2026年高考数学备考分类练02 数列求和与综合应用6大解答题型（原卷版）

专题02数列解答题

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

山典例剖析£1方法提炼£］变式训练

题型01裂项相消求和

题型02错位相减求和

题型03分组、并项求和（不含奇偶项）

题型04含绝对值求和

题型05关于奇偶项求和

题型06数列与不等式（含数学归纳法）

第二部分强化实训I整合应月，模拟实战

>第一部分题型解码

题型。1裂项相消求和

典例剖析

【例1・1】（2025•四川眉山•模拟预测）在数列｛%｝中，4=；,%+4+/+|-4=0.

⑴证明数列是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

（2偌2=叩*，求数列出｝的前〃项和，.

【例1・2】（2025・浙江•一模）已知渐近线为），=±¥入•的双曲线C过点A（LO）,过点A且斜率为，的直线交双

曲线C于异于A的点纥，记■A纥纥“的面积为S”.

⑴求双曲线C的方程；

（2）求5；

⑶证明：S1+S,++5„<—（zieN）.

方法提煤

裂项原理——将数列通项拆分成两项或多部分之差，求和时中间项相互抵消，仅剩首尾项

核心思想

关健动作一裂(拆).消诋)、合(留)

r分式盛数列——分母为乘积形式，常见类曳

根式生数列可进行分母后理化处理

适用数歹！J特征阶案里数列——利用阶乘性质进行求解

-指数型数列可进行首数运算的拆分

I通项为一乘积""形式分母为乘枳，分子为常数或可化为常数

识glj形式观察通项U"是否为可拆结构

裂项相消求和

确定模里匹配常见裂项模型

实施裂项将如恒等变形为f(n)•f(n*k)威f(n*k)-f(n)形式

一般解题步骤

田加写出5,并将每一项裂开

观察抵消前后项正负相消,保留一头•和-昆•

化简结果对剩余项进行化简，得到最简表达式

「系数待定法——设悬=Af(n)-Bf(n+k),通过通分.比较系数确定A.B

-先放缩，后裂项一常用于证明不等式，如土<舟f=„-舟ry

进阶技巧与注意事项一检验恒等——弱项必须是恒等变形，通过通分回验

-保留首尾项数一裂项后，注意抵i肖后只体朝下哪几项

匚处理•裂不开’——需要先对通项进行代数变形才谯套用慢型

ESQ

【变式1-1](2025•河南•模拟预测)已知函数/("=lnx+x-In〃，相N,记/(大)的零点为

⑴求4;

⑵求数列｛《,｝中的最小项：

⑶证明：4(J〃+1-1)<彳二」〃+l+ln〃.

【变式1・2】(2025•四川泸州•一模)已知数列｛%｝的前〃项和为$“此=2,且％=2S“+2(〃eN').

⑴求｛为｝的通项公式：

⑵设"=隔0两求数列出｝的前〃项和人

【变式1・3】（2025•浙江宁波•一模）记£为正项数列｛勺｝的前〃项和，已知4S"=q；+2%—3.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足4=1，求证：b/b2+E+…+b“<"

4+22

题型02错位相减求和

典例剖析

【例2・1】（2025•吉林松原•模拟预测）已知数列｛6｝为等差数列，且%=6,4=10,数列低｝满足

2=4,%=2b“（〃eN）

⑴求数列｛〃“｝和他｝的通项公式；

⑵设％=。也，求数列｛%｝的前〃项和1,•

【例2・2】（2025•河南•模拟预测）已知数列｛%｝为等比数列，数列抄”｝的前〃项和为s“，且a=2,&=16,

1

Sn=n+3〃.

⑴求乩｝和｛2｝的通项公式；

⑵设c”=a也，求数列｛qj的前〃项和小

方法提炼

一、错位相减法求数列｛《』的前n项和

（1）适用条件

若｛4｝是公差为或4工0）的等差数列，电｝是公比为虱4"）的等比数列,求数列（an-bn｝的前n项和S”.

