2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷01（人教A版范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章、第七章）解析版

高二数学下学期期中模拟卷01(人教A版)

全解全析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)已知函数/(无)=炉+%则.(-2)=()

A.-10B.1()C.-11D.11

【答案】D

【解题思路】求出导函数，代入数值即可求解.

【解答过程】因为/(%)=炉+：,所以尸(%)=3/一*

所以「(-2)=3x(_2)2_.=12—1=11.

故选：D.

2.(5分)设随机变量X〜N(3,O2),P(X<5)=0.8,</<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】B

【解题思路】根据正态分布的对称性计算可得P(1<X<3)=P(X>1)-0.5=0.3,即可得B正确.

【解答过程】根据X〜N(3,02)可知正态曲线关于〃=3对称，

易知P(X<5)=P(X>1)=0.8,

因此可得尸(1<X<3)=P(X>1)-0.5=0.3.

故选：B.

3.(5分)若弓炉一盘)“二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为()

A.840B.-252C.-210D.210

【答案】A

【解题思路】利用二项式的性质得ri=10,再利用二项展开式的通项公式，即可求解.

【解答过程】因为二项式系数只有第6项最大，故n=10,

31Or2r1O-r5

又二项展开式的通项公式为G+i=Clo(1x)-(-2x-)=Cro(l)(-2)V°--(O<r<10,r6N),

1/12

令30-5r=0,贝！Jr=6,

故77=端弓）4（-2）6=840,

故选:A.

4.（5分）曲线y=e"+2%在点（0,1）处的切线方程为（）

A.3x—y+l=0B.3x—y-3=0C.2x—y+1=0D.2x—y—2=0

【答案】A

【解题思路】应用导数的几何意义求切线方程即可.

【解答过程】因为y=眇+2%，所以y=e'+2,所以在点（0,1）处的切线斜率k=e0+2=3,

所以在点（0,1）处的切线方程为y-l=3（%—0）,即3x-y+l=0.

故选:A.

5.（5分）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲

类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（）

A.480种B.444种C.408种D.360种

【答案】C

【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语

言类节目在第一个出场对应的方法数即可.

【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法：

即先将I个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法，

减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第

一个节目前的空留下的4个空中插空，

有娘•A：种方法，故不同的出场方式共有A1•A"A,•A2480-72=408种.

故选：C.

6.（5分）志愿者甲参加笫21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单

车的概率分别为:，pg且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为［：，若某一

44Zb/3

天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（）

AmB里c—D-

j240D'173J1733

【答案】C

【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式直接求解.

2/12

【解答过程】设事件A表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车”，事件C表示“甲骑共享单车”，事件。表示“甲

按时到达文博会”，

则P⑷=3P⑸=/，P(G=?P(OM)=/P(D|B)=IP(D|C)=I，

则P(D)=P(A)P(D|4)+P(B)P(DB)+P(C)•P(D|C)

14,13,12173

=ZX5+ZxZ+ixi=^

P(CD)=P(C)P(D|C)=g

所以若某一天甲按时到达文博会，

则他骑共享单车的概率为尸(C|0)=制=稳.

故选:C.

7.(5分)若随机变量X的分布列为

X123

p0.20.5q

则下列结论不正确的是()

A.E(X)=2.1B.D(X)=0.49

C.F(3X+1)=7.3D.D(3X+1)=5.41

【答案】D

【解题思路】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可.

【解答过程】因为随机变显X的分布列可得0.2+0.5+q=1,所以q=0.3,

所以E(X)=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,所以E(3X+1)=3x2.1+1=7.3,A选项正确：C选项正

确；

O(X)=(1-2.1)2X0.2+(2-2.1)2X0.5+(3-2.1)2X0.3=0.49,

所以O(3X+1)-32。(>)一9x049—4.41,B选项正确，D选项错误.

故选：D.

