北师大版七年级数学下册 第三章 第2节《 频率的稳定性》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

3.2频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性）

（教学设计）

教学分析

教学内容,J解析

1.教学内容

本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第二节《频率的稳定性》第1课

时，本节课主要内容包括：通过掷图钉试验，理解频率的概念；经历猜测、试验、收集数据、

分析结果的过程，感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；了解频率稳定性

的意义，能用频率估计事件发生的可能性大小.

2•内容解析

本节课是第三章“概率初步”的核心内容，是在学生学习了“感受可能性”，对确定事件和随

机事件有了初步认识的基础上进行的.从知识体系看，本节课实现了从定性描述（可能性大小）

到定量分析（频率稳定性）的跨越，是概率学习的转折点。教材选择掷图钉这一非等可能事件

作为研究对象，意在纠正学生“一次试验出现两种结果，那么这两种结果发生的可能性一定相

同”的错误观念.从思想方法层面看，本节课集中体现了“随机观念”“统计思想”和1“归纳思

想”。通过大量重复试验，让学生亲身体验频率的波动性与稳定性，理解概率是频率的稳定值

这一核心思想。同时，本节课也为后续学习等可能事件的概率及概率计算奠定基础.

基于以上分析，本节课的教学重点为：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有

稳定性.

教学目标与解析

1.教学目标

（1）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发

生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小.

（2）经历“猜测一试验一收集数据一分析结果一得出结论”的完整探究过程，体会统计思想;

通过绘制折线统计图，培养数据分析能力.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），

感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神.

2.目标分析

（1）强调概念的准确理解和基本技能的掌握.学生需要能够正确计算频率，理解频率稳定性的

含义.

（2）侧重于过程体验和方法习得.通过“做数学”的过程，让学生经历科学探究的完整路径，

培养数据分析观念.

（3）通过试验活动和数学史介绍，让学生在动手操作中感受数学的趣味性和严谨性，培养实

事求是的科学态度.

学生在小学己经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性.

通过上一节课的学习，学生已经了解了随机事件发生的可能性有大有小，具备了一定的基础.

但学生可能存在以下迷思概念：①认为一次试验出现两种结果，那么这两种结果发生的可能性

一定相同；②认为频率就是概率，不理解频率的随机波动性；③当试验次数较少时，容易对结

果产生错误判断。七年级学生活泼好动，对“做数学”有浓厚的兴趣，具备一定的合作学习经

验，但数据处理能力和抽象思维能力仍需教师引导.

基于以上分析•，确定本节课的教学难点是：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率

与概率关系的初步感知.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

情境创设：小明和小丽想用掷图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后如

果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意谁

的观点？为什么？

学生猜测：学生可能凭直觉认为两种结果可能性不同，也可能认为各占一半.

追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？

引导学生想到做试验

引出课题：今天我们就通过试验来研究这个问题一一频率的稳定性.

（没计意图：从生活情境出发，引发认知冲突，激发学生通过试验验证猜想的需求，自然导入

新课.）

新知探究

探究点1:分组试验，获取数据

介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生

的频率。

任务1一一小组试验

两人一组，一人掷图钉，一人记录.

每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数.

计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）.

填入教材P140表格.

任务2——全班汇总.

各组汇报试验结果.

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400）

引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？

教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠

结论，需要增加试验次数.

（设计意图：通过亲身试验，让学生体验随机现象的不确定性；通过数据汇总，初步感受随着

次数增加，数据呈现的规律性.）

探究点2：绘制图表，探究规律

任务3一—绘制折线统计图

根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点

画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图

观察思考：

随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近摆动，还是亳无规律？

摆动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率

具有稳定性.

（设计意图：通过绘制折线统计图，将抽象数据可视化，帮助学生直观发现频率的稳定性规律，

突破本节课难点.）

探究点3：数学史话，深化认识

介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等）

试验者投掷次数正面出现次数正面频率

布丰404020480.5069

皮尔逊1200060190.5016

思考：这些数据支持我们发现的规律吗？

介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布•伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定

律”，这是概率论的重要基石.

（没计意图：通过数学史介经，让学生了解知识的产生背景，增强学习兴趣，同时用更大样本

的数据验证发现的规律，增强说服力.）

典型例题

L问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：

射击总次数n10205010020050()1000

击中靶心次数m9164188168429861

击中靶心频率m/n

（1）完成上表

（2）观察频率变化，有什么规律？

（3）估计该运动员击中靶心的可能性有多大？

学生独立完成，教师巡视指导.

（没计意图：通过射击问题的练习，巩固频率稳定性的理解，初步学会用频率估计可能性大小.）

巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：目的是让学生利用已收集到的数据，再次经历汇总数据、绘制折线统计图、分析试

验结果的过程，最后得到类似的结论：在试验次数很大时，盖M向下的频率也会在一个常数附

近摆动，即盖口向下的频率也一样具有稳定性.

