2026高考数学复习（湘教版）第八节 解三角形应用举例

第八节解三角形应用举例

【课程标准】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几

何计算有关的实际问题.

教材梳理［夯实基础_

测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

目标

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所/视线

仰角与俯

角水平

成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目5

线㈣角视线

角F、目标

标视线在水平视线下方的叫作俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线北

方位角之间的夹角叫作方位角.方位角，的范围是

0°^6><360°

北偏东。：

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表2

方向角

达为北（南漏东（西）a南偏西〃：

坡面与水平面所成的锐—面角叫坡角（防坡角）；坡

坡角与坡

面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即

比

z=Y=tan61

【自主检测】

1.（多选）下列结论错误的是（）

A.东南方向与南偏东45。方向相同

B.若△/fBC为锐角三角形且/=泰则角B的取值范围是（0,9

C.从4处望8处的仰角为0,从5处望力处的俯角为小则。/的关系为仪+尸=180。

D.俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为[0,]

答案：BCD

2.如图所示，设4B两点在河的两岸，一测量者与力在河的同侧，在所在的河

岸边先确定一点C，测出儿。的距离为50m,4cB=45。，NC"=105。后,

可以计算出48两点的距离为（）

A.50V2mB.50V3m

C.25V2mDc.-25-V2m

2

答案：A

解析：因为/4C3=45。，NC48=105。，所以N力BC=180。-45。-105。=30。.在

中，由正弦定理得即墨1•北,解得48=50企.所以4

sin乙4cBsin乙4BCsin45sin30

B两点的距离为50A/2m.故选A.

3.两座灯塔/和A与海岸观察站C的距离相等，灯塔4在观察站北偏东40。，灯

塔B在观察站南偏东60。，则灯塔A在灯塔B的（）

A.北偏东10°B.北偏西10。

C.南偏东10。D.南偏西10°

答案:B

解析：由题可知/C=BC，N3=80。,所以N/8C=50。，4B,。位置关系如

图，

A

\

北49/

一净0。

\10°

Cl60^号北

东

则灯塔/在灯塔B的北偏西10。.故选B.

4.如图所示，D,C,8在地平面同一直线上，DC=10m,从。，C两地测得/

点的仰角分别为30。和45°,则A点离地面的高AB等于（）

A.10mB.5>/5m

C.5（V3-1）mD.5（V34-1）m

答案：D

解析：）4—：设48=x，贝l」8C=x，所以8。=10+除所以tanN//O8=^=kW

DD1U十X3

解得x=5（V3+1）.所以A点离地面的高AB等于5（乃+1）m.故选D.

法二：因为44c8=45。，所以448=135。，所以NC4D=180。-135。-30。=15。.

由正弦定理，得力。一.5由/力。。=-^5血130。=京2°历.所以，8=4Csin

si叱&Wsinl576—72

45°=5（V3+1）m.故选D.

学生用书I第115页

考点探究提升能力

考点一解三角形的应用举例多维探究

角度1测量距离问题

典例E1为了测量一个不规则公园内。，。两点之间的距离，如图，在东西方向

上选取相距1km的4,8两点，点8在点力的正东方向上，且48,C,。四

点在同一水平面上.从点A处观测得点。在它的东北方向上，点。在它的西北方

向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15。方向上，点D在它的北偏西75。方

向上，则C，。之间的距离为km.

北

+东

答案:2

解析：由题意可知NC43=45。，/。/8=90。+45。=135。，/。34=90。+15。=105。,

NCBD=150+75°=90。，NDBA=15。,故/4C8=180。-45。-105。=30。，Z

，。6=180。-15。-135c=30。，在△。相中，告=意谕在AJ8C中，

.多丁.黑葭所以8。=生曙=&km,8C上竿=或km,又在△D8C中,

sxnZ.CABsmz/ICBsin30sin30

/CBD=90。,所以CDZBC?+BC2=Vm=2km.

・规律方法・

求解距离问题的两个注意事项

1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，

则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

2.确定用正弦定理还是用余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

角度2测量高度问题

典例❷（1）（2023•山东青岛模拟）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与

工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆,大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌

壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点％

距离地面的高度48（48与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物C。，测得

的高度为〃，并从C点测得力点的仰角为30。；在赛道与建筑物C。之间的地面

上的点£处测得力点，C点的仰角分别为75。和30。（其中8,E,。三点共线）.

该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为（）

（参考数据：72^1.41,百比1.73,76^2.45）

A

C

A.11米B.20.8米

C.25.4米D.31.8米

(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字

城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.

吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角

形的知识测量一下该雕塑的高度很口图中线段AB的长度).他在该雕塑塔的正东C

处沿着南偏西60。的方向前进7&米后到达。处(.4,C,。三点在同一个水平面

内)，测得图中线段4B在东北方向，且测得点〃的仰角为71.565。，则该雕塑的

高度大约是(参考数据：tan71.565o、3)()

期

A.19米B.20米

C.21米D.22米

答案：(1)C(2)C

解析：⑴由题意可得//仍=75。，ZC£Z)=30°,则NZEC=75。，ZJCE=60°,Z

C345。，在Rt△叱中，佗提=搞，在中，由正弦定理得

所以废=嘤，所以。。=灯=嘤，又sin75。=

5皿45。+30。)-历：式,所以。。=关焉=60—208弋60-20乂1.73=25.4(米).故选C.

⑵在ZUC。中，NOD=135。，N4a>30。，CZ>7鱼，由正弦定理得

所以幺。=竺舞篙=7（米），在Rt"8。中，NBDA=71.565。,

SIM/ICDsinzC/IDsinzC/ID

所以AB=ADxtan71.565。=7x3=21（米）.故选C.

・规律方法・

求解高度问题的三个注意事项

1.在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（它们是在铅垂面上所成的角）、方向（位）

角（它是在水平面上所成的角）是关键.

2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两

个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来不容易搞错.

3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

学生用书I第五5页

角度3测量角度问题

典例§甲船在4处观察到乙船在它北偏东60。的4处，两船相距。海里，乙船

正在向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的百倍，则甲船应按北偏东夕方向前

进，才能在C处追上乙船，此时用

答案:30°

解析：如图所示，由题可知/C/8=60。一aZZ?=120°,设8C=x海里,

则心岳海里，在〜尤中，高端，即就询=焉，解得皿6。。一。）4

又0。<60。一0<90。，所以60。-0二30。，解得0=30〉.

・规律方法・

求解角度问题的三个注意事项

1.测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义

2.求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值.

3.在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为

可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优

点.

对点练1.⑴设忆N为某海边相邻的两座山峰的山顶，N到海平面的距离分

别为100米，50米.现欲在M,N之间架设高压电网，须计算M,N之间的距离.

勘测人员在海平面上选取一点尸，利用测角仪从尸点测得的N点的仰角分别

为30。,45°,并从。点观测到NMPN=45。，则MN之间的距离为()

A.50依米B.50旧米

C.50夜米D.50后米

(2)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的

中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体(如图①)，呈现出中国在新时代的新形

象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比

如在弯折位置通常采用30。,45°,60°,90。，120。，150。等特殊角度.为了判断“冬”

的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△48。，如图②所

示，测得/8=5,BD=6,AC=4,力。=3,若点。恰好在边80上，则sinZ

ACD=()

七一

图①

(3)“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”，滕王阁，江南三大名楼之一，因初

唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上

共线的三点4B,C处测得其顶点。的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75

米，则滕王阁的高度。P=米

答案：(1)A(2)D(3)15715

解析：（1）如图，由题可知乙“PWi=30。，NNPM=45。，MM=100米，NN\=50

米，所以PM=200米，PN=50a米，又NMPN=45。，所以M/V2=40000+5000

-2x200x50x^2吟=25000,所以如乜=50同米.故选A.

（2）由题意，在△力BQ中，由余弦定理的推论得,cos//*0震］嗔彳白气.

2.ADBD2x3Xo9

因为N4O8£（0,IT）,所以sin/ADB=卜—co$匕ADB=Jl-0上.在

中，由正弦定理需编展焉所以金=£,解得疝/“。=平

9

故选D.

（3）设°尸=〃,则。个篇=何，。8=篇苧，OC=^=h.

法一：（两角互补，余弦值互为相反数）由NOBC+NOB4=兀得cosNO3C=-cos

22

争)+752-/12(争)+75?-(例刊

NOB4由余弦定理得

2X75X争2X75X骨

化简得小=3375,易知力＞0,所以。=15同，即。。为15m米

法二：（同角的余弦值相等）在△。。8中,

层+752一传/if

cosNOCB=

2x75xh

/I2+1502—(>/3/i)2

在△OC4中，cos/OCB三

X+752一俘Q九2+1502—(图)2

所以

2x75x/i2xl50x/i

化简得〃2=3375,易知〃>0,所以〃=15同,

即OP为15同米.

