2027届新高三数学热点复习任意角、弧度制及任意角的三角函数

2027届新高三数学热点复习任意角、弧度制及任意角的三角函数01.必备知识·助学教材知识清单1.角的概念(1)定义：角可以看成是平面内的一条射线绕着它的________旋转所形成的图形．(2)分类：按旋转方向不同分为________、________、________．按终边位置不同分为________和轴线角．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．端点正角负角零角象限角S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}剖析相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式提醒

在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．角α的弧度数公式|α|＝________(弧长用l表示)角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝________扇形面积公式S＝____________＝____________半径长

|α|r

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______(x≠0)．(2)定义的推广设P(x，y)是角α(α∈R)终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．yx

【常用结论】(1)β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα>0，则α的终边落在第一或第二象限.(

)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(

)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(

)(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(

)××××

答案：D

3．(人教A版必修一P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________．

4．(人教A版必修一P176T11改编)时间经过4h(时)，时针转了________弧度；若时针长度是1厘米，则时针4h(时)转出的扇形面积是________平方厘米．

02.考教衔接·活用教材

答案：B

答案：C

(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．

答案：B

命题点二弧度制与扇形的弧长、面积公式例2(1)(2026·沈阳模拟)已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为(

)A．10，4 B．20，4C．10，6 D．20，6答案：A

(2)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为(

)A．2 B．4C．0.5 D．0.25答案：A

学霸笔记：(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个．(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(3)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．跟踪训练

(衔接·人教A版必修一P176T12)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？

答案：A

(2)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝2x上，则sinα＝____________．

学霸笔记：(1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值的方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．

答案：A

考向2三角函数值符号的判定例4(1)已知cosθ·tanθ>0，则θ可能为(

)A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第三或第四象限角答案：A

(2)sin2·cos3·tan4的值是__________．(填“正数”“负数”或“零”)负数

学霸笔记：要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那么要进行分类讨论求解．

答案：B

03.课时作业22

答案：C

答案：D

答案：C

答案：B

答案：D

答案：D

答案：C

答案：C

答案：BC

答案：CD

11．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围为_______________________________________．{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合S1＝{α|30°＋k·180°，k∈Z}，终边在105°角的终边所在直线上的角的集合S2＝{α|105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．

13．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．