安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数教学设计 新人教A版选修1-1

课题安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教学设计新人教A版选修1-1课时安排课前准备设计意图本节课通过探究函数的极值问题，引导学生运用导数知识解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过实例讲解，让学生深刻理解导数在研究函数最大（小）值中的应用，培养学生的逻辑思维和数学素养。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养。通过导数在函数最大（小）值中的应用，学生能运用数学语言描述现实世界，解决实际问题；通过分析、推理，发展学生逻辑思维能力；通过图形直观，培养学生空间想象能力。重点难点及解决办法重点：运用导数判断函数的单调性，并找到函数的极值点。

难点：将实际问题转化为函数问题，并利用导数求解函数的最大（小）值。

解决办法：

1.重点：通过实例分析，引导学生理解导数与函数单调性的关系，通过练习巩固，强化对导数符号的理解。

2.难点：通过小组讨论，让学生尝试将实际问题转化为数学模型，教师适时指导，帮助学生建立正确的数学模型。在求解过程中，引导学生运用导数性质，分析函数的极值情况。教学资源-软硬件资源：电子白板、投影仪、计算机

-课程平台：学校数学教学平台

-信息化资源：数学函数图像软件、导数计算器

-教学手段：多媒体课件、实物教具（如函数图形模型）、课堂练习纸教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一幅描绘日出日落的图片，提问学生：“在日出和日落时分，太阳的高度角是如何变化的？这种变化可以用数学语言描述吗？”

-回顾旧知：简要回顾函数单调性的概念，以及如何通过导数判断函数的单调性。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解函数极值的概念，以及如何利用导数找到函数的极值点。

-通过实例讲解，如f(x)=x^3-3x^2+4x，引导学生分析导数的符号变化，找到极值点。

-举例说明：给出几个函数实例，如f(x)=x^2，f(x)=e^x，f(x)=ln(x)，分析它们的极值点和极值。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试找出自己选择的函数的极值点和极值。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：分发练习题，让学生独立完成，题目包括判断函数极值点的存在性、计算函数极值等。

-教师指导：巡视课堂，观察学生的解题过程，对有困难的学生给予个别指导。

4.应用与拓展（约15分钟）

-应用实例：给出实际问题，如优化生产过程、设计最佳路径等，让学生运用所学知识解决。

-拓展延伸：引导学生思考如何将导数应用于其他学科领域，如物理学、经济学等。

5.课堂小结（约5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数最大（小）值中的应用。

-鼓励学生在课后继续探究，尝试解决更多实际问题。

6.布置作业（约5分钟）

-布置课后作业，包括理论练习题和实际问题解决题，要求学生在课后完成。

教学过程中，教师应根据学生的反馈和课堂情况灵活调整教学内容和节奏，确保教学目标的实现。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数极值的应用：介绍函数极值在经济学、物理学、生物学等领域的应用，如最优化问题、物理系统的平衡位置、生物种群的增长模型等。

-导数的几何意义：探讨导数在几何学中的应用，如曲线的切线斜率、曲线的凹凸性等。

-高阶导数：介绍高阶导数的概念和性质，以及它们在函数分析中的应用。

-导数的计算方法：探讨复合函数、隐函数、参数方程的导数计算方法。

2.拓展建议：

-经济学应用：引导学生思考如何利用导数分析经济问题，如成本函数、收益函数的最大化问题。

-物理学应用：鼓励学生研究物理学中的运动学问题，运用导数分析物体的速度、加速度等物理量。

-生物学应用：通过研究种群增长模型，让学生了解导数在生物学中的应用，如种群增长的极限。

-高阶导数学习：推荐学生阅读相关教材或参考书籍，加深对高阶导数概念和性质的理解。

-导数计算方法：提供一些导数计算方法的练习题，如复合函数求导、隐函数求导等，帮助学生提高计算能力。

-几何意义探究：引导学生思考导数与几何图形的关系，如导数与曲线切线的关系、导数与函数凹凸性的关系等。

-实际问题解决：鼓励学生结合实际生活，寻找导数在生活中的应用实例，如设计最佳路径、优化生产过程等。

-课外阅读：推荐一些数学名著或科普读物，如《数学之美》、《数学原理》等，拓宽学生的数学视野。

-参加竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛、数学建模竞赛等，提高学生的数学素养和解决问题的能力。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.联系实际生活：在讲解导数在研究函数最大（小）值中的应用时，我会结合实际生活中的例子，如建筑设计、工程设计等，让学生感受到数学的实用价值。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件展示函数图像和导数变化情况，使抽象的数学概念更加直观，提高学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对导数的理解不够深入：部分学生在理解导数概念和性质时存在困难，需要加强基础知识的教学。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，部分学生参与度不高，需要激发学生的积极性，提高课堂互动效果。

