【探究导学练】人教版七年级数学下册：定义、命题、定理（第二课时）含答案

【探究导学练】人教版七下数学7.3定义、命题、定理（第二课时）

课题7.3定义、命题、定理（第二课时）单元第七章学科数学年级七年级

1.了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理H勺依据。

学习2.初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明

目标中的每一步都要有根据。

3.掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。

重点理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。

难点理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。

探究过程

|目_、导入新课弓I入思考、

1.可以判断为正确（或直）或错误（或假）的陈述语句，叫作。被判断为正确（或直）的命题叫作

。被判断为错误（或假）的命题叫作O

2.数学中的命题常可以写成“”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是

3.判断一个命题真命题还是假命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果

结论一定,此命题就是真命题，否则，就是_________.

im二、新知探究本节课来研究：

本节我们借助命题以及前面所学习的相关知识，研究定理、证明及用举反例的方法来判断假命题。

一、定理

问题1：说出两个我们学过的基本事实.

问题2：说出两个经过推理得到的真命题.

归纳：有一些命题，如“对顶角相等皿内错角相等，两直线平行“，它们的正确性是经过________证实的，这样

的真命题叫作.

定理也可以作为继续的依据.

二、证明

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作.

下面，以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来

说明什么是证明.

己知：如图所示，直线a_Lb,b//c.

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证明：・・・〃_Lb（已知）,

Z1=90°().

,/bffc(),

.\Z1=Z2().

・・・/2=90。（等式的基本事实）.

・•・〃_Lc（垂直的定义）.

注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的

,等。

条件定义、定理、基本事实

结论

推理

推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分.

例1：在下面的括号内，填上推理的依据.

如图，A8〃CD,CBHDE,

求证：ZB+ZD=180°.

证明：AB//CD,

,NB=NC().

CBHDE,

・•・ZC+ZD=180°().

・•・NB+ZD=180°().

归纳：注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明.

三、举反例判断假命题

指出：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足就可以了.

举反例说明：“相等的角是对顶角”是错误的.

解：如图所示,

第2页

4

•・•。。是的平分线

:.Z___=Z2

但N1和N2不是

・•・“相等的角是对顶角”是错误的。

例2：命题“同位角相等“是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.

归纳：举反例是判断一个命题是假命题的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到.

|口三、课堂练习|知识技能类作业》

一、必做题1：

1.下列选项中，能说明命题”对于任何实数a,都有小＞0”是假命题的a的值是（）

A.a=—3B.a=—1C.a=0D.a=2

2.下列可以作为定理的有（）

①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内

角和为180。.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.要说明命题“若。+人＞0,则a＞0,是假命题，贝lja=,b=.

二、选做题1：

4.指日下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例.

（1）两个角的和等于直角时，1去两个角互为余角；

（2）同旁内角互补.

:：|综合拓展类作业〉

5.补全下列推理过程：

如图，已知4B//CE,/-A=ZF,试说明：乙CGD="HB,

r

C也'

D

第3页

解：，：AB〃CE（已知）

Z..4—Z.ADC_____________________________

vZ.4=乙E（已知）

:.Z.E=Z.ADC_____________

AD//EF___________________________

•••乙CGD=乙GHE___________________________

乙FHB=LGHE_______________

:.乙CGD=乙FHB

|口四、课堂小结说一说：今天这节课，你都有哪些收获？

|日五、作业设计|知识技能类作业、

三、必做题2：

6.能说明命题“若则Q＞1.”是假命题的反例可以是（）

A.a=-2B.a=1C.a=2D.a=n

7.以下四个例子中，•不•能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（）

A.设这个角是30。，它的余角是60。，但30。V60。

B.设这个角是45。，它的余角是45。，但45。=45。

C.设这个角是60。，它的余角是30。，但30。＜60。

D.设这个角是50。，它的余角是40。，但40。＜50。

8.下列命题可以作定理的有个.

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程/工+7=空的根；④三角形的内

角和是180。；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.

四、选做题2：

9.如图，现有以下3个论断：@AB//CD；②4B=4C;③4E=4F.请以其中2个论断为条件，另一个论

断为结论构造命题.

（1）请写出所有的真命题；

（2）请选择其中一个命题加以证明.

|综合拓展类作业〉

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10.如图，从①/1=42,②乙C=/O,③乙4=4/三个条件口选出两个作为已知条件，另一个作为结论

可以组成3个命题.

(1)这三个命题中，真命题有个;

(2)选择一个真命题，并且完成证明过程.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•当a=0时，a2=0,

・•・能说明命题”对于任意实数a,都有a2>0”是假命题的反例是a=0.

故答案选：C.

【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例，即满足命题的条件，但不满足命题的结论的例子即

可.要找出一个实数a,使得a/0,从而说明原命题是假命题.通过观察选项，可以发现当a=0时，a2=0,这与

原命题的结论相矛盾，因此得出结论.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：①一个能被2整除的数不一定能被4整除，为假命题，错误，不符合题意

②相等的角不一定是对顶角，为假命题，错误，不符合题意

③25与x的平均值不一定是3,为假命题，错误，不符合题意

④三角形内角和为180。为真命题，正确，符合题意

故答案为：A

【分析】根据命题与定理的定义逐项进行判断即可求出答案.

3.【答案】2；-1（答案不唯一）

【解析】【解答】解：当a=2,b=—1时，a+b>0,但b<0,则原命题为假命题，

故答案为：2,-1.

【分析】令Q=2,6=-1时.，代人判断即可.

4.【答案】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个命题是真命题

（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题;

反例：如图中乙1与乙2是同旁内角，乙1+乙20180。，

【解析】【分析】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.命题的条件成立，结论也

成立是真命题，

（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，命题的条件成立，结论不成立是假命题

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5.【答案】两直线平行，内错角相笔；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对

顶角相等

【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解:A：a=-2,|-2|=2>1,而・2<1,符合题意；

B：a=l,|1|=1,不符合题意；

C：a=2,|2|=2>1,2>1,不符合题意；

D：CZ=7T,|7t|=7t>l,71>1,不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据绝对值性质，不等式性质逐项进行判断即可求出答案.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项错误，符合题意；

B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项正确，不符合题意；

C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确，不符合题意；

D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确，不符合题意.

故答案为：A

【分析】根据真假命题逐项进行判断即可求出答案.

8.【答案】2

【解析】【解答】解：①2与6的平均值是竽=4,为假命题，不能作为定理，不符合题意；

②能被3整除的数不一定能被6整除，为假命题，不能作为定理，不符合题意；

③解方程2％+7=空，可得％=孕。5,则5是方程义工+7=空的根为假命题，不能作为定理，不符

ZOoLO

合题意；

④三角形的内角和是180。，为真命题，能作为定理，符合题意；

⑤等式两边加上同一个数仍是等式，为真命题，能作为定理，符合题意；

故答案为：2

【分析】根据真假命题，定理的定义逐项进行判断即可求出答案.

9.【答案】(1)解：命题1：由①②得到③

命