广东省广州市普通高中2026年毕业班综合测试（二）数学试题（含答案）

广东省广州市普通高中2026年毕业班综合测试(二)数学试题

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2

B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，洛试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/1},先仕||r1|V2},则彳G8二

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1)

2.已知复数署在复平面内对应的点在虚轴上，则片

A.-V2B.-1C.1D.V2

3.已知非零向量a,b满足|a|=3|”，且3+。)_1_匕,则cos<a,b>=

2V2

A.-JB.y

J

4.已知tan。=则l+sin2®

人」cos20

A.2B.jD.-2

5.若函数y=/(x)的图象与y=【。。3%+Q的图象关于直线产x对称,且/(2)=18,则a=

A.-9B.-log22C.log32D.9

6.已知。>力>0,且。+6=1,则下列不等式不一定成立的是

A.Ve<eaB.C.\[d4-VS<V2D.sina<cosb

7.已知&分别为双曲线C：蓝一A=1(心力>0)的左、右焦点，点4在C的渐近线上,

且满足AF1lAF2t=2\AF2\,则C的离心率为

A.3B.2C.彳5D.4三

JJ

8.若函数f(x)=x34-ax+力有且仅有两个零点，则a十〃的最小值为

A.-2B.-1C.1D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

设事件力二”第1次抽到代数题”，B:“第2次抽到几何题”，则

A.P(AB)=而B.P(AB)=会C.P(B⑷=力D.P(8|田=:

10.已知函数f(x)=cosx+|cos2x+|cos3x+Jcos4x,则

4J

A.2乃是/(x)的一个周期8.x=3是/(x)图象的一条对称轴

C./(》)的最大值为gD./(x)在(0T)内单调递减

11.在棱长为1的止方体ABCD—aB1C1D1中，点E在线段4当(包拈两端点)上运动，

点厂为线段&Ci的中点，则

A.存在点£使得力

B.存在点E,使得/E〃平面BD】F

C.当aE=OEBi时，经过点4,C,E的平面将正方体48。。一4/道1。1分成体积之

比为3：1的两部分

D.当△/£户的面积为冷时，三棱锥后出亚的外接球表面积为/

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.侬3一才的展开式中，常数项为

13.某人工智能博览会有4个不同的场馆4,B,C,D,甲、乙两人各自从中随机选择2个去

参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X,则X的数学期望为.

14.已知圆C:%2+y2-4y+3=0,若直线/:丘-尸3to上至少存在一点P,使得圆C上恰

有两个点与点P的距离都为2,则实数k的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ZBC中，内角4B,C所对的边分别为4b,c,且a»cosC+2csinB.

(1)求tan^的值；

(2)若Q=的面积为2,求△48C的周长.

16.(15分)

已知函数/(%)=alnx-(%—l)e2x.

(1)当斫1时，求曲线度/G)在点(1,/(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若x=a是函数/G)的极值点，证明：/(«)>0.

17.（15分）

如图1,在矩形力BCD中，AB=2,BC=1,DEL/C于E,8凡1_力C于凡将△力CQ沿

/C翻折至△/CQ',使得但万，丽)=120。,连接8。'，如图2.

(1)求三棱锥。-45C的体积；

(2)求直线月。与直线AC所成角的余弦值.

18.(17分)

已知椭圆C马一［=1(〃>8>0)的离心率为［直线x=l被椭圆。所截得的线段的长

aLtr2

为3.

(1)求。的方程：

(2)已知点B(0，V5),过点P(4,0)的直线/交。于£F两点、(E,/在X轴的下方)，直线

8户交直线产1于点M

⑺设直线"E的斜率为左1，直线板的斜率为左2,判断的+七是否为定值，并

说明理由：

(“')证明：直线A/E过定点.

19.（17分）

从1,2,3,…，〃（〃金N',〃24）中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差

数列，这样的等差数列共有4个，这4个等差数列的所有项之和为Sn.

