初中数学专题《构造新图或用公式求函数值》含答案

初中专题16构造新图或用公式求函数值【构造新图求函数值】1．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在CB边上截取，连接如图，通过构造有特殊角的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：______．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰

中，，，请借助，构造出的角，并求出该角的正切值．2．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照如图所示的方法折叠（如图①②③）：重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请计算tan67.5°的值．3．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路进行余下的求解：（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝；②求tan3A的值．4．阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．阅读以上内容，回答下列问题：在中，．（1）如图3，若，则__，_____；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）．5．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°．发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝．（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．【用公式求函数值】6．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．例：．（1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；7．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小8．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°；（2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数．9．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）：．一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；．例如：．根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：_______；（2）在中，，请你求出和的长．初中专题16构造新图或用公式求函数值【构造新图求函数值】1．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在CB边上截取，连接如图，通过构造有特殊角的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：______．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰

中，，，请借助，构造出的角，并求出该角的正切值．【答案】,2-.【分析】如图2，设，为等腰直角三角形，则，易得，所以，再在中，利用正切定义可计算出，即；如图3，延长BA到D，使，则，则，利用三角形外角性质易得，作于H，设，利用含30度三边的关系得到，，则，，然后在中，利用正切的定义可计算出，即．【详解】解：如图2，设，则，，，

，

，

，

，

在中，，

即；

故答案为；；

如图3，延长BA到D，使，则，，

，

，

作于H，设，则，，

，

，

在中，，

即．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形解决本题的关键是构建含度和15度的直角三角形．2．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照如图所示的方法折叠（如图①②③）：重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____．【答案】2【解析】【分析】设EC=x，根据折叠的性质求出∠BEC=67.5°，DE=2x，根据正切的概念计算即可．【详解】设EC=x，由折叠的性质可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90°，∠BDC=45°，∠EBC=22.5°，∴DE=2EF=2x，∠BEC=67.5°，∴CD=2x+x，由正方形的性质可知，BC=CD=2x+x，∴tan67.5°=tan∠BEC=BCCE=故答案为：2【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键3．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路进行余下的求解：（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝；②求tan3A的值．【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论；（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果；②作BM交AC于点M，使∠MBE=∠EBA，则∠BMC=3∠A．利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长，求tan∠BMC得结果.【详解】（1）tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA≠2tan∠A，故答案为，，≠；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，如图1，延长CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；（3）①如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，∴BC＝1，AB＝，设AE＝x，则EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，故答案为；②如图3，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y，∵∠MBE＝∠EBA，∴，即，∴BM＝y，在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2即（y）2＝（﹣y）2+1，整理，得117y2+120y﹣125＝0，解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）即EM＝，CM＝﹣＝，∴tan3A＝tan∠BMC＝，＝＝．【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造2∠A、3∠A是解决本题的关键．4．阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．阅读以上内容，回答下列问题：在中，．（1）如图3，若，则__，_____；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【详解】解：（1）由勾股定理可得：由三角函数的定义可得，由材料可得：故答案为；（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：则，，，在中，，在中，，在中，，则则故答案为【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．5．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°．发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝．（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可；（2）根据正切的定义，在中求∠D的正切值即可；（3）作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，根据（2）的方法先求得的值，过点作于点，进而求得的值，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）故答案为：（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，DA＝AB，故答案为：（3）如图，作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，，，在中，，AB＝3，，设，则，解得设，则，在中解得如图，过点作于点，设，则解得【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解直角三角形，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键．【用公式求函数值】6．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．例：．（1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；【答案】（1）；（2）【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算即可；（2）把tan75°代入，再把（1）及例题中的数值代入即可．【详解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°，=；（2）∵，∴tan75°===．【点睛】本题是信息题，解答此题的关键是具备三角函数的基础知识，读懂题干中的运算方法．7．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小【答案】（1），，.（2）m=0，∠A=30°，∠B=120°．【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．【详解】解：（1）由题意得，sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=，sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=．（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0．经检验是方程4x2﹣1=0的根．∴m=0符合题意．②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意．③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0．经检验不是方程4x2﹣1=0的根．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．8．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．