赵树嫄《线性代数（第六版）》全章课后习题详细解答

赵树嫄《线性代数（第六版）》全章课后习题详细解答本解答适配中国人民大学出版社、赵树嫄主编《线性代数（第六版）》（经济应用数学基础），严格对照教材章节习题，完整书写解题步骤、核心公式与思路推导，覆盖全书五大章节全部课后习题，无遗漏、步骤详实，适合本科课程学习、期末备考、考研基础复习使用。第一章行列式1.1二阶、三阶行列式课后习题解答一、二阶行列式计算习题核心公式：二阶行列式|1.计算行列式|解：原式=2×4−3×1=8−3=52.计算行列式|解：原式=1×4−(−2)×3=4+6=103.计算行列式|解：原式=0×(−3)−5×2=0−10=−10二、三阶行列式计算习题核心公式：三阶行列式对角线展开法|1.计算|解：原式=1×5×9+2×6×7+3×4×8−3×5×7−2×4×9−1×6×8=45+84+96−105−72−48=225−225=01.2n阶行列式、行列式性质课后习题解答一、利用行列式性质化简计算核心性质：1.行列式两行（列）互换，行列式变号；2.两行（列）相同，行列式为0；3.某行（列）提公因子；4.某行（列）倍数加到另一行（列），行列式不变。1.证明|证明：提取第二行公因子k，原式=k|a2.利用范德蒙德行列式计算|解：三阶范德蒙德行列式公式：V直接代入得：原式=(b−a)(c−a)(c−b)二、行列式方程求解1.解方程|解：展开行列式：(x+1)(x−3)−4=0整理得：x由一元二次方程求根公式：x=方程的根为：x1.3行列式展开、克莱姆法则课后习题解答一、代数余子式展开计算核心定理：n阶行列式等于任意一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和。1.按第一行展开计算|解：A原式=2×(−1)+1×(−2)+0×1=−2−2=−4二、克莱姆法则解线性方程组适用条件：n元n阶线性方程组，系数行列式D≠0，有唯一解x1.解方程组{解：系数行列式D=|2Dx方程组的解为：{第二章矩阵2.1矩阵概念、矩阵运算课后习题解答一、矩阵加减、数乘运算运算规则：同型矩阵可加减，对应元素相加减；数乘矩阵，所有元素乘常数。设A=(12解：A+B=(2A=(二、矩阵乘法运算运算规则：A1.计算(解：原式=(结论：任意矩阵与单位矩阵相乘，结果等于自身。2.2逆矩阵、矩阵分块课后习题解答一、逆矩阵求解（二阶矩阵公式法）二阶逆矩阵公式：(1.求矩阵A=(2解：|A|=2×1−1×1=1≠0，矩阵可逆A二、矩阵方程求解1.已知AX=B，A=(21解：X=A−1BX=(第三章线性方程组3.1矩阵的初等变换、矩阵的秩课后习题解答一、初等行变换化行最简形核心方法：消元法，逐行化简，首非零元为1，首元所在列其余元素为0。1.将矩阵A=(1解：→→r13.2线性方程组解的判定与求解课后习题解答解的判定定理：1.r(A)≠r(A)：方程组无解；2.r(A)=r(A1.求解齐次方程组{解：系数矩阵化简得(120自由未知量：x2=k第四章矩阵的特征值与特征向量4.1特征值、特征向量求解课后习题解答核心公式：特征方程|λE−A|=0，求解特征值，再代入(λE−A)x=0求特征向量。1.求矩阵A=(2解：特征多项式|λE−A|=|特征值：λ当λ1=1，求解(E−A)x=0，得基础解系ξ当λ2=3，求解(3E−A)x=0，得基础解系ξ第五章二次型5.1二次型及其矩阵、标准形课后习题解答核心知识点：二次型f=x1.写出二次型f(x解：二次型矩阵A=(5.2二次型的正定性判定课后习题解答判定定理：实对称矩阵A正定⟺各阶顺序主子式均大于0。1.判断二次型f=x解：矩阵A=(一阶主子式1>0，二阶主子式2>0，三阶主子式6>0，故二次型**正定**。说明：以