2025-2026学年吉林长春市九台区师范高级中学高二第二学期期中考试数学试题 含答案

/九台师范高中2025-2026学年度高二第二学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（）A.13种 B.40种 C.种 D.种【答案】B【解析】【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法，第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为．2.一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件概率计算公式即可求解.【详解】设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为，由题意：，=6×510×9=.即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为.3.已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义计算．【详解】，所以该质点在末的瞬时速度为.故选：C.4.随机变量X的分布列为：X123Pa则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分布列的性质计算即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故选：C.5.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，结合得出，即可求得答案.【详解】由得,故由得,所以,故选：B6.若，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【详解】令，则；令，则；．7.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D.【详解】由题意可得，故A正确；，，故B正确；，，故，故C错误；因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确.8.已知定义在上的函数，，若，则一定有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解【详解】设

，对求导得：，因为

，得

，因此

是定义在R上的单调递减函数，又

，得

，代入即得

.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设离散型随机变量的分布列为4680.30.4若，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值.【详解】对于A、B项，由表格可得，所以.则，.故A正确，B正确；对于C、D项，因为，，，所以，，，故C错误，D正确.故选：ABD.10.下列命题中，正确的命题的序号为（）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大【答案】BCD【解析】【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.【详解】解：对A：因为随机变量服从二项分布，，，所以，，解得，故选项A错误；对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；对C：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确；对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，所以对应的概率，当，时，，令，解得，因为时，所以当时，概率最大，故选项D正确.故选：BCD.11.下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】【详解】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．13.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．【答案】0.87##【解析】【分析】由全概率公式计算．【详解】记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件C，由已知，，，，所以．故答案为：．14.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于_____________.【答案】3【解析】【分析】由题意确定服从二项分布，结合二项分布期望公式即可求解.【详解】由题意摸得黑球的个数服从二项分布，总球数为，单次摸球摸到黑球的概率

p=m3+m​根据二项分布的期望公式，代入已知得：

6⋅m3+解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.（1），必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数.（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.【详解】（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.（2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有.所以至少有2名女生被选出的选法数为.（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.【点睛】本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题.16.在的展开式中，二项式系数的和为64.（1）求展开式中的含有项的系数；（2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由.【答案】（1）240（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案；（2）由（1）中二项式通项分析即可判断.【小问1详解】因二项式系数和为，则.则展开式通项为，令，则含项的系数为；【小问2详解】由（1）令，但由题设可得，则不满足题设，即展开式中不存在常数项.17.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．【小问1详解】两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．【小问2详解】ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．18.坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件，（1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，由古典概型可得结果；（2）求得，利用古典概型求解即可；（3）利用（1）、（2），根据条件概率公式可得结果.【详解】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件，（1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，（2）因为，所以，（3）由（1）（2）可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为.19.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在区间上的最值；（3）证明：当时.【答案】（1）（2）函数在区间的最小值为，最大值为.（3）证明过程见详解【解析】【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】由函数可得，所以切线的斜率为，又因为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由（1）知，当时，，