2025-2026学年吉林省长春某学校九年级（下）第一次学情检测数学试卷（含答案）

2025-2026学年吉林省长春108中九年级（下）第一次学情检测数学试

卷

一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果物质在汽化过程中吸收40J的热量记为+407,那么物质在液化过程中释放38J的热量可记为（）

A.38JB.-2JC.2JD.-38J

2.下列计算正确的是（）

A.y>aaB.(ab2)3-rab=a2b4

C.2a3-a3=a3D.(-a)3・(-“3)=.1>

3.下列变形正确的是（）

A.ii-x>5,得x>-5

C.由得

4.如图所示，以下描述错误的是（

A.点力位于点4的北偏西20°方向

B.点力位于点。的北偏东400方向

C.点C位于点片的北偏西67°方向

D.点B位于点A的南偏东20°方向

5.如图，在菱形月4CO中，E、尸分别是XC,48的中点，如果仃'=4,那么菱形49CQ的周长为（）

CB

A.32B.24C.16D.12

6.数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意图如图所示，在D处测得旗杆顶端A的仰角

"IDE为55°,。处到旗杆的距离OE为6米，测角仪CO的高度为1米，设旗杆月4的高度为x米，则下

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列关系式正确的是（)

1”

B.””丁，C.>"1D.

6

7.如图，△408是边长为4的等边三角形，。8边在x轴正半轴上，点力在第一

象限，反比例函数-0切的图象经过/出边的中点。，且与。力交于点C,

则点C的坐标为（）

A.!v3.3,1

B.2^3.31

c.(3.75)

D.A\3J)

二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

8.超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面可能有（）

主视图左视图俯视图

A.7桶B.8桶C.9桶D.10桶

三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.因式分解：a2-4a=.

10.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是.

11.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当乙1=50°时，则N2

的度数为一.

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12.在平面直角坐标系中，将点/（-I,1）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点8（。力）,

则a+b=___.

13.如图，^MON=60°,以。为圆心，2为半径画弧，分别交射线OM,ON于A,8两点，再分别以4B

为圆心，3为半径画弧，两弧在41ON内部相交于点C,作射线。C,连接/C,BC,则tan〃iCO=

14.如图，点尸在△力3C的边力8上，且力8=4力尸，过点尸的直线MN与△力3c的外

接圆交于M、N,且点力为弧的中点.以下说法正确的有—.

①HM=AN;®AB=ACx③/尸•力6；④BM=2PM.

四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题6分）

先化简，再求值：也《，其中”—3,b-\.

a-6

16.（本小题6分）

如图，三张“黑桃”扑克牌，背面完全相同将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上甲，乙两人进行摸

牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字再放回洗匀，乙再从中随机抽取一张.利用树状图或列表的方法,

求甲乙两人抽到同一张扑克牌的概率.

17.（本小题6分）

每年的3月14日为国际数学日，在国际数学日到来之际，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数

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独棋，已知购买1副七巧板和3囿数独棋需要125元，购买3副七巧板和2副数独棋需要130元.求1副七

巧校和1副数独棋的单价各是多少元.

18.（本小题7分）

图①、图②、图③均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点力、B、C、。、E、产均在格

点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画轴对称图形，所画图形的顶点均在格点上，不要求写

画法.

（1）在图①中，四边形48WV面枳为4；

（2）在图②中，四边形COP。面积为10：

（3）在图③中，四边形EFGH面积为12.

19.（本小题7分）

如图，在中，乙4〃C=90°,以48为直径的。。交力。于点E是AC的中点，连接EQ并延长交

A4的延长线于点广

（1）写一个与NC相等的角—

（2）求证：E尸是。。的切线.

20.（本小题7分）

某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛

成绩的样本数据分成力，B，C,I）,四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表：

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组别ABCD

成绩（W分）60«7070WxV8080«9090^x^100

人数（人）413m15

根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图:

根据以上信息，解答卜列问题:

（1）本次共调查______名学生，，片______,并补全条形统计图.

（2）在扇形统计图中，等级。所对应的扇形的圆心角为度;

（3）小明查阅到某数据中心给出的20192025年中国跨境电商出口规模及预测图，哪一年的同比增长率

最高？从图中你还能发现哪些信息？写出•条.

21.（本小题8分）

如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5口〃,交又重叠部分的圆的直径为0.8c/%.设链条长度为链条节

数为X.

1W链条2节链条n1照条

（l）观察图形，填写如表：

链条节数力节234•••

•••

链条长度y/cm4.2——

（2）上表的两个变量中，自变量是_____.

（3）请写出y与x之间的函数关系式.

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（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是

多少？

22.（本小题9分）

【问题呈现】如图①，在△48C中，AB=BC=6,乙18030°,点尸为△48C内一点，连接力、PB、PC,

求P/1+P4+PC的最小值，并说明理由；

【问题探究】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，

然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以

求出这三条线段和的最小值了、他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.

他的做法是，如图②，将△/I8P绕点8逆时针旋转60°得到48/花，连接P凡EC.

由旋转的性质可知：

证明过程缺失

•:PA=EF,

:.PA+PB+PC=PC+PF+EF,

・：PC+PF+EF2EC,

•••丝P’尸在直线EC上时，21+P8+PC的值最小.

请帮助小华补全上述证明过程.

【问题解决】4+P8+PC的最小值为_____.

【拓展提升】如图③，如图，在菱形4BCD中,乙ABC,AB-2,连接〃力，点P是〃。上的一个动点，连接

PA,PC,则尸力+P8+PC的最小值是.

【生活实际】如图④，一个矩形菜地的力、8、C三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个

蔬菜运输点P,经研究发现，运输点。到4、B、C三个菜窖的总路程至少为八19千米，若.14SBC,

则此矩形菜地的面积至少为平方千米.

23.（本小题10分）

如图，口力用。。中，止12,AD=5,sinN£U8=0.6,点P是线段48上一动点（点P与点力不重合），连接

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OP,作点。绕点尸顺时针旋转90°的对应点。'.

（1）点。到直线48的距离是_____：

（2）当点O'在%8c。内部时，求4P长的取值范围;

（3）连接c。'，求ar的最小值;

（4）连接4。'，当△4。’尸是悦角三角形时，直接写出力户的取值范围.

24.（本小题12分）

在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线产.d+队.4的对称轴为直线x=l,与夕轴交于点M点产、。是

该抛物线上的点（点尸不与点。重合），其横坐标分别为机、加，作点户关于点（・1,0）的对称点

（1）求该抛物线对应的函数关系式：

（2）试说明点。与点例的横坐标之差是2；

（3）连结N0、MQ,以NQ、"0为邻边作uMQW.

①线段与抛物线有交点时，直接写出，〃的取值范围；

②当点P在第二象限时，该抛物线在口内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值

范围.

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1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7【答案】A

8.【答案】ABC

9.【答案】a(a-4)

10.【答案】

II.【答案】400

12.【答案】-1

13.【答案】'2

4

14.【答案】©®®

15.【答案】:

16.【答案】

«>

17.【答案】1副七巧板的单价是20元，1副数独棋的单价是35元.

18.【答案】如图①中，四边形力即为所求;

如图②中，四边形C。。。即为所

图①图③

求如图③中，四边形EPG〃即为所求

19.【答案】乙EDC连接OD,