考点二平面图形中的计算问题师生共研

典例E]如图，在四边形48C。中，AB2+BC+ABBC=AC.

(1)若力8=38。=3,求的面积;

。)若CD=CRC,ZC40=30°,Z/?CD=120°,求的值

„AB2+BC2-AC2-ABBC1

解：⑴在A48C中,COSD=----------------------=------------

2ABBC2ABBC2f

因为0。</3<180。,所以。3=120。.

S“=>8Csin120。夺3x1、*孚

(2)由(1)知N8=120。，设N*C8=。,

贝!8:120。一//。=30。+"Z5JC-600-0.

在△4CO中，由一任一=9_,得/c=则竺坦CD

11^皿30°+0)sin30°叱sin30°

在“4C中，由」^■二一吟七，得4C=sin-。。BC.

sinl20csin(60°—0)sin(60°—0)

联立上式，并由CO=、”8。得sin(30o+0)sin(60。-。)],

所以sin(60o+2^=1.

由题可知0°<^<60°,

所以60°<600+26><180°,

所以60。+20=150。，解得0=45。，即N4C8=45。.

・规律方法・

平面多边形中解三角形问题的求解思路

1.将所给平面图形拆分成若干个三角形，然后确定在哪些三角形中利用正、余弦

定理建立边角关系进行求解.

2.寻找和各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使

用公共条件进行求解.

注意：（1）三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用.（2）方程思想的灵活运

用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.

学生用书I第丁行页

对点练2.如图，是边长为3的等边三角形，线段4E交8C于点。，BD=\.

⑴求s\nZADB；

(2)若4D=3DE,求BE的长.

解：（1）在中，由余弦定理可得力244XBZ）XCOSNZ4。，代

入数据可得402=32+1-2x3x1xg=7,所以力。=夕.

由正弦定理可得

sinZ.ADBsinZ.ABD^

ABxsinzABD_3乂乎_3、0

所以sinZADB^~ADV714-

(2)在中，由⑴及余弦定理得ssNADB=

cosZ£DB=cos(n—Zi4DB)=—cosZADB=^,

又DE号T，

所以在中，由余弦定理可得BE1=BDljrDE1-28/)x0回xcosZEDB=1+9

9

2x1哼唔号,故成呼.

考点三解三角形中的最值和范围问题师生共研

典例❺(2022•新高考倦)记△"C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

cos/l_sin2B

1+sin/ll+cos2B'

(1)若/。号，求N4；

⑵求学的最小值.

»cos4sin2B2sinBcosBsinB口n•r»,r»•

解：('1)7因为—1+si—n>41-+-cn-<i-2R=—2—cos2T/—?=-cos/?即sinB=cos/cosB-sin/sin

B=cos(4+B)=_cosC=-,

而0</8<争所以

Jo

(2)由(1)知，sin—cosC>0,

所以FNC<7G0<ZB<^.

而sinB=—cosC=sin(。一1),

所以NC苦+N8,即有2N8,所以N8£(0,》ZCeg,?),

222222

所以士[+bsin/l+sinScos2^4-1—cos

2sin2cCOS2B

2

(2COSR—1)+1-cos2/5=4cos28+岛—522我-5=4匹—5.

COS2£?

当且仅当cos2B==时取等号，所以号的最小值为4V2-5.

2c,

典例ta(2024•广东高州模拟)已知中，角4B,C所对的边分别为a,b.

c,且ccosX=b+1.

(1)求角。的大小；

(2)若4c=5C=2,点MN在边43上，/MCN(,求面积的最小值.

b2+c2-a-

解：⑴因为ccosN=b+*由余弦定理，得。

2bc=呜

化简整理得cr-^b2-c2=~ab,

a2+fe2—c2—abi

由余弦定理，得COSC上

2ab2ab2

因为0</。<兀，所以/。筌，即角。的大小为今

(2)如图:

设/心=《…司），在△MO中，由正弦定理，彳喘=告

由(1)和/C=8C=2可知，ZJ=y,a=b=2,

6

所以CM="口,

s,n(a+6)

在△NC8中，同理可得CN=」-,

cosa

因为NMCNW，

所以S.旧CM6sinNMCN哼硒款后p

因为0。吗，所以衿2"衿？

3666

所以当2底仁甘，即夕挈t，△CNN面积取得最小值为今

・规律方法・

1.求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围i问题时，常利用正弦定理、余

弦定理与三角形面积公式，建立。十Aab,屏+今之间的等量关系与不等关系,

然后利用函数或基本不等式求解.

