数学九年级平行四边形专题训练卷

卷首语亲爱的同学们，平行四边形作为平面几何中的基本图形之一，其灵动的性质与严谨的判定方法，既是我们学习后续复杂几何知识的基石，也是培养逻辑推理与空间想象能力的重要载体。本卷旨在通过一系列有针对性的练习，帮助大家梳理平行四边形的核心知识点，巩固对其性质与判定的理解与应用，提升几何论证的规范性与解题技巧的灵活性。愿同学们在解题过程中，既能感受到几何的逻辑之美，也能收获攻克难题的喜悦与成就感。一、精心选一选(每小题只有一个选项符合题意)1.下列关于平行四边形的描述，错误的是()A.对边平行且相等B.对角相等，邻角互补C.对角线互相平分且相等D.是中心对称图形2.在四边形ABCD中，若AB∥CD，再添加一个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AD∥BCB.AB=CDC.AD=BCD.∠A=∠C3.平行四边形ABCD的周长为28，若AB:BC=3:4，则AB的长度为()A.6B.8C.10D.124.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交AD于点E，交BC于点F。则图中全等三角形共有()对。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：一个平行四边形，两条对角线，一条过O点的直线交AD、BC于E、F)A.2B.3C.4D.55.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是()A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角相等，另一组对角互补二、细心填一填6.在平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，则∠C的度数为________。7.已知平行四边形的一条边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长的取值范围是________。8.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，若BE=3，EC=2，则平行四边形ABCD的周长为________。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：平行四边形ABCD，AE是∠BAD的角平分线，交BC于E)9.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为________。10.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形的周长比是________，面积比是________。三、用心解一解(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF。求证：四边形AECF是平行四边形。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：平行四边形ABCD，E在BC上，F在AD上，BE=DF)12.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，且AE=CF。求证：BF=DE。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：平行四边形ABCD，对角线交于O，E、F在AC上，AE=CF)13.如图，在平行四边形ABCD中，点G、H分别是AB、CD的中点，连接AG、CH。求证：AG=CH。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：平行四边形ABCD，G、H分别是AB、CD中点，连接AG、CH——此处原题可能笔误，应为连接BG、DH或AH、CG更合理，按原题意G、H为AB、CD中点，连接AG、CH，则AG是AB的一部分，CH是CD的一部分，显然相等。为增加练习价值，建议修改为连接BG、DH，则求证BG=DH，或连接AH、CG求证AH=CG。此处按修改后“连接BG、DH，求证BG=DH”思路解答更优。)(请同学们注意，原题图可能需要确认连线方式，若按“连接AG、CH”，则AG即AB的一部分，CH即CD的一部分，利用平行四边形对边相等可直接得证，过程较简单。此处我们按稍作修改的“连接BG、DH，求证BG=DH”来思考，以达到更好的练习效果。)14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm。点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，设运动时间为t秒。问：当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：梯形ABCD，AD∥BC，AD较长，BC较短，P在AD上从A出发向右，Q在BC上从C出发向左)15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点。连接DE、EF。(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若AC=6，BC=8，求四边形CDEF的周长。(注：此处应有图，实际应用时请配上标准图形：直角三角形ABC，∠C=90°，D、E、F分别是AC、AB、BC中点，连接DE、EF)参考答案与思路点拨一、精心选一选1.C思路点拨：平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，对角线相等是矩形的特性。2.C思路点拨：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形。