（2）基本步骤

M展开,,,

Sn=a1-6l+a2-62++a..f6)..1+aB-6n①

乘公比05»=①也+,，63+...+d-1也+.“.6>>.]②

朝借位相减

①-②:得(1-q)Sn=a/bi+a?，b?+…+*-/bn-i+a/鼠

-i—-i-

-(a1-62+a2-63+--a^f6^+aB-6„(l)

,

=af6i+J(62+63+―+6n)-a1,6(,,1③

a,•6j+J(62+63+••,+6.)-a«-d.+,

（I求和

通项构造—等差与等比乘积

乘以公比错位对齐

求

相减化蔺

核心思想舜质

-数学本质一构造福肖等式—利用等比效列求和公式

'-HK.'sMt

标准形式——通项公式为即=&Xd，其中4成等差.C”成等比

最普溟形式一a.=(An+B)xr<n-1)

适用数列特征

等差为自然数列—a„=nxr<n-l)

刈断规则——若数列通项是•一次为tsr与•格数⑪面的乘积，必用错位相贰去

谀8跖*iA确认通场，_n为雁,等比-形式，明确等差数列的公差d和3比数列的公比q

写出S”S“表示故列的前n项和

乘以公ttq通H柒以公比q,将等式右边的短一项等比部分指数升一次与

标准解题步腺（六步法）

错位对齐相飕通过t8位对齐相谶,得到（1-q）♦S“=S”-q・S,

化1«求KJ8FE式，对等比效列8B分手和

错位相减法求和整瑰结果将聊化为■»｝形式，并检查。=1时公式是否成立

故以退化为等差数列,使用等差敬列求和公式

-公比q=1的情况｛

HJ位相比经式推导中q不能为1

-•塔位・对齐是关城一招数相同的项上下对齐,为后统正编精明了星碇

Sn-q*S“=(1-q)S

核心注意事项与易错点-相嗝的籽号处理｛n

q»S„-Sr.=(q-1)S„.统一用S“-q*S”

-最后的检验一代入n=i检蛉S”公式是否等于“

I复杂运JI与化闾一注意代数化徜，如援取公因式.通分,避免失分

「适用通S—等差乘等比形式的数列

-移心操作一乘公比.fl!位.也I

「锚位根破去

一结集崛一剜下首尾少数项.化肉为公式

I维点——指数运算与代效化箭复仪

与裂项相消法的对比

r适用通项一分式.根式形式的数列

-核心振作一拆项.瞄肖

匚投膝相消法-

-结果厮一剩百尾各32项

L难点一设8U裂咖座和恒等变形

【变式2・1】（2025•湖北孝感•模拟预测）已知正项数列应｝满足：卬+生=6,4-4--24：=0,（〃£1＜）.

⑴证明｛〃”｝是等比数列，并求通项％;

（2）若。=。,」鸣。“（〃eN,）,求数列低｝的前〃项和S。的表达式.

【变式2・2】（2025•右南•模拟预测）在等比数列｛叫中，4=1m工外,且3%,2%,&成等差数列.

⑴求｛勺｝的通项公式；

,n1,

⑵若＞=「=^71），求数列出+c“｝的前〃项和1.

【变式2・3】（2025•辽宁丹东•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且2a“=S“+2,各项均为正数的递

增数列也｝满足出,+a-1『=4/*a，〃=L

⑴求｛3｝的通项公式：

⑵求也｝的通项公式；

⑶记数列九的前〃项和为7；,求人

a..

题型03分组、并项求和

典例剖析

【例3・1】（2025•贵州六盘水•模拟预测）已知数列｛6｝和｛2｝满足4=T々g,2q.产2%-纹+〃+1,

北向=24-2凡+〃+1.

⑴证明：｛凡+〃,｝是等差数列.｛见-〃,｝是等比激列：

⑵求数列也｝的前〃项和S”.

【例3・2】（2025•浙江杭州•一模）已知等差数列｛叫满足％=7a=11.

⑴求乩｝的通项公式：

（2）设等比数列｛2｝的前〃项和为S”,且鼠=S”+2.令%=q+b,,求数列｛%｝的前〃项和Tn.