8.(5分)已知不等式xe*—x工In无+m+3,对Vx6(0,+8)恒成立，则m的取值范围为()

A.m<—1B.m>—1C.m>_2D.m<-2

【答案】D

［解题思路】将问题转化为xe"t-Inx>m+3对以G(0,+8)恒成立，构造函数/(%)=-inx

3/12

(x>0),进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.

【解答过程】不等式xe'-xZlnx+m+3对Vx£(0,+8)恒成立，

BPxex-x—Inx>m+3对Vx€(0,+8)恒成立,

令/O)=xex-x-lnx(x>0),

则/口)=(%+l)ex-l-；=(x+l)(ex-l),

因为函数y=ex,y=-：在(0,+8)上单调递增，

所以函数g(x)=1一^在(0,+8)上单调递增，

又第)=e-2<0，^(1)=e-1>0,

所以存在唯fowQ,l),使得gQo)=眇。一春=0,gpxJ_|nx=-x»

/人0e0=人0i00

则/€(0,无0"寸，g{x)<0,/'(%)<0：%e(Xo，+8)时，9(%)>0/(%)>0,

所以函数/(盼在(OX。)上单调递减，在(右,+8)上单调递增，

所以f(x)min=f(%0)=汽1。-Xo-lnxo=^o-£-^o+xo=1.

八u

则m+3<1,即7九W—2.

故选:D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)下列求导正确的是()

A.若/㈤=2。则((无)=2~1

B.若f(x)=sinxcosx,则f'(x)=cos2x

c.若/(%)=*，则/■'(%)=宗

D.若/'(%)=湎n%,则，(%)=今詈

【答案】BCD

【解题思路】根据导数公式和导数运算法则逐一计算即可判断.

【解答过程】对于A,若/"(%)=20则r(x)=2xln2,故A错误；

对于B,若/(x)=sinxcosx,则尸(x)=cos2x—sin2x=cos2x,故B正确;

对于c,若/'(%)=£,ro)=FJ=詈，故c正确；

4/12

_,1,「，、InxJZInx22+)nx一

对于D，若/(%)=minx,尸。)=不+丁=米+旅=W瓦，故D正确•

故选:BCD.

10.(6分)已知(X—1)9=劭+。1%+。2%2H---FagX9,则()

A.«o=1

B.Qo+Q]+0,2+…+。9=0

C.。0—+。2—a3+…+。8—。9=—512

D.Q0+。2+。4+。6+。8=256

【答案】BC

【解题思路】A选项，令％=0可求；B选项令工=1可求；C选项，令》=-1可求；D选项，把x=1和x=-1

时的展开式相加可求.

【解答过程】令x=0,得的=(一1)9二-1,故A错误；

令％=1,得Q()+即+。2+--l*Q9=09=0,故B正确：

令％=—1,得。()-Q[+。2—。3+…+。8—。9=(-2)9=—512,故C正确；

将&O+即+。2+…+。9=。与。0—+。2—。3+…+。8—。9=-512这两式的左右两边分别相加，

得2(。0+。2+。4+。6+劭)=—512,解得。0+。2+。4+。6+。8=-256,故D错误.

故选：BC.

II.(6分)已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案

-：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为匕则()

A.P(X=0)<P(Y=0)

B.当々=2或3时，P(X=k)最大

C.E(X)=E(r)

D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为！

【答案】BCD

【解题思路】先得到X~8(5*),Y服从超几何分布，A选项，计算出P(X=0)=*,P(Y=0)=右,A错

误；B选项，P(X=k)=C4g5,得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正

确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为0=4方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正

正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”,求出每种情况下的概率,相加得到概率,得到D正确.

5/12

【解答过程】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数X〜B(5』)，

P(X=k)=麾(3"(；)5Tk=0,1,2,3,45

方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数丫服从超几何分布，

则P(V=k)=，管,k=0,l,2,3,4,5.

