人教版高中数学必修第二册 平面与平面垂直【原卷+答案】

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8.6.3平面与平面垂直

A级必备知识基础练

1.［探究点一］如图所示，在三棱锥P-A3c中,Z4_L平面A8C,N8AC=90。,则二面角374。的大小为

（）

A.90°B.60°

C.450D.30°

2」探究点三］在长方体ABCEMiBGG的棱AB上任取一点E,作于点尸，则与平面

A山1G。］的关系是（）

A.平行

B.EFu平面ABC。1

C.相交但不垂直

D.垂直

3」探究点三］设a/为不重合的平面仪，〃为不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若〃?_1_46（_1_用,则tn//a

B.若〃，ua,〃u夕,〃i_L〃，则〃_La

C若a〃〃及则mLn

D.若〃_La,"_!_£,/«_L£，则mA.a

4」探究点三2）24甘肃天水高一期末］在矩形ABCD中工4=1工。二百,沿对角线AC将矩形折成一个

直二面角8-AC-Q,则点3与点D之间的距离为（）

A.V3B.V5

C•手D仔

22

5」探究点三］如图,在空间四边形ABCD中，平面/WD_L平面BCD,NBA0=9（）。,且A8=A。,则AO与平

面0C。所成的角足.

6」探究点三］如图，在三棱锥7M8C中，平面B4CJ_平面ABC,且/21。=90。,尸4="8=2,则

PB=

7.［探究点二.2024河南洛阳高一期末］在四棱锥P/BCD中，底面四边形48C。是正方形,PA_平面

ABCD.

求证:(1)平面PBOJ_平面PAG,

⑵平面尸CQJ_平面PAD.

8.［探究点三2024北京海淀高一质检］如图,四棱锥P-A3CQ的底面四边形A8C。是平行四边形商是

CD的中点，且人B=8C=AC,若平面平面ABCD,APLBD.

P

(1)求证:PA_L平面48C7).

⑵棱上是否存在点八使得C"〃平面PAZ??请说明理由.

9」探究点一、二］如图所示,四棱锥P/3CO的底面4BCO是边长为1的菱形,/3。。=60。,七是CO的

中点,幺_1_底面ABCD,PA=y/3.

（1）求证:平面P4£J_平面PAB;

（2）求二面角A-BE-尸的大小.

B级关键能力提升练

10.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面a内，且AC_LPC,平面PAUL平面PBC点匕4.8是定点，则

动点C的轨迹是（）

2c

A.一条线段

B.—*条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

11.（多选题）设m,n是两条不同的直线,a步是两个不同的平面,给出如下命题，其中正确的是（）

A.若a_1_夕,“06=/儿〃（2火〃_1_机,则〃4

B.若a_L£，且〃_!_夕,〃_!_〃?,则mLa

C.若a_LA〃?_L仇//a,则m//a

D.若aa,则m邛

1242024广东深圳高一质检］如图，在四面体4BCO中、/W=AC8cLBD,平面ABC_L平面BCDQ为线

段8c的中点，则下列判断错误的是()

A.AC1BD平面ABC

C.ADA.CDD.AO_L平面“CD

13.(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形,/D48=60。,侧面PAD为正三角形,且平面

平面A8CR则下列说法正确的是(

A.在楂A。上存在点M,使AQ_L平面PMB

B.异面直线AO与所成的角为90。

C.二面角P-BC-A的大小为45°

D.8Q_L平面PAC

14.如图4,8,C,。为空间四点，在△ABC中/8=2,AC=8C=V^等边三角形ADI3以AB为轴运动,当平面

AO8_L平面ABC时,CO=.

15J2024四川成都高一月考］如图，在四面体ABCD中,CB=CDAD_LBD,点七1分别是AB,B。的中点.

B

A

(1)求证:平面平面BCD,

(2)若平面A。。，平面UCO,且AO=UO=，C=1,求二棱锥3-AOC的体积.

16.如图，在三棱锥P-A4C中,P8_L平面是直角三角形,NABC=90，48=8C=2,N

848=45。,八方下分别为AC,AB,8C的中点.

(1)求证:日口_?。；

(2)求直线P尸与平面尸8。所成的角的正弦值;

(3)求二面角6PF-8的平面角的正切值.

