2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第四节 幂函数与指对运算

第三章函数与基本初等函数第四节幂函数与指对运算必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象y＝xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点_______和_______，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点_______，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为_______；当α为偶数时，y＝xα为_______．2．根式(1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(0，0)(1，1)(1，1)奇函数偶函数x根式aa04．指数幂的运算性质aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝______(a>0，b>0，r，s∈R)．5．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数____叫做以a为底N的对数，记作x＝______，其中a叫做对数的______，N叫做______．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以___为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为_____．②自然对数：以___为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为______．ar＋sarsarbrx

logaN底数真数10lgNelnN6．对数的性质(1)_________没有对数；(2)loga1＝____；(3)logaa＝____；(4)对数恒等式：alogaN＝___；logaab＝___(a>0，且a≠1)．负数和001NblogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM1．幂函数的奇偶性αy＝xα的奇偶性α为整数α为偶数偶函数α为奇数奇函数α＝，其中n≥2，m，n∈N*且m，n互质m为奇数，n为奇数奇函数m为偶数，n为奇数偶函数m为奇数，n为偶数非奇非偶函数×××××解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.1解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.c<b<a考点探究—提素养幂函数的图象与性质解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D.(2)(2025·江苏连云港海滨中学模拟)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．3(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．1.已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(

)A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a解析：因为2ln2＝ln4>lne＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B.2．幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________________．指数幂的运算－10y147对数的运算对数运算的一般思路利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.5.化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(

)A．1 B．2C．4 D．66．(多选)若10a＝4，10b＝25，则(

)A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>(lg2)2 D．b－a>lg6与指对运算相关的情境问题对于此类问题要正确理解题目信息，根据题意，列出相应的代数式或方程，灵活使用对数的运算法则和性质进行化简计算．课时作业题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考向幂函数的图象幂函数的性质指对运算指对运算幂函数性质的应用指对运算幂函数性质的应用幂函数的性质指对运算幂函数性质的应用考点奇偶性、单调性对数的运算利用单调性比较大小对数的运算利用奇偶性求值幂函数的单调性指数幂的运算利用单调性、奇偶性比较大小基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向指对运算相关的情景问题指对运算幂函数的解析式指对运算幂函数性质的应用幂函数的图象指对运算指对运算指对运算幂函数性质的应用考点指数幂的运算由幂函数的解析式求值解对数方程利用幂函数的单调性求参数值、解不等式利用幂函数的图象比较大小与指对运算有关的新定义问题与指对运算有关的新定义问题对数的运算由幂函数的单调性求参数的值、最值解析：根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D.6．(2025·湘豫名校联考)若a>1，则alg(lga)－(lga)lga的值是(

)A．零 B．正数C．负数 D．以上皆有可能7．已知函数f(x)＝(m－1)xm＋1为幂函数，则f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝(

)A．0 B．－1C．a2 D．a6－a4解析：由题意，有m－1＝1，可得m＝2，f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝0.故选A.解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC.三、填空题12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝________．e解析：由f(ln2)f(ln4)＝8，可得aln2·aln4＝8，即aln2＋ln4＝a3ln2＝8，也即(aln2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln2＝2，两边取对数得ln2·lna＝ln2，解得a＝e.6417．(2025·重庆一中模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[2]＝2，[－2.1]＝－3，定义：若f(x)＝n在(a，b)上恒成立，则称S＝|n|(b－a)为函数f(x)在[a，b)上的“面积”．函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和与下面哪个数最接近(注意：①“面积不重复计算”；②630≈29.3)(

)A．7.3 B．7.7C．8.7 D．9.3解析：因为0≤x<3，所以1≤2x<8，当1≤2x<2，即0≤x<1时，f(x)＝1，当2≤2x<3，即1≤x<log23时，f(x)＝2，当3≤2x<4，即log23≤x<2时，f(x)＝3，当4≤2x<5，即2≤x<log25时，f(x)＝4，当5≤2x<6，即log25≤x<log26时，f(x)＝5，当6≤2x<7，即log26≤x<log27时，f(x)＝6，当7≤2x<8，即log27≤x<3时，f(x)＝7，根据“面积”的定义可知，函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和为S＝1×1＋2×(log23－1)＋3×(log24－log23)＋4×(log25－log24)＋5×(log26－log25)＋6×(log27－log26)＋7×(3－log27)＝18－(log23＋log25＋log26＋log27)＝18－log2630≈8.7.故选C.18．(多选)(2025·云南曲靖模拟)已知集合S，T，定义ST＝{xy|x∈S，y∈T}，则下列命题正确的是(

)A．若S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，则ST与TS的全部元素之和等于3874B．若S＝{2021}，R表示实数集，R＋表示正实数集，则SR＝R＋C．若S＝{2024}，R表示实数集，则RS＝RD．若S＝{2049}，R＋表示正实数集，函数f(x)＝log2024x，x∈(R＋)S，则2049属于函数f(x)的值域解析：对于A，因为S＝{1921，19