2027届新高考数学热点突破复习数列中的构造问题

2027届新高考数学热点突破复习数列中的构造问题课标要求1.掌握等差、等比数列的通项公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求通项公式的方法.目录/CONTENTS考点一由相邻两项递推关系式求通项01

02考点三由相邻三项递推关系式（形如an＋1＝pan＋qan－1型）求通项03课时跟踪训练0401PART考点一由相邻两项递推关系式求通项角度1

形如an＋1＝pan＋q（p≠0，1，q≠0）型

已知数列{an}满足an＋1＋2an＝3且a1＝2，则an＝

⁠⁠.解析：因为an＋1＋2an＝3，所以an＋1－1＝－2（an－1），且a1－1＝1，

所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，则an－1＝（－2）n

－1，所以an＝（－2）n－1＋1.（－2）n－1＋1

角度2

形如an＋1＝pan＋qn＋c（p≠0，1，q≠0）型

若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为

⁠

⁠.

an＝

－5·2n－1＋3n＋3角度3

形如an＋1＝pan＋qn（p≠0，1，q≠0，1）型

已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}

的通项公式为（

）A.

an＝（2n＋1）·3nB.

an＝（n－1）·2nC.

an＝（2n－1）·3nD.

an＝（n＋1）·2n

√规律方法形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn练1

（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则{an}的通项公式an

＝

⁠；2n－1解析：∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2（an＋t），即an＋1＝2an＋t，∴t

＝1，即an＋1＋1＝2（an＋1），∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的

等比数列.∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.（2）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，n∈N*，a1＝2，则an＝

⁠

⁠；

2n＋1－

n－1（3）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项

公式.解：令an＋1＋A·2n＋1＝3（an＋A·2n），即an＋1＝3an＋A·2n，故A

＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3（an＋2n＋1），又a1＋22＝5≠0，所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝5×3n－1，即an＝5×3n－1－2n＋1.02PART

√规律方法

03PART考点三由相邻三项递推关系式（形如an＋1＝pan＋qan－1型）求通项

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求数列{an}的

通项公式.

∴an＋1－an＝（a2－a1）·2n－1＝2n，∴an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋22＋…

＋2n－1＝2n－1（n≥2）.经验证，n＝1时也符合an＝2n－1，∴an＝2n－1.取α＝2，β＝1，得an＋2－2an＋1＝an＋1－2an，又a2－2a1＝3－2＝1，∴an＋1－2an＝1，∴an＋1＋1＝2（an＋1），∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首

项，2为公比的等比数列.∴an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1.综上，{an}的通项公式为an＝2n－1.规律方法

形如an＋1＝pan＋qan－1的模型，一般利用an＋1－αan＝β（an－αan－

1）构造等比数列解决.即大部分题型可转化为an＋1－an＝（p－1）（an

－an－1），利用{an＋1－an}成等比数列，以及叠加法求出an.还有一小部

分题型可转化为an＋1＋an＝（p＋1）（an＋an－1），利用{an＋1＋an}成

等比数列求出an.练3

（2026·安徽合肥模拟）已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an

－1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为

⁠

⁠.

1）n－1

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：81分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为（

）A.15B.23C.32D.42解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1），所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.123456789101112√2.

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n，则an＝（

）A.3·2n－1B.3·2n－n－1C.3·2n－1－n－1D.3·2n－1－n＋1解析：因为an＋1＝2an＋n，所以an＋1＋n＋2＝2an＋2n＋2＝2（an＋n＋1），又a1＋1＋1＝1＋1＋1＝3，即数列{an＋n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，即an＋n＋1＝3·2n－1，即an＝3·2n－1－n－1.√1234567891011123.

（2026·江苏连云港模拟）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，

则a17＝（

）A.

－15×216B.15×217C.

－16×216D.16×217

√123456789101112

√C.

3n－2D.

3n＋2

123456789101112

B.

n－1

C.

nD.

2n√123456789101112

A.29B.210D.211√

1234567891011127.

〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，则下列结论正

确的是（

）C.

{an＋n－8}是等比数列D.

{an＋2}不可能是等比数列√√√123456789101112

1234567891011128.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，

则k的最小值为

⁠.解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝

a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所

以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得

k≥6.所以k的最小值为6.61234567891011129.

（2026·甘肃白银模拟）已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋

an（n∈N*），若a2

027＝m，则S2

025＝

⁠.解析：∵an＋2＝an＋1＋an（n∈N*），∴an＝an＋2－an＋1，∴a1＝a3－

a2，a2＝a4－a3，a3＝a5－a4，…，an＝an＋2－an＋1，将这n个式子的左右

两边分别相加可得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－a2＝an＋2－1，∴Sn＋1＝

an＋2，∴S2

025＝a2

027－1＝m－1.m－1123456789101112

12345678910111211.

（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.（1）设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；解：证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.当n≥2时，