C级学科素养创新练

17.如图，在四棱锥P-A8C。中，平面P4C_L平面A8CD且PA1AC/A=AO=2,四边形48CO满足BC

//ADABLADAB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点.

(1)求证:平面平面PAB.

(2)是否存在点E使得直线4尸与平面PC。垂直?若存在，写出证明过程并求出线段列邛勺长;若不存

在,请说明理由.

863平面与平面垂直

1.A平面ABC,3A,CAu平面ABC.

：.BA±PA,CA1PA,

因此284C即为二面角8-H4-C的平面角.

又N/MO90。,故选A.

2.

D在长方体/WCD-AI8IG/)I中，平面4484」平面A出Ci。且平面AAB81n平面

48。1。产4山1,又EFu平面,4388,£/_14出］,・・・石?_1_平面48iGQ,D正确.

3.D当〃?UQ时,〃?_L//,a_L夕也可以成立，所以A选项错误;若〃口£=〃，显然〃ua,这时〃?UG,〃U//,〃？

_L〃也可以成立，所以B选项错•误;当m//n时，显然a_L仇〃?_La,〃〃△成立，所以C选项错误;因为n

_1_人"?_1_氏所以加〃〃.又因为〃_La,所以〃z_La，所以D选项正确.故选D.

4.C

过点。在平面AOC内作。0_LAC,垂足为点0,如图，因为二面角8-ACO的平面角为90，,所以平

面4COJ_平面ABC.

又平面ACOD平面A8C=ACQOu平面ACD,

故平面ABC,又O8u平面A8C,所以ODLOB.

在Rt/^ACD中/。=V5,CD=1,AC=2,则NC4Q=30°,NACO=60。.

因为OOJ_4c，所以。。二9。4工。"次0$30。=*

在△A3。中,N8AC=60。，

则OB2=A02+AI^-2AOAHcos600=?+1：=]所以OB=[,

424L

所以BD=y/OB2+OD2=詈.

故选C.

5.45°

A

过A作A0_L8D于点O,

•・•平面平面BCD,

・・・AO_T'T-面BCD^']ZADO即为AO与平面。。。所成的角.

,/ZBAD=90°,AB=AD,

••・NAOO=45。.

6.V5•・•平面PAUL平面ABC,平面PAC与平面ABC的交线为4。,/抬。二90。,必＜=平而PAC,

・・・PA_L平面ABC,

又A8u平面ABC,：,PA1AB,

：,PB=y/PA2+AB2=二/+22=炳.

7.证明⑴因为PA_L平面48CO,BOu平面ABC。,所以PA1BD.

又底面四边形ABCD是正方膨，所以AC_LBD

又因为PADAC=A,PA/Cu平面PAC,

所以3。_1_平面PAC.

又BDu平面所以平面P8O_L平面PAC.

(2)因为PA平面ABCDCDu平面ABCD,所以尸A_LCD因为底面四边形ABCD是正方防，所以

AD1CD.

又PACIA。:A/A工Ou平面PAD,

所以COJ_平面PAD又CQu平面PCD,

所以平面PCQJ_平面PAD.

8.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=AC=2CE,

/.四边形ABCD是菱形，且AEA.CD.

9：AB//CD.：.AE1AB.

•・•平而PABJ_平面A8CO,平面PA8A平面ABC。=AB,AEu平面ABCD,

.\AE_L平面PA8,又APu平面PAB,：.AEA.AP.

•:AP1BD,BD与AE相交平面ABCD,

・・・FA_L平而AZ7CD

(2)解当F为PB的中点时,CT〃平面A4E理由如下:

取厂为的中点,G为PA的中点，连接CF,FG,EG,

则FG//AB,^LFG=^AB.

•・•底面四边形ABCD为菱形，且£为CO的中点，

：.CE//AB^CE=^AB.

:.FG〃CE,且FG=CE.

・•・四边形CEGb是平行四边杉，・・・C”〃EG.

TCE平面PA以EGu平面PAE，。/7〃平面PAE.

9.

⑴证明如图所示，连接B。,由底面A8CO是菱形且N8CO=60。知,/XBCO是等边三角形.

因为E是CD的中点，所以BELCD.

又因为A8〃CQ,所以BEVAB.

又因为PA_L平面ABCD、BEu平面ABCD,

所以P4_LAE.而PACyAI3=Ay

因此BE_L平面PAB.