2.解决三角形中的某个量的最值或范围问题时，除了利用基本不等式外，还可以

利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想

求解.利用三角函数求解最值或范围问题时，解题的一个关键是求三角函数中角

的范围，此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、

三角形的内角和为180。等.

学生用书I第118页

对点练3.（2024•河北唐山二模）已知418。的内角力，B,。的对边分别为。，b,

c,2sin/sin8cosC=sin2C.

⑴求亨的值；

⑵若c=2,求△/4C面积S的最大值.

解：（1）因为2sin/sinBcosC=sin2C,

由正弦定理得，2abcos。=(?,

由余弦定理得，2ab巴，+〃一/=/,整理得已1=2

Labc°

(2)因为S=；absinC,因为c=2,

由⑴可得COS。=总则sinC=J1-4,

又2°2=8=*,乂22",即MW4,当且仅当a=b时等号成立.

于是S《Ja2b2-4《116-4=遍,所以S的最大值为

对点练4.(2024诃南周口模拟)记"8c的内角力，B,C的对边分别为〃，b,c,

已知A为钝角,tzsinB=bcosB.

(1)若/。三，求N4；

o

⑵求cosA+cos5+cosC的取值范围.

解：(1)由asinB=bcosB,根据正弦定理得sin/sinB=sinBcosB,

由于sin8,0,可知sin/=cosB,BPsin^=sinQ+B

因为4为钝角，则NB为锐角，即NB£(0,-贝%+/5KLn),则N4亨

/B,NCq—2NA

由N4W+N氏ZC=7，N4+N8+NC=TI,彳导NN==.

263

(2)cosJ+cosB+cosC=cosQ+B)+cos^+cosQ—2B)=—sin8+cos8+sin

28=cosB—sin8+2sinBcosB.

因为/Cq—2/B为锐角，

所以吟一2/—

即0<N8<：,贝!5，

设/=cos8—sinB=V^cos(B+：)W(0,1),

则2sinBcosB=1—t2,

cos/4+cosB+cosC=t+l~t2=-㈠在

2

因为r£(0,1)，则《一；)£[o，9,

从而-（亡-3+等（1,即

由止匕可知，cosA+cos8+cosC的取值范围是（1，1

考教衔接精研教材

［真题再现］（2021•全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数

学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线4C上，DE

和77G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为

“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与即的差称为“表目距的差”，

则海岛的高AB=（）

B

A表高x表距，丁-亡~R表高X表距_丰E

A-表目距的差’表同E表目距的差一表同

表高ix表距主表高X表距

c袤丽函/表距D.表距

表目距的差

答案:A

解析：因为FG〃力以所以黑若，所以GC=*C4因为。E〃4以所以警琮，

ABCAABABAH

所以EH笔AH又DE=FG,所以GC-EH=~（CA-AH）=^HC

ABABAB

岑X（〃G+GC）=^X（EG-£77+GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC—EH,

ADAD

表高为DE,表距为EG,则上式可化为，表目距的差率x（表距+表目距的差）,

AD

所以48=至嘉蓬4表距+表目距的差尸需展-表高.故选A.

表目距的差表目距的差

［教材呈现］（湘教版必修二P49T10）如图,有一段河流,河的一侧是以。为圆心,

半径为10V3m的扇形区域。C。，河的另T盘一段笔直的河岸/.河边有一烟

囱4例不计8离河岸的距离），且05的连线恰好与河岸/垂直，设03与圆弧

co的交点为£已知扇形区域和河岸处于同一水三面，在点C，点。和点片处测

得烟囱48顶端的仰角分别为45。，30。和60。.

⑴求烟囱44的高度；

(2)如果要在。七间修一条直路，求CE的长.

点评：高考题和教材习题考查的角度都是求物体的高度，应用的是简单的三角函

数的知识，而没有用到正弦定理和余弦定理，都侧重于考直数学知识在实际问题

中的应用.

课时测评36解三角形应用举例誓芸

(时间:60分钟满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)

。基础排查练(1-9,每小题5分，共45分)

L如图，一架飞机从力地飞往8地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域

的雷雨云层，从4点起飞以后，就沿与原来的飞行方向44成12。角的方向飞行,

飞行到中途。点，再沿与原来的飞行方向AB成18。角的方向继续飞行到终点B

点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了(sin12。弋0.21,sin

18°^0.31)()

C

A12°500km

A.10kmB.20km

C.30kmD.40km

答案：B

解析：在△力8c中，由NN=12。，Z5=18°,得NC=150。，

由正弦定理得录=焉=焉，所以翠=怒=含，所以4C=310km，BC=2\0

2

km,所以AC+BC—AB=20km.故选B.

