2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 集合

第一章集合与常用逻辑用语第一节

集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，难度较低.2026年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：_________、_________、_________．(2)元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作_______．(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法．(4)常用数集及记法确定性互异性无序性属于a∈A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法____________________________不属于a∉A列举法描述法N*或N＋NZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A____B(或B_____A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A____B(或B____A)．(3)相等：若A⊆B，且B____A，则A＝B.(4)空集：不含________的集合，记为____．规定：___________________．任意⊆⊇存在

⊆任何元素∅空集是任何集合的子集运算自然语言符号语言Venn图并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝__________________交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B＝___________________补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝__________________3．集合的基本运算{x|x∈A，{x|x∈A，{x|x∈U，或x∈B}且x∈B}且x∉A}1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.3．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．√×√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册习题1.2T1改编)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是(

)A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅(2)(人教B必修第一册1.1.2练习BT1改编)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(

)A．3 B．4C．8 D．7(3)(人教B必修第一册习题1－1BT7改编)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(

)A．{－2，1，2}B．{－1，4，6}C．{3，5}D．{－2，－1，1，2，3，4，6}解析：由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A.(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝__________________，(∁RA)∩B＝__________________________．{x|x≤2，或x≥10}{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}考点探究—提素养

集合的基本概念(1)下列说法正确的是(

)A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}B．0与{0}表示同一个集合C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解析：10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D.(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________．解析：①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}；②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}．综上，a＝0或1.0或1

解答与集合中元素有关的问题的三个关键点1.已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2∉A，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}解析：由题意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故选C.{2，4，5}2

集合间的基本关系解析：因为A⊆B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.1．判断集合间关系的三种方法(1)用列举法表示集合，从元素中寻找关系．(2)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而确定集合与集合的关系．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．

空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．4.设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是(

)A．M＝P B．P∈MC．M

P D．P

M解析：因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P

M.5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为___________．(－∞，3]

集合的基本运算(多考向探究)考向1集合间的交、并、补运算(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(

)A．{－1，0} B．{2，3}C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}

解决集合运算问题的三个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算常借助数轴求解6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(

)A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.7．设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(

)A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN)解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x<1，或x≥2}，D错误．故选A.考向2利用集合的运算求参数

已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围是(

)A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)

利用集合的运算求参数的方法

确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．8.(2025·湖北武汉模拟)设集合A＝{x||x－a|<1}，B＝{x|1<x<5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是__________________．解析：因为A＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|1＜x＜5}，要使得A∩B＝∅，需满足a－1≥5或a＋1≤1，解得a≤0或a≥6，故实数a的取值范围是{a|a≤0，或a≥6}．{a|a≤0，或a≥6}

集合新定义(多选)(2025·河南安阳模拟)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续两千多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列结论中可能正确的是(

)A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割B．M中没有最大元素，N中有一个最小元素C．M中有一个最大元素，N中有一个最小元素D．M中没有最大元素，N中也没有最小元素

解决集合新定义问题的两个策略紧扣新定义先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，是解答新定义问题的关键所在用好集合性质集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础和突破口，在解题时，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考向集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算考点并集运算交集运算交集运算；元素与集合的关系并集运算；已知集合间的关系求集合并集、补集运算交集运算；计算真子集的个数根据并集结果求参数的取值范围题号891011121314难度★★★★★★★★★考向Venn图的实际应用集合间的关系与运算集合的基本运算集合间的关系与运算集合间的基本关系集合的基本运算集合的基本运算考点子集；并集、补集运算交集、并集运算子集；交集、并集、补集运算计算子集的个数根据交集结果求并集根据交集结果求参数最值题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★考向集合的基本运算集合间的基本关系Venn图的实际应用集合间的基本关系集合的新定义集合的新定义考点交集运算根据集合的包含关系求集合的个数根据集合的包含关系求参数的取值范围元素与集合的关系空集；补集一、单项选择题1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－4<x≤1}，N＝{x|－1<x<3}，则M∪N＝(

)A．{x|－4<x<3} B．{x|－1<x≤1}C．{0，1，2} D．{x|－1<x<4}解析：由题意，得M∪N＝{x|－4<x<3}．故选A.2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(

)A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{1，2，9}解析：依题意，得对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x＝0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，所以A∩B＝{1，2，3，4}．故选A.3．(2025·河北保定高三期末)若集合A＝{x|0<x＋1<3}，B＝{x|x2＋x＝0}，则(

)A．－1∈(A∩B) B．0∈(A∩B)C．B⊆A D．A∩B＝∅解析：因为A＝{x|0<x＋1<3}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}，所以B⊆A不成立，A∩B＝{0}≠∅，则－1∉(A∩B)，0∈(A∩B)，故A，C，D错误，B正确．故选B.4．(2025·江苏扬州宝应县安宜高级中学高三期末)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，且A∪B＝B，则集合B可以是(

)A．{1，2，3，4} B．{x|x2>1}C．{x|2x>1} D．{x|log2(x－2)<2}解析：因为A∪B＝B，所以A⊆B.A中集合{1，2，3，4}显然不符合题意；B中集合为{x|x2>1}＝{x|x<－1，或x>1}，不符合题意；C中集合为{x|2x>1＝20}＝{x|x>0}，符合题意；D中集合为{x|log2(x－2)<2＝log24}＝{x|0<x－2<4}＝{x|2<x<6}，不符合题意．故选C.5．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(

)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.7．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A.8．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每名学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为(

)A．5B．10C．15 D．20

等级

项目优秀合格合计除草301545植树202545解析：用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都合格的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，即x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C.二、多项选择题9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则(

)A．A⊆∁RB B．∁RA⊆BC．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R解析：如图，根据Venn图可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD.10．(2025·河北邢台高三质检)设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则(

)A．A∩B＝B B．B∩Z的元素个数为16C．A∪B＝B D．A∩Z的子集个数为64解析：对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16个元素，故A错误，B，C正确；对于D，A∩Z有2＋1＋3＝6个元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．故选BCD.813．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝_______________．{－5，－2，4}解析：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．综上，A∪B＝{－5，－2，4}．14．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．515．已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B，则M中元素的个数是(

)A．0B．1C．2 D