拓展提升

问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉

尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？

学生讨论：5次试验次数太少，频率不稳定，不能代表普遍规律.

问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉

尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？

学生讨论：1（）00次试验次数较大，频率相对稳定，可以作为估计依据.

（没计意图：通过对比辨析，让学生理解试验次数对频率稳定性的影响，初步体会用频率估计

可能性的思想.）

真题感知

1.（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均四个完全

相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，

每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.

（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是，

A.必然事件

B.随机事件

C.不可能事件

【解答】解：（I）由题意可得，

若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，

故答案为：B.

2.（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上

B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【解答】解：A.投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意；

B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件、故该项符合题意；

C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意；

D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意；

故选：B.

（没计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考

试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

课堂小结

知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆

动.（2）重要结论：试验次数埴金，频率越稳定，越能反映事件发生的亘能性太小.

方法总结：（1）探究路径：猜测f试验-＞收集数据-＞分析数据-＞得111结论.（2）统计思想：用

数贵,说话，用典估计可能性.

易错提醒：（1）不能用少量试验的频率代表普遍规律,试验次数太少时结论不可靠.（2）忽略

条件：频率的稳定性是在“大量重复试验”的条件下成立的.

（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：教材习题3.2第1、2题.

探究性作业：教材习题3.2第4题.

（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫）

板书设计

主板书副板书

3.2频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频典型例题

率的稳定性）

探究点1：分组试验，获取数据学生练习板演

探究点2：绘制图表，探究规律

探究点3：数学史话，深化认识

课堂小结

教学反思

3.2频率的稳定性（第2课时：等可能事件的频率稳定性与概率）

（教学设计）

教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第二节《频率的稳定性》第2课

时，本节课主要内容包括：通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的

频率具有稳定性；理解概率的定义，明确频率与概率的区别与联系；了解用频率估计概率的必

要性和合理性；能运用频率估计概率的方法解决简单的实际问题。

2•内容解析

本节课是第三章“概率初步”的核心内容，是在第一课时非等可能事件（掷图钉）频率稳定性

探究的基础上进行的深化与拓展。从知识体系看，本节课实现了从“频率稳定性”到“概率”

的概念跨越一一通过等可能事件（掷硬币）的试验，引导学生认识到频率稳定到的那个常数就

是事件发生的概率，从而建立概率的统计定义.从思想方法层面看，本节课集中体现了“随机观

念”“统计思想”和“归纳思想”。教材通过掷硬币这一经典试验，让学生在大量重复试验中

感受频率的稳定性，并借助历史上数学家的试验数据，增强结论的说服力。本节课的学习为学

生后续学习等可能事件的概率计算及概率的应用奠定重要基础.

基于以上分析，本节课的教学重点为：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.

教学目标可解析

2.教学目标

（1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理

解概率的定义，知道必然事件，不可能事件，随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，

用频率来估计事件发生的概率.

（2）经历“猜测一试脸一收集试验数据一分析试验结果一验证猜测”的完整探窕过程，体会

数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方

法.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验,

感受数学文化的魅力；通过对实际问题的分析，体会数学的应用价值.

2.目标分析

（1）强调概率概念的准确理解和基本方法的掌握。学生需要能够区分频率与概率，理解用频

率估计概率的合理性，并能进行简单应用.

（2）侧重于过程体验和方法习得。通过“做数学”的过程，让学生经历从猜测到验证的完整

探究路径，培养数据分析观念和随机思维.

（3）通过试验活动和数学史介绍，让学生在动手操作中感受数学的严谨性和趣味性，培养实

事求是的科学态度.

学情分析

学生在第一课时已经通过掷图钉试验，初步感受了在试验次数很大时随机事件发生的频率具有

稳定性，理解了频率的概念，并获得了从事统计活动所必需的一些数学活动经验.同时，学生在

小学已经接触过简单事件发生的可能性，对“可能性大小”有初步的感性认识.但学生在本节课

学习中可能遇到以卜困难：①对“频率稳定在常数附近”的埋解仍停留在表面，需要进一步深

化；②混淆频率与概率的概念，不理解二者的区别与联系；③对概率的统计定义（用频率估计

概率）感到抽象；④当试验次数较少时，容易对频率的稳定性产生怀疑。因此，教学中应注重

通过大量数据（包括数学家数据）增强说服力，并通过对比辨析帮助学生建立清晰概念.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解频率与概率的区别与联系，建立概率的统计定

义.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题回顾：上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？