选项A,P(X=0)-(1)5-9P(V=0)二警一击，P(X=0)＞P(Y=0),A错误；

选项B,vP(X=k)=cE@)s,由于星=黑＞a=心＞%故k=2或3时，P(X=k)最大，B正确；

选项C,由二项分布及超几何分布期望公式E(X)=5XT=3,E(Y)=V=PC正确;

选项方案一中，每次抽到次品的概率均为

D,•L4乙

方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，

其中“正正次”的概率为卷X4X。=看“正次次”的概率为总X卷X卷二5

“次正次”的概率为展X洋X得=5"次次次”的概率为卷X2X2=2，

故第三次抽到次品的概率为/x3+2=aD正确.

故选：BCD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)现有5名教师带领3个兴趣小组(生物、人文、经济)外出学习考察，要求每个兴趣小组的带

队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有

种.(用数字作答)

【答案】72

【解题思路】教师人数的女排为2,21，先女排张老师，选择1人和张老师为一组，井安排一个兴趣小组，

然后再考虑其他3人，结合排列组合知识进行求解.

【解答过程】教师人数的安排为2,2,1,

先从除张老师剩余的4名教师中选择1人和张老师为一组，有C；种，

再从3个兴趣小组中选择1个安排给张老师这组，有0种，

再将剩余3人分为2组，安排到另外2个兴趣小组，有髭(:从称和，

6/12

综上，不同的教师带队方案有禺专=72种.

故答案为：72.

13.(5分)若曲线y=e"+2x在点(0,1)处的切线也是曲线y二,(工+1)+。的切线，则。=.

【答案】巾3—1

【解题思路】先求出曲线y=e"+2%在(0,1)的切线方程，再设曲线、='(》+1)+。的切点求出/，利用公

切线斜率相等求出的表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解

【解答过程】由丫=0“+2%,得y，=eX+2,y|x=0=e°4-2=3,

故曲线y=ex+2x在(0,1)处的切线方程为y=3x+1：

由)，=ln(x+1)+a,得y=

设切线与曲线y=ln(x+1)+Q相切的切点为(%o，ln(x0+1)+Q)，

由两曲线有公切线得V=匕=3,解得&="，则切点为(-看尾+a),

•^0**JJJ

1?1

故切线方程为y—(吗+a)=3(%+,即y=3x+2+吗+a

因两切线重合，则2+1《+Q=1,解得Q=ln3-1.

故答案为：ln3-l.

14.(5分)一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球,这些球除颜色外大小、质地完全相

同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为白，设X为取出白球的个数，则E(X)=

【答案W

【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为4求出〃的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定

义即可计算.

【解答过程】由题可知，需=煮即(“+D图)(-3)=也解得九=3,

则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=]=云,P(X=1)=岩=券

P(X=2)=鬻=4,P(X=3)=L，

所以E(X)=0X*+1X4+2X/+3X*=1.5.

7/12

故答案为：|.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)在(24一3n二项展开式中，所有项的二项式系数之和为32.

(1)求展开式中x的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】(1)-240

⑵720xV,-1080X-2

【解题思路】(1)由二项式系数和为2n可求得71的值，然后写出二项展开式通项，令工的指数为1,求出参

数的值，代入通项后即可得解；

(2)易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大

的项.

【解答过程】(1)由题意可得，二项式系数为2〃=32解得〃=5,所以该二项式为(2五一》【

贝0通项公式为7门〔二慧(24)5—=(-3)^^25~^^(0<k<5,keN^

令竽=1,解得k=l,所以该二项式的展开式中的工的系数为［一3)禺24=-240.

(2)因为九=5,易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，

即丁2+1=(-3)2髭23y4=720x4,T3+1=(-3)3髭22广2二一1080厂2,

所以展开式中二项式系数最大的项是720x3,-1080厂2

16.(15分)已知函数/(%)=$3-37+5%+1.

(1)求/(x)单调区间及极值；

(2)求/(x)在区间［一1,2］上的最大值与最小值.

【答案】⑴递增区间是(一8,1),(5,+8),递减区间是(1,5),极大值与，极小值一争

(2)最大值为当最小值为一?