又因为BEu平面P8及所以平面P8E_L平面PAB.

(2)解由(1)知,8£_1_平面以8,P8u平面PAB,

所以PBLBE.又因为AB工BE,

所以NP8A是二面角A-BE-P的平面角.

在Rt/\PAB中,lan/PB4=£=J3,/P84=60。,故二面角A-I3E-P的大小是60。.

AB

10.D•・•平面P4C_L平面PBC/CJ_PC,平面PACC平面PBC=PCACu平面P4C,，ACJ■平面

PBC.

又8Cu平面PBCS.ACLBC,：.ZACB=90°.

・•・动点C的轨迹是以A8为直径的圆，除去A和8两点.

11.AC根据平面与平面垂宜的性质知A正确;B中，机还可能在a内或〃?〃a或，〃与a斜交,B

不正确;C中"_1_夕,/〃_L0,〃iQa时，只可能有〃7〃a,C正确;D中/〃与夕的位置关系可能是利〃/或

加u6或〃?与”相交,D不正确.故选AC.

12.C因为平面A8C_L平面8co，平面ABCn平面BCD=BC,BC±BD,BDu平面BCD,所以BD1

平面ABC,即B正确;因为ACu平面A8C,所以BD_LAC,即A正确;因为AB=AC,O为线段BC的

中点，所以BULA0,同理可得AOJ_平面BCD,即D正确;因为BDL平面43C,4Bu平面A3C,所

以8O_LA8,又8/m。。=。4£>,。。<2平面BCD,若AB1CDM4BJL平面3CQ,显然8.。两点不重

合，故C错误.故选C.

13.

P1

R

ABC如图，对于A,取AO的中点M,连接•侧面PA。为正三角形，

・・・PM_LAn又底面A8CO是菱形,NQA8=60°,.・・△A3。是等边三角形,又

PMn8M=M,PM,8Mu平面”/3,，八。，平面PMB,故A正碉;

对于氏・・・4。_1平面「。此・・・丹。_1「&即异面直线从。与P8所成的角为90。,故B正确；

对于C「・•平面P8Cn平面ABCD二BC,BC〃AD,；,BC上平面PBM,：・BC1PB,BC工BM、：,/PBM

是二面角28cA的平面角，设A8=l,则BM岑PM岑

PVf

在RdPBM中,tan/PBM=言二1,即NP8M=45。,故二面角P-BC-A的大，卜为45°,故C正确；

对于D,因为BD与PA不垂直，所以BQ与平面PAC不垂直，故D错误.

14.2取AB的中点2连接DE,CE,

因为△408是等边三角形，所以DELAB.

D

当平面AQ8_L平面48c时，

因为平面ADBCi平面ABC=AB,

所以OEJ_平面A8C.

可知力E上CE.

由已知可得DE=V3,EC=I,4RtADEC中,CO=^^a=2.

15.证明⑴因为CB=CD,F是BD的中点、,

所以8O_L.CE

因为E,F分别是AB,BD的中点，所以EF//AD.

因为AO_L8。,所以BD±EF.

因为CFCEF=F,CF,EFu平面EFC,所以8OJ_平面EFC.

因为OOu平面BCD,所以平面EFC1.平面BCD.

(2)因为平面A8D_L平面8CD,且交线为BD,

CRz平面BCD,CF工BD,所以C尸平面ABD.

因为AD=BD=BC=CD=1,CF=y,

所以V三椅就BADC=VCABD=^S^.ABD-x|xlxlx^=^.

16.⑴证明连接8D,在△44C中,N8=90°.

•:AB=BC,点D为4c的中点,，8。J_AC.

又平面ABC工Cu平面ABC,：.AC±PB.

•・・8OnPB=8,・・・ACJ_平面PBD.

•・•£户分别为AB,BC的中点,

・•・EF//AC,JEF1.平面PBD,

•・•PDu平面PBD,：.EFl.PD.

(2)解连接BD交所于点。，由(1)知上凡L平面PBD,

•••NfTO为直线TF与平面所成的角，且POu平面rBD,：.EF±rO.

•・・P8_L平面A8c,8C,A8u平面ABC.

：,PBLAB,PBLBC.

,：ZPAB=45°,：.PB=AB=2.

,?OF=^-AC=^APF=y/PB2+BF2=V5.

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在RtAFPO中,sin/FP。=黑=黑，