（1）写出/4,45,S5的值；

⑵求4;

⑶求Sn.

2026年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学答案详解

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用

28铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时。，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，洛试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/{-2,-1,0,1},8={x||xT|V2},则/G配

A.{-1,01B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.（0,1}

【答案】D

【解析】B=[x\-l<x<3}MAB={04}

故选D

2.已知。复数—在复平面内对应的点在虚轴上，则片

A.-V2B.-1C.1D.V2

a—i_(o—i)(l—i)_a—1a+1.a—1

【答案】C【解析】T+7-(i+o(i-o-~22~l,~

0,。=0故选C

3.已知非零向量〃，3满足a|=33|,且(a+b)J_b,则cos(atb)=

【答案】A

【解析】(应+石)•]=(),即a-b=-\\b\2,cos^)==-1故选A

4-1Mc1m,ll+sin26

4.已知tan0=夕J，则--co-sZku=

A.2B.1

C.2D.-2

【答案】A

l+sin2J_(sinG+cosey_sind+cos6_tan®+1_3”_2

【解析】cos2Jcos2^—sin2^cos。-sin。1—tan。

故选A

5.若函数y=/(x)的图象与y=log3x+Q的图象关于直线产x对称,且/(2)=18,则a=

A.-9B.-log32C./og32D.9

【答案】B

【解析】由/(2)=18知(18,2)在y上即2=log318+a,a=-log32故选B

6.已知。>6>0,且。+6=1,则下列不等式不一定成立的是

A.y[e<eaB.C.yfa4-\/b<V2D.sina<cosb

【答案】B

21

--

【解析】令Q=g,b5b

故选B

7.已知自，&分别为双曲线C：喘一3=1(。>6>0)的左、右焦点，点力在C的渐近线上,

且满足AF1LAF2,\AFA=2\AF2\,则C的离心率为

54

A.3B.2C.fD.j

【答案】C

2

【解析】因.AFil”2，。为中点，则1。4=I。/il=c，则力(劣力，设4在第一象限，\AFX\

222222

=(a+c)+b,\AF2\=(a—c)2=b,又\AF^\=2\AF2\,即(a+c)+从=4[(a—c)4-

/?2],即—3a2+lOac—3c2—3b2=0,又c2=a2+尻即lOac—6c2=0,故e=^=|

故选C

8.若函数/(%)=x3+ax+b有且仅有两个零点，则Q+按的最小值为

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】/(x)=3x2+a,当a，0,/(x)/不符

当aVO时，令/(x)=0得x=±

不妨设/(一后)=。，即扶=-

434Q3

则a+b2=a-弥令h(a)=a--

/i(a)=1一半，令//(a)二。得a=-|

故九(a)min=九(一')=一1

故选B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。

9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

设事件力二”第1次抽到代数题”，B:“第2次抽到几何题”，则

A.PQ4B)=mB.P(AB)=C.P(B|4)=彳D.P(B⑷

【答案】AC

【解析】对于.A:P(AB)=5X4=而/对

对于B:PQB)错

OtJLU

3

对于CP(B|/)=g翳=?=；，C对

对于。：P(8M)=々^=¥=；,。错故选AC

耳

10.已知函数/(%)=cosx+gcos2%+:cos3%+；cos4x,则

A.2乃是/(x)的一个周期B.x=]是/(x)图象的一条对称轴

C./(%)的最大值为符D./G)在(0寸)内单调递减

【答案】ACD

【解析】对于A:/(%+2TT)=cos(x+2TT)+|COS(2X4-4TT)4-icos(3x+6TT)+:cos(4x+

4JT,

87i)=cosx+^cos2x+gcos3x+^cos4x=/(%),/对

对于B:f(TT—%)=cos(n—x)4-jcos(2n—2x)-jcos(3n—3x)+；cos(4n—4x)=

—cosx+；cos2x—|cos3x+；cos4xHf(x),B错

对于C：当火―2kzr时，cos"%—1取最大，fGOmax-1+g+J+；-对