•3

【解题思路】(1)求出函数/(X)的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答.

(2)结合(1)中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答.

【解答过程】(1)函数/'(%)=；炉—37+5x+1的定义域为R,求导得广。)=%2-6%+5=(%—5)(x—

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1)，

当%<i或%>5时，,㈤>o,当1<%<5时，r(%)<o,

因此函数/(%)在(-8,1),(5,+8)上单调递增，在(1,5)上单调递减，

当《=1时，函数/'(%)取得极大值;'⑴=与，当％=5时，f(x)取得极小值/'⑸=一半

所以函数/(幻的递增区间是(一8,1),(5,+8),递减区间是(1,5),极大值与，极小值一彳.

•5«5

⑵由(1)知，函数f(x)在［-1,1］上单调递增，在口,2］上单调递减，而/(一1)二一言'(2)=1

JJ

因此/(©max=/⑴=孚fQ)min=f(-D=-/，

所以函数/(%)在［-1,2］上的最大值为与，最小值为一

17.(15分)现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各

有多少种不同的站法？

(1)老师站在最中间，2名女学生相邻；

(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；

(3)2名女学生之间只有2名男学生.

【答案】(1)192

(2)72

(3)576

【解题思路】(1)元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得：

(2)元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可；

(3)要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进吁捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑

这个整体与另外三人共四人全排田得.

【解答过程】(1)因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有C；种,

这三个人与另外三个男生在老师两侧有A。种，女生与向侧的男生排序有A9种，

女生内部排序有A；种，另一边的三个男生排序有心种，

由分步乘法计数原理.，不同的排法有以A必弘以g=192种；

(2)先排老师和女生共有A习种站法，再排男生甲有©种站法，最后排剩余的3名男生有Ag种站法，

所以共有=72种不同的站法；

(3)先任选2名男生站两名女生中间,有A附:种站法，

9/12

再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有A：种，

由分步乘法计数原理，共有A必建，=576种不同的站法.

18.(17分)某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企

业正式录取，每个环节相互独立观M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置4、〃两

个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过4、4科目的概率分别为a*乙通过/、6科目的

概率分别为也土丙通过小8科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为提

(I)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；

(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励

100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180

元的概率，试通过计算判断「同学的说法是否正确：

(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(虑

(2)不正确

(3)分布列见解析，得

【解题思路】(I)设事件4表示甲通过笔试，事件8表示乙通过笔试，事件。表示丙通过笔试，结合独立事

件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；

(2)根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面:式的概率，比较大小，即可求解：

(3)根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量X的可能取值，求得相应的概率，列出

分布列，结合期望的公式，即可求解.

【解答过程】(1)解：设事件4表示甲通过笔试，事件B表示乙通过笔试，事件。表示丙通过笔试，

7414qq

则P(4)=与x%=")=P(C)=?x-=-,

则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为P=1X(1-1)2+(1-1)X^X(1-^)X2=^.

(2)解：若这三名同学获得I80元的总奖金，则说明三人都未进入面试，

所以对应概率为P1=(1—9乂(1一|)=急

若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试，

所以对应概率为P2=|x|x|=^-,

4DDwU

10/12

因P1<P2,所以丁同学的说法错误.

(3)解：由题意得，甲被录取的概率为P3=,x=x,=W，

乙被录取的概率为P4=1x^x|=^

内被录取的概率为P5=P4=,，

根据题意，随机变量X的可能取值为X=0,123,

RiJP(X=0)=|x|x|=^P(X=l)=ix|x|+|x|x|x2=il,

P(X=2)=ix|x|x2+|x1x|=±P(X=3)=ix1x|=±

故X的分布列如下所示:

X0123

61144

p

25251575

所以数学期望E(X)=0x-+l+2x^+3x^=H

19.(17分)已知/(%)=e2x-ax-l.

⑴试判断f(x)的单调性；

(2)若%>0时，/(x)>0恒成立，求实数Q的取值范围；

(3)当时，求证：3好一si