方法提煤

一、分组求和的常见类型

『几土为等差或等比数列

QqNbJNcJ分

求

组

&｝

［却几为奇数，求

的4-Q,〃为偶数，和

和

｛，｝,｛%｝为等差或等比数列

二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

「方法K一心为零.用■农10.成彳分解和BMI分.UftMtM

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分组求和法与并项求和法思维导图

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并项求利去详细步费

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关展与防——分甯与制安gw与法11方法

竽与，3-«■/)ifiWtcTiRWtimwttu步《遥与附成条”反射

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13A

q+1=5凡+5么1

【变式3・1】（2025•浙江金华•一模）已知数列｛叫，色｝满足；；（〃eN+）,且伪=3q下.

⑴证明：数列｛/+“｝与｛q-5｝均为等比数列；

⑵求数列｛&]｝的前25项和$25.（其中3表示不超过x的最大整数，如121=1）

【变式3・2】（2025•广东江门•模拟预测）在数列｛叫中，q=Ua〃=3x2"（〃eN）

⑴求证：是等比数列；

（2）若等比数列出｝满足bn=。向-皿U>0）.

（i）求4的值；

（ii）记数列｛〃为）的前〃项和为%若Sj4+2=15Sj+/2N+）,求，的值.

【变式3・3】（2025•四川绵阳•一模）已知数列｛《｝满足：当〃之2时，a“=2q“-〃+2,且数列｛%+5+3为

等比数列（女功为常数），4=3.

⑴求常数左力的值及数列｛6｝的通项公式；

⑵设勿q,求数列｛2｝的前”项和S”.

题型04含绝对值求和

典例剖析

【例4・1】（2025•安徽•模拟预测）己知数列｛%｝的前〃项和为5,，且4=2"*=3s“+2（〃cN）

⑴求数列｛《,｝的通项公式：

（2）设々=log,%—14,求数列｛|即｝的前«项的和Tn.

【例4・2】（2025•陕西榆林•模拟预测）已知数列｛叫满足，4=-看，『二号「若

⑴求证：也｝是等差数列；

⑵求血｝的前〃项和S”的最小值：

⑶求｛|"|｝的前〃项和（一

方法提炼

数列绝对值求和

r率本田路一去?&对值化

核心思想与本质卜-核心方法一分镣讨论

J敛列转化一分段效歹球和

等经数歹如绝对值空一通珀公式为%=An+/，或等差数?Jilifi

曲蚊型St列*对值一通项公式为d.-/(n),X中/(n)是已知而败

通用数列特征常见她

交锵符号数列取绝可侦一通1»公式为5,=(一1-・人，・接取几

黛合整——绝对值内部息复条表达式

令绝对值内部表达式/(")=0

解不等式,找零点求解福到零点，”，(可随JHS)

标准解题步骤四步i去确定〃n)在不同n范国内的符号

分类讨论.去绝对值

r—S“=Ekn+b(A#0)

「'J^x5:令kn+—O—*n«——b/k

等茶数列财索求K1-

-选定符号区间：根据n与n”的关系确定kn+厢符号

-分段求和：分别对不同区间内的项迸行求和

匚m为展数的特殊情况处理

数列含绝对值求和「解方程/(n)=0,可能有多个零点

-根至零点将定义域划分为多个区间

二次用数生她对值求和一处理要点-

-在好个区网内/(n)符号确定,可去绝对值

匚分别求KL可能需要用到平方K)公式等

r零点为整圆的《;兄一零点项彩明——零点项为o.不影响和，但需注意区间划分

特殊情形处理-多零点慵况一零点区间取分一，点项为二太的.需划分多个区间

(-符+变化建定—先确定周阴内的符母变化

I螃对值内部力冏期函数T

匚按同舟分姐求m—按掰期分@a行求和处理

零点位・¥厮一零点可虾是8HK,正方法为m和N,特别是当。。为8HJ阿谖项值为0

项数计H——分险后各极碱要市《1计■.公式为从n星的项敷・m•m♦1

易错点与注意事项求加公式慎用一注意等均!列求和时U项、末项.项政的对由关系,特别是符号改变后的依列

结具检验——代入小僮进行费证(Mn=1.2.3V).临i分段点处的连续性(通就不蚪，除非零点项为0)

蜡果我达一通常用分段淞I去示，也可用含max.m或取整西数的故式

先分BL后分组先按9对值符号分核，再在将核内分组求和

组合应用先分段,后裂?MS位分段后,15段可胡用川项或锚指去求和

她对值与交错符号结合