对于O:./'(x)=-sinx-sin2x-sin3x-sin4x<0,xe(0,9，/(x)在(0个),0对

故选ACD

11.在棱长为1的正方体4BCD-4/CiDi中，点£在线段(包括两端点)上运动,

点户为线段81GL的中点，则

A.存在点E,使得

B.存在点E,使得4E〃平面BDF

C.当％E=V5EBI时，经过点/,C,E的平面将正方体48。。一4/的。1分成体积之

比为3：1的两部分

D.当1户的面积为李时，三棱锥F48E的外接球表面积为。

44

【解析】设4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),,41(0,0,1)

Bi(l，0，l),Ci(l，l，l),Di(0，l，l),5,E(£，0，l)"G[01]

对于/:族=Q，0，l),布=(一1，1，-1),若AE±BrDM版・市=t—1=0,即尸-1不符，

A错

对于3：易求平面BD/的法向量访=(1，2,-1),若AE||平湎BD/,则荏•访=£-1=0,即

尸1,故存在这样的点E,B对

对于C：当=乃/?/71时，t==3J,平面ACE的方程为Aytz=O与。向交于

GU,lr,1),又乙_BCE=),人-8.=:(1一产),体积比不为3：1,C错

对于Q：S△AEF=?=；靛割即；V5-8t+5£2=1,即尸0,E与4重合，则球心01为

(累)"=打表=4兀/=",0对

故选BD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2炉一盘了的展开式中，常数项为

【答案】-40

【解析】组合原理知：底22(_I)3=_40

13.某人工智能博览会有4个不同的场馆4B,C,D,甲、乙两人各自从中随机选择2个去

参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X,则X的数学期望为.

【答案】3

【解析】X的取值可能为2,3,4

C216C12

P［X=2)=C2q=76>，P(IX=3)=del=x3

C2c2.

吁)=用

121

夙X)=2XG+3X/4X13

14.已知圆C:x24-y2—4y+3=0,若直线/:Ax-y+3h0上至少存在一点P,使得圆。上恰

有两个点与点P的距离都为2,则实数k的取值范闱是.

［答案］(_2'+8)

【解析】圆C:》2+(丫-2)2=1,则。(0,2),尸1

圆。恰有两点，与P的距离为2,即以。为圆心，2为半径的圆与圆C相交.

则两圆距离1<|PC|V3

叩〃_M%o+Byo+C|_IO-2+3/cl_\3k-2\

〃2+82〃2+(_I)2J1+N

即9k2-12/c+4V9k2+9

得fc>-n

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在△XBC中，内角4B,。所对的边分别为ab,c,Ha=bcosC+2csinB.

(1)求划出的值;

⑵若。=逐,2\48。的面积为2,求△48C的周长.

【解析】解：(1)由正弦定理，得：sinA=sinBcosC+2sinC-sinB

且：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinO

所以cosB=2sin8,得tanB=1

⑵由得，sinB=±,cosB=刍

由S»ABC~^cicsinB=2,得c=4

又余弦定理h2=a24-c2-2accos8,得b=y/5

所以△ABC周长为2遥+4

16.(15分)

已知函数f(x)=alnx—(%—l)e2x.

(1)当。=1时,求曲线在点(1J(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若产a是函数/G)的极值点,证明：/(a)>0.

【解析】解：⑴当(。二1时，/(%)=Inx-(%-l)e2x

/(%)=:—(2x—l)e2x,k=/(I)=1—=0

切线上y=(1-/)(%-1),分别令：x=0fy=0

得/与坐标轴交点为(0，。2-1)和(1,0)

所以S=1|e2-1|-1=土”

(2)/(x)=^-(2x-l)e2"(z)0)

若x=a为f(x)的极值点，则.x=a/(a)=1-(2a—l)e2a=0/'(x)=--4%。2%〈()/(入)在

(0,+8)单调递减

则广。为/G)唯一解,(0,a\f(x)>0,/(x)单调递增

xE(0+8),/(x)<o,/(x)单单调递减，故X=a为/(x)极值点

所以/'(a)为/G)最大值

令g(a)=f'(a)=1-(2a-1%2。,因为g(l)=1+e2>0

故。力1,所以/(加>/(l)=0

17.（15分）

如图1,在矩形43。。中，AB=2,BC=l,DE上于E,8"_L4C于凡将△4CO沿

4C翻折至△4CQ',使得@，丽)二120。,连接5。'，如图2.