2.一艘游船从海岛4出发，沿南偏东20。的方向航行8海里后到达海岛&然后

再从海岛8出发，沿北偏东40。的方向航行16海里后到达海岛C,若游船从海

岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的路程为()

A.12海里B.8夕海里

C.8^5-273海里D.88海里

答案:D

解析：根据题意知，在。中，ZJ5C=20°+40°=60°,48=8海里，8c=16海

里，由余弦定理，得力C^R笈+BC-Z/Bx^CxcusNABOgz+lGZ—2x8x

16x1=192,所以4C=8百海里.故选D.

3.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高

度为10000m,速度为50m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后

看山顶的俯角为45。，则山顶的海拔高度大约为(后Q1.4,1.7)()

++

\45°

王才、

A.7350mB.2650m

C.3650mD.4650m

答案：B

解析：如图，设飞机的初始位置为点儿经过420s后的位置为点山顶为点

C,作C0_L44于点D则NR4c=15。，NC8O=45。，所以NNC4=30。，在A/iBC

中，48=50x420=21OOO(m),由正弦定理得一%=—^/，贝！］8。=芈2'淅

s\nz.ACBs\nz.BAC1

2

15°=10500(V6-V2)(m),因为COL18,所以CZ)=8Csin45。=10

500(V6-V2)x^=io500(73-1)^7350(m),所以山顶的海拔高度大约为10

000-7350=2650(m).故选B.

4.（2025・河北承德模拟）如图，在曲柄CB绕C点旋转时,活塞4做直线往复运动,

连杆羽=4cm,曲柄CB=lcm,当曲柄C8从初始位置C&按顺时针方向旋转

60。时，活塞力从/o到达/的位置，则/。彳=（）

11-屈

A.——-——cm

乙

9-V61

C.-2-cm

答案:C

解析：连接8瓦，如图所示,

因为N8C&=60。，所以△BBoC为等边三角形，故/8B»=120。，BBQ=BC=\cm,

在ZL48%中，AB=4cm,由余弦定理得cos120。＞。?2=80＜：1三尘=

2BQABQB2BQA

解得BQA=""61cm(负值已舍去),则AoA=AOBO-BQA=4—&)/=4-

闹

-I+9-vn(cm).故选C.

22

5.（2021•全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高

程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角

高程测量法的一个示意图，现有/，B，C三点，且4,B,C在同一水平

面上的投影彳，夕，C满足N4C夕=45。，N4BC=60。.由C点测得B点的仰角

为15。，4夕与CC的差为100；由8点测得力点的仰角为45。，则4,。两点

到水平面48c的高度差力”一。。约为（国F.732）（）

A.346B.373

C.446D.473

答案：B

解析：如图所示，根据题意过。作CE〃。外交BB吁E,过B作BD〃/B,

交4r于。，则BE=100,C'*=CE=T7.在△4'C5中，NC4夕=75。，则

tanl50

BD=A鬻5。又在B点处测得A点的仰角为45。,所以AD=BD=尘黑

sin75usin75

所以高度差4，一。。，。+欧=空等+100=搞;詈+

100=^^+100=^^+100=100（＞/5+1）+100Q373.故选B.

4

6.（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75。方向，距离12V6海

里，灯塔。在力的北偏西30。方向，距离为12V3海里，该轮船由力沿正北方向

继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60。方向，下面结论正确的有（）

A.AD=24

B.CD=12

C./。。4=60。或/。八彳=120。

D.ZCDJ=60°

答案：ABD

解析:如图，在418。中，N8=45。，由正弦定理得鼻=磊，则当登=24,

OlIla*111WV*

T

故A正确；在△48中，由余弦定理得Cr^/0+Na—zx/Cx/OxcosbO。，因

为4c=12巡，324,所以。。=12,故B正确；由正弦定理得需,

sin30°s\n^.CDA

所以sinNCD4=^,故NCD4=60。或者NCD4=120。，因为力。＞4C,故NCD4

为锐角，所以NCD4=60。，故C不正确，D正确.故选ABD.