3.评价方式单一：目前主要依靠作业和考试评价学生的学习成果，可以考虑引入更多元化的评价方式，如课堂表现、小组合作等。

反思改进措施（三）

1.加强基础知识教学：针对学生对导数概念理解不够深入的问题，我将加强基础知识的教学，确保学生掌握导数的定义、性质和应用。

2.激发学生参与课堂：通过设计有趣的课堂活动，如小组讨论、角色扮演等，提高学生的参与度，增强课堂互动。

3.多元化评价方式：引入课堂表现、小组合作等评价方式，全面了解学生的学习情况，促进学生全面发展。同时，关注学生的个性化需求，提供针对性的辅导和帮助。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了导数在研究函数最大（小）值中的应用。首先，我们回顾了函数极值的基本概念，并了解到极值点就是函数曲线上的局部最高点或最低点。接着，我们学习了如何通过导数来判断函数的单调性，以及如何找到函数的极值点。

最后，我们强调了导数在研究函数性质中的应用，不仅限于求极值，还可以用于分析函数的凹凸性、拐点等。

当堂检测：

1.给定函数f(x)=x^3-9x，求其导数，并分析其单调性和极值点。

2.函数g(x)=3x^2-12x+9在区间[1,4]上的最大值是多少？为什么？

3.解释为什么导数为零的点可能是极值点，并举例说明。

请同学们独立完成以上题目，并在课后将答案提交给我。这不仅能帮助我了解大家的学习情况，也能帮助你们巩固今天所学的知识。记住，导数是研究函数性质的重要工具，希望你们能够将其应用到更多的实际问题中去。板书设计①导数在研究函数中的应用

-函数极值的定义

-极值点的判断条件

-导数与函数单调性的关系

②求解函数极值步骤

-求导数f'(x)

-解方程f'(x)=0，找到可能的极值点

-判断极值点的类型（极大值或极小值）

-计算极值

③导数在研究函数凹凸性中的应用

-凹凸性的定义

-判断凹凸性的条件

-导数的二阶导数f''(x)在判断凹凸性中的作用

④应用实例

-给定函数，分析其极值和凹凸性

-实际问题中的应用，如优化问题、物理问题等

⑤注意事项

-导数为零的点可能是极值点

-导数不存在的情况下的极值问题

-多重极值点的判断重点题型整理1.题型：求函数的极值点

-题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x，求其极值点。

-解答：求导得f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。通过导数符号变化判断，x=1是极大值点，x=2/3是极小值点。

2.题型：判断函数的凹凸性

-题目：已知函数f(x)=e^x-x^2，判断其凹凸性。

-解答：求导得f'(x)=e^x-2x，求二阶导得f''(x)=e^x-2。令f''(x)=0，解得x=ln(2)。当x<ln(2)时，f''(x)<0，函数凹；当x>ln(2)时，f''(x)>0，函数凸。

3.题型：求函数在给定区间的最大值或最小值

-题目：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的最大值或最小值。

-解答：求导得f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。在区间[1,3]上，f'(x)的符号不变，因此x=2是极值点。计算f(2)=-1，所以函数在区间[1,3]上的最小值是-1。

4.题型：分析函数在特定点的性质

-题目：已知函数f(x)=x^3-3x，分析f(0)和f(2)的性质。

-解答：求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1。f(0)=0，f(2)=-2。由于f'(x)在x=0和x=2两侧符号相反，因此f(0)是极小值点，f(2)是极大值点。

5.题型：利用导数解决实际问题

-题目：某工厂生产一种产品，每生