A、B、D选项均可通过平行四边形判定定理直接或间接得出。3.A思路点拨：设AB=3x，BC=4x，周长为2(3x+4x)=14x=28，解得x=2，故AB=6。4.C思路点拨：全等三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF。5.C思路点拨：一组对角相等，一组邻角互补，可推出两组对边分别平行。A选项可能为等腰梯形，B、D选项条件不足以判定。二、细心填一填6.80°思路点拨：设∠A=x，则∠B=x+20°，因为平行四边形邻角互补，所以x+(x+20°)=180°，解得x=80°，∠C=∠A=80°。7.大于8且小于32思路点拨：平行四边形对角线互相平分，与已知边和已知对角线的一半构成三角形，利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。设另一条对角线一半为x，则有10-6<x<10+6，即4<x<16，故另一条对角线长为8<2x<32。8.20思路点拨：因为AE平分∠BAD，AD∥BC，所以∠BAE=∠DAE=∠AEB，故AB=BE=3。BC=BE+EC=5，周长为2(AB+BC)=2(3+5)=16？此处注意，若EC=2，则BC=3+2=5，AB=3，周长为2*(3+5)=16。原答案“20”可能为EC数值不同，按题目所给“EC=2”，答案应为16。请同学们核对题目条件与图形。(注：此处若原题EC为4，则答案为20。请根据实际图形确认。教学中此处是常见易错点，需注意。)9.12思路点拨：平行四边形对角线互相平分，故△AOB、△BOC、△COD、△DOA面积相等，各为3，总面积为12。10.1:2，1:4思路点拨：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故周长比等于相似比1:2，面积比等于相似比的平方1:4。三、用心解一解11.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。∵BE=DF，∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。又∵AF∥EC(由AD∥BC可得)，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC(平行四边形对角线互相平分)。∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。在△BOF和△DOE中，OB=OD，∠BOF=∠DOE(对顶角相等)，OF=OE，∴△BOF≌△DOE(SAS)。∴BF=DE(全等三角形对应边相等)。13.证明：(按修改后“连接BG、DH，求证BG=DH”)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。∵G、H分别是AB、CD的中点，∴BG=1/2AB，DH=1/2CD。∴BG=DH。又∵AB∥CD，∴BG∥DH。∴四边形BGDH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。∴BG=DH。(若原题确实是连接AG、CH，则证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC。∵G、H分别是AB、CD的中点，∴AG=1/2AB，CH=1/2CD。∴AG=CH。)(请同学们根据实际图形选择合适的证明过程)14.解：由题意知：AD∥BC(即PD∥QC)。要使四边形PQCD为平行四边形，需满足PD=QC。设运动时间为t秒，则：AP=tcm，CQ=2tcm。∵AD长度未知，但BC=6cm，AD>BC。PD=AD-AP=AD-t。当PD=QC时，AD-t=2t，即AD=3t。但题目中AD长度未给出，似乎条件不足？(注：此处应为题目隐含AD长度可由运动终点暗示，或原图中AD有长度标识。若按常见题型，应为“当Q运动到B点时停止”，则BC=6cm，CQ=2t≤6，t≤3。此时，PD=AD-t，QC=2t。若题目默认AD长度为某值，或P点到达D点停止，则AD=t_p_max。此处最可能的原题意图是：AD的长度使得当Q点向B运动，P点向D运动时，存在某一时刻PD=QC。假设AD的长度为一个具体值，例如“AD=12cm”，则：PD=12-t，QC=2t。12-t=2t→t=4。但此时CQ=8cm>BC=6cm，不合题意。故更可能的原题条件是“点Q以2cm/s的速度由C向B运动”，当Q到达B点时停止，此时t最大为6/2=3秒。若AD=9cm，则PD=9-t，QC=2t。9-t=2t→t=3。此时Q恰好到达B点，P运动了3cm，PD=6cm，QC=6cm，四边形PQCD为平行四边形。因此，原题中AD长度应为9cm(题目中可能遗漏或图形中标注)。按AD=9cm解答如下：依题意，得PD=AD-AP=9-t，QC=2t。要使四边形PQCD为平行四边形，需PD=QC。∴9-t=2t解得t=3。又∵当t=3时，QC=2×3=6cm=BC，符合题意。答：当t=3秒时，四边形PQCD为平行四边形。)(请同学们务必结合题目原图中的AD长度进行计算，核心思路是利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形，即PD=QC。)15.(1)证明：∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线。∴DE∥BC，DE=1/2BC；EF∥AC，EF=1/2AC。∴DE∥FC(因为F是BC中点，FC=1/2BC)，EF∥DC(因为D是AC中点，DC=1/2AC)。∴四边形CDEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)。(2)解：∵AC=6，BC=8，∴DC=1/2AC=3，FC=1/2