(1)求三棱锥。-。的体积；

(2)求直线3。与直线AC所成角的余弦值.

【解析】解：(1)过七作七尸〃阳交力8于REP\\FB

D'

由8/<L4C知改_L4C

且回回=120°,又D'七_L4C且D'ECEP=P

所以4C_L面D'EP,过。'作D'H^EP交PE延长线上

所以力CLD'H,又为CG石片瓦故。H1\5iABC

即D'〃为四棱锥D'—ABC的高

由题知AB=2,BE,则AC=瓜ED'=BF=奈,D'H=ED-cos60°=祟

VD-ABC=；.S=BC・D'“=rr24，S=普

(2)否方=前十市十访7=前十五十M

J

22

平方得：~Bti=萨+(看⑻+说+2丽.访=金,所以|西|二詈

丽-AC=-jCA2=-3

CO80=卜(丽砌=二需一=等

I\〃网阿喻西7

18.（17分）

已知椭圆C：4-^=1(a>h>0)的离心率为力直线x=l被椭圆C所截得的线段的长

a-b-2

为3.

(1)求C的方程：

(2)已知点B(0,⑹，过点。(4,0)的直线/交C于E,b两点(£/在x轴的下方)，直线

8/交直线x=l于点M.

⑺设直线”上的斜率为自，直线A/尸的斜率为公，判断的+心是否为定值，并

说明理由：

5)证明：直线ME过定点.

【解析】解：(1)第一步：根据离心率建立关系

椭圆C：3+£=l(Q>b>0)的离心率e=£=9Q为焦距，满足水=匕2+。2),因此c=?

atya乙/

结合/=房+四代入。=自得：

=扶+0=52

第二步：利用直线工二1截椭圆的线段长列方程

直线广1代入椭圆方程马+4=L得：

»芸=1"必=41T)

线段长为21|,由题知线段长为3,因此：

2

。b\!a—lo

a

将b=^Q代入上式，化简得：

V5-Va2-1=3=>a2—1=3=>(Z2=4

进而bz=-x4=3,c2=az—b2=1o

4

因此，椭圆c的方程为1+4=1。

43

⑵直线与椭圆的位置关系分析

设直线/的方程为广吁4(避免斜率不存在的情况)，设七崖…),尸(外,及)，

联立直线/与椭圆方程：

x=my+4

｛兰+2=1

43

代入消元得(3m2+4)y2+24my+36=0,由韦达定理得：

,24m36

力+'2=一藐不，乃丫2=藐彳

且判别式/=(24巾)2-4,(3/+4)・36=144(血2-4)>0,故m2>4o

(i)判断自+后是否为定值

直线8尸过8(0，-⑸(因应/在x轴下方，8为下顶点更合理，修正题目隐含坐标误差)

和尸(必，及)，其方程为y="2％-V3o

令产1,得M的纵坐标七=牡@一四=生造二包。

肛X?

计算的=号,心=岑，通分后利用韦达定理化简：

Xj-1匕x2-l

.,.(yi-t)(my2+3)+(y2T)(myi+3)

/Ci4-k>=-----------;---------------------------------

(7ny1+3i(7ny2+3)

_2my/2+3(月+丫2)-皿(月+丫2)-6七

(myi+3)(/ny2+3)

代入2myiy2+3(为+及)=2m.三二+3•(-若土)=0,再结合Z的表达式化简，最终

得自+七=0。

因