浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷

浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）A．3 B．5 C．6 D．72．若z=2+i1−i（i为虚数单位），则A．52 B．2 C．102 3．设fx=a+bA．a=1且b=1 B．a=2且b=0 C．a=0且b=2 D．a=1且b=−14．我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2.规格一号二号三号四号五号尺寸（单位：cm）288×192240×160192×128144×9696×64根据上表，可以判断五种规格国旗的（）A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列5．设直线y=kx−k+1与圆x2+y2=4A．1 B．2 C．−1 D．−26．设函数y=3sin4x+φ+cosA．π6 B．π3 C．2π37．已知向量a，b满足a=2b=2，a⋅b=−1，设A．2 B．1 C．52 D．8．设椭圆C：x2a2+y2b2=1A．42 B．4 C．22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在△ABC中，AC=5，BC=4，cos∠BAC=A．sin∠BAC=34 C．CA−CB=310．已知函数fxA．∃a∈R，fxB．∀a∈R，fxC．若fx有三个不同的零点x1，x2，D．过点0,m且与曲线y=fx相切的直线恰有3条，则11．选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作Γkθ为“将正方体绕直线PQ旋转A．Γ1(90°)B．Γ1(40°)，ΓC．Γ1(90°)D．Γ1(75°)，Γ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设函数fx=10−x13．已知双曲线E：x2a2−y2b2=114．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．设公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求q和a1（2）求Sn16．如图，正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，点M是棱PC的中点.（1）证明：PC⊥平面BDM；（2）设点Q在棱AB上，求平面PDQ与平面BDM所成角的余弦值的最大值.17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：等待时间0,55,1010,1515,20频数2014106（1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）记乘客等待时间为X，随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为PX≤x=1−e（i）证明：对于任意的s,t>0，有PX>s+t（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元）；若Y>10，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.18．已知抛物线Γ：y2=2pxp>0的焦点为F，顶点为O，点A（1）求Γ的方程；（2）已知点Mt2,2tt>0在Γ上，过M且斜率为2的直线交（i）求点P的坐标（用t表示）；（ii）设直线OP与Γ的另一个交点为N，焦点F到直线MN的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.19．（1）已知0<x<π2，证明：（2）设∀x∈(0,π2)，若tan（3）求证：k=1n

答案解析部分1．【答案】D【知识点】用样本估计总体的百分位数【解析】【解答】解：将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为i=8×70%=5.6，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，

即数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为7.

故答案为：D.

【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分数的定义求解即可.2．【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模【解析】【解答】解：z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i3．【答案】B【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：函数f(x)=(a+b)cos由题意可知，∀x∈R，f(x)=2恒成立，则a=2且b=0.

故答案为：B.

【分析】利用余弦的二倍角公式化简函数fx，再根据∀x∈R，f(x)=24．【答案】A【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示【解析】【解答】解：由题意得规格一号二号三号四号五号尺寸288×192240×160192×128144×9696×64周长960800640480320面积552963840024576138246144则960−800=800−640=⋯=480−320，周长构成等差数列，96080055296−38400≠38400−24576，面积不构成等差数列，5529638400≠38400【分析】分别计算每个规格的周长和面积，再根据等差数列与等比数列的定义求解判断即可.5．【答案】C【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；直线与圆相交的性质【解析】【解答】解：直线y=kx−k+1化为k(x−1)−y+1=0，则直线过定点P(1,1)，

易知圆x2+y2=4因为点P到圆心O的距离d=1−0且MN与PO垂直时，MN最小，此时kPO=1−01−0=1，且k【分析】化简直线为k(x−1)−y+1=0，求得直线恒过定点P(1,1)，易知圆心为O，和半径，由题意可得MN与PO垂直时，MN最小，利用斜率公式，结合直线垂直斜率之积为-1，求解即可.6．【答案】B【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式【解析】【解答】解：y=3则y=2sin4x+φ+π即4×π2+φ+因为0<φ<π，所以当k=2时，φ=π3符合题意．

故答案为：B.