7.2023年10月31日，搭载着3名航天员的神舟十六号载人飞船返回舱成功着陆

于东风着陆场，标志着神舟十六号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D垂直下

落于点G某时刻地面上点48观测点观测到点。的仰角分别为45。，75。，若

九夕间距离为10千米（其中向量方与而同向），试估算该时刻返回舱距离地面

的距离C。约为千米（结果保留整数，参考数据：73^1.732）.

答案：14

解析：在A48。中，ZJ=45°,

ZJ5D=180°-75°=105°,

408=3。。，由正弦定理得得=僦，40=20xsin

105°=20xsin（60o+45°）=20x（sin60°cos450+cos60°sin45°）=5（V6+V2）,

所以CD=AD^=5（jG+V2）乂［=56+5-14（千米）.

4La

8.已知锐角△43C的内角力，B,C的对边分别为mb,c,且满足。=8，V3tan

Jian5=V3+tanZ+tanB,则a2+b2的取值范围为.

答案：(5»6]

解析：Efi\/3tan^tan5=V3+tanJ+tanB,彳导tan力+tanB=J5(tan力tanB—1),则

tan/i+,8一遮,即tan(4+B)=-V5,所以tanC=V5.又Ov/Cvg,所以/。三,

1—tan/ltanB23

所以NN+N3丹.又因为0vN440<ZB<\所以％由正弦定理，得

3LZoZ

-^=白=±=得=2，所以tz2+/)2=(2sin4)?+(2sin

sm/ls】nBsmC史

2

B)2=4^s\n2A+sin2得一%)卜4118s，_=41—1Qcos2/4—

?sin2孙=4[l+/in(2A一筋.又因为为/力力所以注2//〈也所以

g<sin(24—所以5<届+62：^6,即标十月的取值范围为(5,6].

9在A45c中,a,b,c分别为三个内角4,B,C的对边,ccos△+(2a+b)cosC=0,

若A4BC的外接圆面积为兀，则△/BC周长的最大值是.

答案:2+V3

解析：ccos8+(2Q+/?)COSC=0,由正弦定理得sinCeos8+(2sin力+sin8)cosC=0,

BPsinCeos8+sin8cosC+2sinJeosC=0,所以sin(3+C)+2sinAcosC=0,即sin

J(1+2cosC)=0,因为/4£(0,71),所以sin力和，所以cosC=—因为/C£(0,

兀)，所以NC=g,因为△力BC的外接圆面积为兀，所以△ABC的外接圆半径为1,

所以由正弦定理得'7=^=2,解得c=百，由余弦定理得。2=4+〃—

smCsiny

2"cos学=(a+b)2—疝=3,贝!]"=(〃+6)2—3,由基木不等式得次)4"纥当且

O1

仅当。=6时等号成立，所以(a+b)2—3W/，解得0<a+bW2,所以△48。周

长的最大值是2+V3.

10.(12分)(2025•江苏南京模拟)在①bcos(]-C)=\%cosB：②2sBe=V5瓦?灰,

这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：在ZU5。中，内角4,B,C的对边分别为m乩c,且

⑴求角8；（4分）

（2）在A48C中，6=26，求周长的最大值.（8分）

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：⑴选择条件①：即6sinC=V3ccosB,

由正弦定理可得：sinBsinC=V3sinCeosB,

在“8C中，/B,ZCe（0,7t）,

所以sinB*0,sinC，0,

所以sin5=V3cosB,且cosB*0,即tan5=V3,

所以

选择条件②：即2x/csinB=y/3cacosB,

EPsin5=V3cosB,

在△45C中，NB£（0,兀），

所以sin8#）,贝！］cosB,0,

所以tan8=75,所以

（2）由⑴知，b=2近，

由余弦定理知b2=a2±c2-2accos\

2

所以12=/+。2—QC=（Q+C）2—3QC,得（Q+C）2—12=3QCW3（等），

所以0<Q+CW4V5,当且仅当a=c时，等号成立，

所以△力BC周长的最大值为6V3.

薮综合运用练

11.（14分）（2025・湖南怀化二模）在△43。中，角4B,C所对的边分别为小b,

c，满足V5c=〃（sinAH-^cosA）.

⑴求角8的大小；（6分）

（2）若a+c=2,求实数/）的取值范围.（8分）

解：（1）由V5c=6（sin力+V3cos/4）,

彳导VSsinC=sin〃sinA+V3sinBcosA,

所以V5sinQ4+B)=sin3sin%+V5sinBcosA,

所以V5sinJcos5+V3cosJsin8=sin^sinJ+V3s