学生回答：在试验次数很大时:钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性。

追问：这个规律是否具有普遍性？对丁掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？

引出课题：今天我们就通过掷硬币试验，继续探究频率的稳定性，并学习概率的概念。

（设计意图：通过回顾上节课的结论，激活学生已有经验，同时设置悬念激发探究欲望，自然

导入新课.）

新知探窕

探究点1:分组试验，获取数据

介绍试验背景：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后会出现两种情况一一正面朝上或正面朝下。

你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？

任务1—小组试验：

两人一组，一人掷硬币，一人记录

每组做20次掷硬币游戏，记录正面朝上、朝下的次数

计算正面朝上的频率（正面朝上次数/试验总次数）

将数据填入教材P145表格

任务2——全班汇总：

各组汇报试验结果

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、60……200）

引导学生观察：随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

（设计意图：通过亲身试验，让学生体验等可能事件的随机性：通过数据汇总，初步感受随着次

数增加，频率趋近于0.5的规律.当试验次数较少时，频率可能与猜测有出入，这正好引发学生

对“试验次数足够多”的思考.）

探究点2:绘制图表，探究规律

任务3——绘制折线统计图：

根据全班汇总数据，在教材PI45的坐标系中描点.

画出正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图.

观察思考：

随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？

摆动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

初步结论：在试验次数很大归，正面朝上的频率都会在0.5附近摆动，即频率具有稳定性.

（设计意图：通过绘制折线统计图，将抽象数据可视化，帮助学生直观发现频率的稳定性规律,

突破本节课难点.）

探究点3:数学史话，验证规律

介绍数学家试验数据：出示历史上数学家所做的掷硬币试验数据：

试验者投掷次数n正面出现次数m正面出现的频率m/n

布丰404020480.5069

德•摩根409220480.5005

费勒1000049790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

维尼30000149940.4998

思考：这些数据支持你发现的规律吗？

总结归纳：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时，事件发生的频率都会在

一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布・伯努利最早

阐明的，他还提出了“大数定律”.

(设计意图：通过数学史介绍，让学生了解知识的产生背景，增强学习兴趣；用更大样本的数据

验证发现的规律，增强结论的说服力.)

探究点4:概念建立一概率的定义

教师讲解：由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁,

这就意味着事件A发生的可能性也越大.因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的

大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A).

明确关系：一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生

的概率.

想一想：

事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？

必然事件发生的概率是多少？

不可能事件发生的概率是多少？

归纳总结：必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;随机事件A发生的概率P(A)是

0与1之间的一个常数.

(设计意图：从频率的稳定性自然过渡到概率的定义，帮助学生建立概率的统计定义；通过“想

一想”明确三类事件的概率取值范围，完善认知结构.)

典型例题

例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等

语言来描述下列事件的可能性.

⑴买20注七星彩票，获特等奖500万；

(2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球；

(3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上；

(4)10()件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品；

⑸早晨太阳从东方升起；

(6)小丽能跳5m高.

【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐

一判断即可.

【详解】(1)解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小；

(2)解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能；

(3)解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能；

(4)解：100件产品中有2件次品,98件正品,从中任取一件,刚好是正品,很可能;

(5)解：早晨太阳从东方升起，一定；

(6)解：小丽能跳5m高，不可能.

例22023中国人工智能大会于1()月14日至15日在太原举办.哥哥和弟弟都想去，但他们只有一

张主题展览门票，两人商量才去转转盘(如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1,2,3,

4的4个扇形区域)的游戏方式决定谁去参观.规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的

数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表

或画树状图的方法说明理由.

【分析】本题考察的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相

等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有

等可能的情况数，算出指针两次所指数字和都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公

平.

【详解】解：该游戏公平.理由:

列表如下:

第一次

结果1234

第二次

12345

23456

34567

45678

由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同，

其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种，

_8_=_8_

所以，P(哥哥去)"记，P(弟弟去)二记，

即P(哥哥去)=P(弟弟去).

所以游戏公平.

(设计意图：强化对概率的认识)

巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：1.(1)从左到右依次填写：

().900,0.800,0.820,().88(),0.840,0.858,().861;(2)略;(3)概率大约是0.861.

(没计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学

生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略)

拓展提升

1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的.将它从一定

高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下.由于棋子的两面不

均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：

试验次数〃2040608()100120140160

“帅”字面朝上的频数机a18384752667788

m

0.70.450.630.590.520.550.55b

“帅”字面朝上的频率〃

⑴求出上表中数据〃和b的值;

⑵根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保

留两位小数）

/?=—=0.55

【详解】（1）解：0=20x0.7=14；160

（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是。55.

（设计意图：强化对概率的认识）

真题感知

1.（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四木

书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

A"B"C—D*

【解答】解：•・•某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本

书的长文本阅读活动，

・・・小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为；，

4

故选：C.

2.（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字）,

若向上一面出现数字1的概率为%出现数字2的概率为g则该木块不可能是（）

A.

【解答】解：,・・向上一面出现数字1的概率为（出现数字2的概率为%

・・・6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，

・•・只能有一个面标有“3”，

该木块不可能是选项A.

故选：A.

3.（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机

抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（