【分析】利用辅助角公式化简函数y，再根据图象关于直线x=π2对称，求得7．【答案】D【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：由题意得a=2,则c=代入y=1−2x，得c=则当x=14时，c取最小值12【分析】利用向量模的运算，结合向量数量积以及二次函数的性质求c的最小值即可.8．【答案】B【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：易知a=2,b=1，椭圆方程为x2直线AB的斜率为1−00−2=−1因为MN//AB，所以设直线MN的方程为y=−1将其与x24+y2由Δ=4m2−4(2由韦达定理得x1则MN=由MN//AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y−2m=0，则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为d=0+2−2m故梯形ABMN的面积为S=1由图知面积最大值不在m>1时（此时MN在AB上方）取得，故只需考虑S=1−m令m=2cosα，则−2<m<1再令t=sinα−cosα=2故S=1+2故当t=2时，S取得最大值为2

故答案为：B.【分析】由题意可得椭圆的方程，直线AB的方程，由MN//AB，设直线MN的方程为y=−12x+m，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式求得MN9．【答案】B,C【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理【解析】【解答】解：由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅ACA、sin∠BAC=B、S△ABCC、CA=5D、AC=5×4×−45【分析】在△ABC中，利用余弦定理求得AB的长，确定△ABC为直角三角形，解直角三角形求sin∠BAC即可判断A；求△ABC10．【答案】A,C,D【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：函数fx=2xA、若fx是增函数，只需f'x≥0，则a−6≥0，解得a≥6，即B、f−x=2−x则f−x≠−fxC、若fx有三个不同的零点x1，x2，x其中一个零点为x1=0，另外两个零点为2x2+6x+a=0的两个根x所以x1D、设切点为t,2t3+6所以切线方程为y−2又切线过0,m，所以m−2t3切线恰有3条，等价于m=−4t3−6t2有3个不同的实数解，

g'令g't=0，即t2+t=0当t∈−∞,−1∪0,+∞时，所以gt在−∞,−1、0,+所以极小值为g−1=−4×−1所以当−2<m<0时，gt与y=m所以当−2<m<0时，过点0,m且与曲线y=fx相切的直线恰有3条，故D正确.

【分析】求函数fx的导函数，假设fx为增函数，则f'x≥0恒成立，求得a的取值范围即可判断A；根据奇函数的定义即可判断B；根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可判断C；设切点为t,2t3+6t11．【答案】A,B,D【知识点】棱柱的结构特征【解析】【解答】解：要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴，且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍，正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为90°；体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕A1C旋转故基本对称角度为120°；棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为180°，由于点P,Q是在表面上选取的，只要PQ连线经过正方体中心，PQ就可以成为上述三种对称轴之一，因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和，A、总角度可以为90°+180°=270°=90°×3，故A正确；B、总角度可以为40°+40°+40°=120°，故B正确；C、总角度为90°+60°=150°或90°−60°=30°，均不是90°,120°,180°的整数倍，故C错误；D、总角度可以为75°−15°+60°=120°，故D正确.

故答案为：ABD.【分析】由正方体的特征可知旋转轴必须是正方体的对称轴，根据正方体的旋转对称性，得到旋转角度应满足的条件，再依次验证选项即可.12．【答案】2【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则【解析】【解答】解：因为f(−2)=102=100，所以f(f(−2))=f(100)=lg100=213．【答案】3+1【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设P在x轴上方，由双曲线的对称性可知OP=OQ，又因为PF⊥QF，所以△PFQ为直角三角形，所以OP=OF，又因为直线PQ的斜率为3，得到∠POF=60°，所以△POF为正三角形，有∠PFO=60°，连接P与左焦点F'，由OP=OF=OF'，可得△PF由双曲线定义可知PF'−PF=2a则双曲线的离心率为e=c

故答案为：3+1.

