3+3d$，$15=7+3d$，$d=4$，正确；选项B，$b_4=b_2q^2$，$54=6q^2$，$q^2=9$，$q=3$，正确；选项C，若$c_1=S_1-S_0=0$，则$c_n=S_n-S_{n-1}$不一定成立，错误；选项D，若$d_1=S_1-S_0=0$，则$d_n=S_n-S_{n-1}$不一定成立，错误；选项E，$c_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+n)-(2(n-1)^2+(n-1))=4n+1$，正确。5.下列关于概率的叙述中，正确的有（）（4分）A.掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为$\frac{1}{2}$B.从一堆产品中不放回地抽取3件，抽到3件次品的概率为$\frac{C_3}{C_10}$（设产品总数为10件）C.若事件$A$和$B$互斥，则$P(A+B)=P(A)+P(B)$D.若事件$A$和$B$相互独立，则$P(A|B)=P(A)$E.若事件$A$的概率为$P(A)=\frac{1}{3}$，则事件$A$至少发生一次的概率为$1-\left(1-\frac{1}{3}\right)^n$（$n$次试验）【答案】A、C、D【解析】选项A，出现点数为偶数的情况有3种，概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，正确；选项B，应为$\frac{C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{120}$，错误；选项C，互斥事件表示$A$和$B$不能同时发生，$P(A+B)=P(A)+P(B)$，正确；选项D，相互独立事件表示$A$的发生不影响$B$的发生，$P(A|B)=P(A)$，正确；选项E，至少发生一次的概率为$1-\left(1-\frac{1}{3}\right)^n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n$，错误。三、填空题（每题4分，共20分）1.已知函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f(2)$的值为________（4分）【答案】$\ln3$【解析】$f(2)=\ln(2+1)=\ln3$。2.已知向量$\vec{a}=(3,1)$，$\vec{b}=(-1,2)$，则$\vec{a}\times\vec{b}$的值为________（4分）【答案】$-5$【解析】$\vec{a}\times\vec{b}=3\times2-1\times(-1)=6+1=7$。3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_4=16$，$S_6=30$，则公差$d$的值为________（4分）【答案】$2$【解析】$S_4=4a_1+6d=16$，$S_6=6a_1+15d=30$，解得$d=2$。4.已知函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)$的最小正周期为$\pi$，且图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值为________（4分）【答案】$\frac{3\pi}{4}$【解析】周期为$\pi$，则$2\pi=2T$，$T=\pi$，又图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$2\times\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$，取$k=1$，$\varphi=\frac{3\pi}{4}$。5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，则$f(f(f(x)))$的值为________（4分）【答案】$\frac{1}{x+3}$【解析】$f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2}$，$f(f(f(x)))=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}+1}=\frac{1}{x+3}$。四、判断题（每题2分，共10分）1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+(-3)=-8，和比两个数都小。2.若$A\subseteqB$，则$P(A)\leqP(B)$（）（2分）【答案】（√）【解析】$P(A)\leqP(B)$是概率的性质。3.函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty,0)$上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】$f'(x)=2x$，在$(-\infty,0)$上$f'(x)<0$，单调递减。4.圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则圆心为$(a,b)$，半径为$r$（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆的标准方程的定义。5.若事件$A$的概率为$P(A)=\frac{1}{3}$，则事件$A$至少发生一次的概率为$1-\left(1-\frac{1}{3}\right)^n$（$n$次试验）（）（2分）【答案】（×）【解析】至少发生一次的概率为$1-\left(1-\frac{1}{3}\right)^n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n$。五、简答题（每题4分，共12分）1.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数在$x=2$处的切线方程。（4分）【答案】$6x-y-8=0$【解析】$f'(x)=2x-2$，$f'(2)=2$，$f(2)=3$，切线方程为$y=2(x-2)+3$，即$2x-y+1=0$。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,4)$，求$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值。（4分）【答案】$\frac{3}{5}$【解析】$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1\times(-3)+2\times4}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{5}$。3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=9$，$S_6=18$，求公差$d$的值。（4分）【答案】$2$【解析】$S_3=3a_1+3d=9$，$S_6=6a_1+15d=18$，解得$d=2$。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)$的最小正周期为$\pi$，且图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，求$\varphi$的值。（10分）【答案】$\frac{3\pi}{4}$【解析】周期为$\pi$，则$2\pi=2T$，$T=\pi$，又图象关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$2\times\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$，取$k=1$，$\varphi=\frac{3\pi}{4}$。2.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(f(f(x)))$的值。（10分）【答案】$\frac{1}{x+3}$【解析】$f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2}$，$f(f(f(x)))=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}+1}=\frac{1}{x+3}$。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求函数在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。（25分）【答案】最大值为2，最小值为0【解析】$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$