《线段的垂直平分线》随堂练-2025-2026学年鲁教版七年级数学下册

第十一章•三角形的证明及其应用

5线段的垂直平分线

第1课时线段垂直平分线

列清单•划重点

知识点①线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到

符号语言：如图，

•.•点P在线段AB的垂直平分线上，

知识点②线段垂直平分线的逆定理

在这条线段的垂直平分线匕

符号语言：如图，

vPA=PB,

.••点P在线段AB的垂直平分线上.

明考点•识方法

考点①线段垂直平分线的性质定理

典例1已知：如图，在AABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E.

D/

E

B

典例1图

(1)若AC=12,BC=10,求AFRC的周长:

(2)若lA=40。,求NEBC的度数.

思路导析(1)由AB的垂直平分线得AE=EB,则aEBC的周长

=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC,即可得解；

(2)由NA=40。和AB=AC以及三角形内角和求得NABC的度数，由AE=BE得NA

=NABE=40。,进而求得乙EBC的度数.

变式1如图,AB=AC,AC的垂直平分线交AB于D,交AC于E.若AE=5,ABCD的周氏为

17JUABC的周长为—.

变式1图

变式2如图，在AABC中,AB=4,AC=8,EF垂直平分线段BC,点P是直线EF上的任意一点,

则AABP周长的最小值是,

考点②线段垂直平分线性质定理的逆定理

典例2如图，在AABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P,求证：点P在线段AC的垂直

平分线上.

思路导析由垂直平分线的性质得AP=BP=CP,再由此进行判断即可.

变式1如图，在ZkABC中/ACB=9()o,D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB

的交点,DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上.

变式1图

变式2如图，在△ABC中/ACB=9()o,AD平分NBAC,DE1AB于E.

(l)gzBAC=40°,>RzEDA的度数；

(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.

变式2困

第2课时三角形的线段垂直平分线与尺规作图

列清单•划重点

知识点①三角形三边垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到.注意锐角三角形三边的

垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角

形三边的垂直平分线交点在三角形的外部.

知识点②尺规作图

1.已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

如图，已知线段a,h,求作AABC,使AB=AC,且BC=a，高AD=h.

步骤:①作线段BC,使BC=a;

②作线段BC的垂直平分线I,交BC于点D;

③在1上作线段DA,使DA=h;

④连接AB.AC，得到AABC就是所要作的等腰三角形.

A

2.已知直线外一点，作直线的垂线

如图，已知直线1和I外一点P,求作1的垂线，使它经过点P.

步骤：①任取一点Q,使点Q与点P在直线I两旁；

②以点P为圆心，以PQ的长为半径画弧，交直线1于点A和点B：

③分别以点A,B为圆心，以大于，iB的长为半径画弧，两弧交于点C；

④连接PC,直线PC就是所要作的垂线.

X

P

乂C

第1课时线段垂直平分线

【列清单•划重点】

知识点1这条线段两个端点的距离相等PA=PB

知识点2到一条线段两个端点距离相等的点【明考点•识方法】

典例1解:(1)：DE是AB的垂直平分线,，AE=BE,

△EBC的周K=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+12=22;

(2)VAB=ACXA=40°,.-.ZABC=70°,XVAE=BE,.-.^ABE=ZA=40°,:.乙EBC=70°-40°=30°.

变式127

变式212

典例2证明：•••边AB,BC的垂直平分线交于点P,

••.PA=PB,PB=PC,..PA=PC,

.•・点P在AC的垂直平分线上.

变式1证明:如图，过E作EG1AC于点G,

V£ACB=90°,

.-.EGHBD,

•••△AEG=NB,4D=NDEG.

・••E是BD的垂直平分线与AB的交点，

.•.BE=DE,

•••zAEG=z.DEG.

iEAAEGAJAFEG.•4AEG=ZTEG,EG=EG,Z.AGE=ZFGE,

.••△AEG^AFEG(ASA),

••.EA=EF,

.♦.点E在AF的垂直平分线上.

变式2解:(1六乙8八©=40<:人口平分43人€：,

Z.EAD=Z.CAD=\/-BAC=20°.

••,DE1AB,

/.ZAED=9O°,

•••LEDA=90°-20°=70°;

(2)证明:•••DE1AB/ACB=9O。，

:.LAED=90°=Z-ACB.

•.•AD平分NBAC,

Z.DAE=^DAC=^BAC,

在AAED和ZkACD中，

/.AED=Z.ACD,

{/-DAE=Z-DAC,

AD=AD,

.-.△AED^AACD(AAS),

.•.AE=AC.

•••AD平分2BAC,

.-.AD1CE,AD平分线段EC,

••・直线AD是线段CE的垂直平分线.

第2课时三角形的线段垂直平分线与尺规作图

【列清单•划重点】

知识点1三个顶点的距离相等

【明考点•识方法】

典例1解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下:连接AO,BO,CO,

典例1图

••・1□与1□是AB,AC的垂直平分线,

.-.AO=BO,CO=AO,.-.OB=OC,

.•,点O在边BC的垂直平分线上.

变式三边垂直平分线交点处

典例2解:(1)如图,DE即为所求;

(2)证明:•••DEJaC,

.-.ZDEB=ZDEC=