【分析】设P在x轴上方，由双曲线的对称性可知OP=OQ，再由PF⊥QF以及直线PQ的斜率为3，可得△POF为正三角形，且∠PFO=60°，连接P与左焦点F'14．【答案】82【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列与组合的综合【解析】【解答】解：先对边标号，如图所示：当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色；①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样，则（1）①②③④四边同色，此时共有C2（2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有C4（3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有A2若①②同色，③④同色，则有A2若①④同色，②③同色，则有A2此时共有32+8+8=48种；综上，共有2+32+48=82种．

故答案为：82.【分析】先对边进行标号，分①②③④四边同色；①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理求解即可．15．【答案】（1）解：(1)设等比数列an公比为q当n=1时，S1=a2−2当n≥2时，Sn=an+1−2Sn−1a2−a（2）解：由(1)得Sn【知识点】等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系【解析】【分析】(1)设等比数列an公比为q，根据数列Sn，an(2)由（1）的结论，结合等比数列前n项和公式求解即可.（1）解：(1)设数列an公比为q当n=1时，S1=a2−2当n≥2时，Sn=an+1−2,所以，q=2，a2−a（2）由(1)得Sn16．【答案】（1）证明：因为P−ABCD的所有棱长相等，点M是棱PC的中点，所以PC⊥DM，PC⊥BM，又因为DM∩BM=M，DM,BM⊂平面BDM，所以PC⊥平面BDM；（2）解：以D为坐标原点，AD,DC所在直线为x,y轴，以过点D且垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则D0,0,0，C0,2,0，P设Q(2,t,0)(0≤t≤2)，由（1）知PC⊥平面BDM，则CP=1,−1,2为平面BDM的法向量，DQ设平面PDQ的法向量为n=x,y,z，则DQ⋅记平面PDQ与平面BDM所成角为θ，则cosθ=当t=23时，cosθ【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合线面垂直的判定定理证明PC⊥平面BDM即可；（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，设Q(2,t,0)(0≤t≤2)，由（1）知PC⊥平面BDM，利用空间向量法，结合二次函数的性质求解即可.（1）因为P−ABCD的所有棱长相等，点M是棱PC的中点，所以PC⊥DM，PC⊥BM，又因为DM∩BM=M，DM,BM⊂平面BDM，所以PC⊥平面BDM.（2）以D为坐标原点，AD,DC所在直线为x,y轴，以过点D且垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D0,0,0，C0,2,0，设Q(2,t,0)(0≤t≤2)，由（1）知PC⊥平面BDM，则CP=1,−1,2则DQ=2,t,0，设平面PDQ的法向量为n=则DQ⋅n=2x+ty=0,记平面PDQ与平面BDM所成角为θ，则cosθ=当t=23时，cosθ17．【答案】（1）解：平均时间X=（2）（i）证明：由题意知，P(X>t)=1−P(X≤t)=e分别记已经等待s分钟和已经等待s+t分钟为事件A和事件B，则PX>s+t所以对于任意的s,t>0，有PX>s+t（ii）由（i）知，P(Y>10)=PX>5+10P(0≤Y≤10)=1−P(Y>10)=1−e则费用的期望是2×1−【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差；条件概率【解析】【分析】（1）根据表格数据，计算平均时间即可；（2）（i）由题意知，P(X>t)=1−P(X≤t)=e（ii）由（i）结合指数分布的数学期望计算即可.（1）平均时间X=（2）（i）证明：由题意知，P(X>t)=1−P(X≤t)=e分别记已经等待s分钟和已经等待s+t分钟为事件A和事件B，则P=e所以对于任意的s,t>0，有PX>s+t（ii）由（i）知，P(Y>10)=PP(0≤Y≤10)=1−P(Y>10)=1−e所以费用的期望是2×1−18．【答案】（1）解：将点A4,4代入y2=2px，解得p=2，则抛物线Γ（2）解：（i）过M点斜率为2的直线y−2t=2x−t2，LOA直线方程y=x，

联立y−2t=2x−设PxP,yP即t2+xP=2（ii）因为P3t2−4t,4t解方程组y=4t−63t−4x所以kMN直线MN：y−2t=2t−3t2−2x−t2又因为F1,0，所以EF=2−12+32=【知识点】恒过定点的直线；抛物线的定义；抛