基础图形和三角形的性质与全等-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

基础图形和三角形的性质与全等-【考前20天】中考数学终极冲刺专题

一、选择题

1.如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中△戊的度数是（）

A.72°B.60°C.36°D.30°

2.如图，面积为S的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中BE=

2AE,则阴影部分的面积为（）

A.yB.3C.如D.扛

3.如图，在△48C中，4C=BQOE为△4BC的中位线，连接CD.若乙B=70°,则4EOC的度数为（）

A.21°B.22°C.20°D,19°

4.如县4a和3互余，则下列式子中表示za补角是（）

©180°-za；②々a+2z/?；@2za+z/?；④+90°

A.①②④B.①②③C,①③④D.②③④

5.如图，。。是正方形A8CO的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且

CF=BE,过点尸作尸G180于点G,连结力E,EG.则下列比值为定值的是（）

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6.如图，在△A8C中，Z.ACB=90°,设==且x+y是定值.点。是AC上一点，点E为48中

点,连接C4将线段C£绕点E顺时针旋转90°,得到线段E〃交A。于点G,若点A关于直线的对称点恰

为点F,则下列线段长为定值的是()

C.CGD.DE

二、填空题

7.在图中，△48C中，ZC=90°,BD是乙4BC的角平分线，点E在BD上，过点E作EFJLB。，交AB于

点.F.若BE=4,BF=5,DE=EF,则BC=

8.如图，在△ABC中，ZACB=90\分别以点A,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点

D和点E；作直线DE分别交线段AB,AC于点F,G.若CG=1,AG=3,则AF的值为

9.如图，点A在x轴的正半轴上.，点C在反比例函数y=K(x<0)的图像上，AC交y轴于点8.若8是AC的中

X

10.如图，在RtAABC中，乙4=90。，AB=6,AC=8.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半

径画弧，分别交48,AC于点M,N；②分别以M,N为圆心，大于aMN的长为半径画弧，两弧在Nb4c内交

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于点E；③作射线?IE交8c于点D；④以点A为圆心，AC长为半径画弧，交48的延长线于点H,连接。H,

则4的周氏为.

11.如图，在△力8c中，4。=90°4。:8。=3:4,40是8。边上的中线，将△480沿AO翻折至△AEO,点B

落在点E■处，连结CK,BE.记四边形AOEC面积为5i，△ABO的面积为52，贝LI：52的值是.

12.如果一个三角形的三边长。,b,c均为偶数，且满足QVb<c,则称该三角形为“幸运三角形”.当6=8

时，则“幸运三角形“有个；当匕=2/（几为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形,'有

个.（用含n的代数式表示）

三、作图题

13.如图，在△A8C中，乙C>乙B.

（I）尺规作图，作乙48c的角平分线BD与4c相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）;

⑵若⑴中乙4=64。，Z-C=80°,求乙BDC的度数.

四、解答题

14.如图，在△ABC中，AB=AC,点。是BC的中点，点E在BD上，^AD.AE.AE=BE.

（1）若乙B=40°,求乙/X4E的度数.

（2）若。4=CE,求4B的度数.

15.如图，△ABC中，的垂直平分线EF交8C于点E,交A8于点F,H为EC中点,BE=AC.

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(1)求证：AH1BC；

(2)若48二36。，求48AC的度数.

16.如图，在△力8c中，C4=C8,。是Zk/IBC内一点，连结CO,将线段CO绕点C逆时针旋转到CE,使

乙DCE=Z.ACB,连结AO,DE,BE.

(1)求证：△CADNRCBE.

(2)当乙CAB=60°时，求乙CBE与nB4D的度数和.

17.在平面直角坐标系中，直线y=-2%+4文》轴于点4交y轴于点3,点C的坐标为(1,0).

(1)求直线3c的函数表达式.

(2)点。是无轴上一动点，连接BO、CD,当△BCO的面积是△AOB面积的9时，求点。的坐标.

(3)点E坐标为(0,-2),连接CE,点P为直线AB上一点,若NCEP=45°,求点P坐标.

五、实践探究题

18.(1)用数学的眼光观察.

如图，在四边形力BCD中，AD=BC,P是对角线B。的中点，M是48的中点，N是DC的中点，求证:

乙PMN=LPNM.

AMB

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（2）用数学的思维思考.

如图，延长图中的线段A0交MN的延长线于点£,延长线段3C交MN的延长线于点尸，求证：乙AEM=

如图，在△48C中，AC<A8,点。在力C上，AD=BC,M是AB的中点，N是0C的中点，连接MN并延

长，与8C的延长线交于点G,连接GD,若乙1NM=6O。，试判断△CGO的形状，并进行证明.

19.【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板

（在△ABC中，乙48c=90。，AB=CB-,△DEF中，LDEF=90°,zEDF=30°）,并提出了相应的问题.

【发现】（1）如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点8摆放在线段OF上时：过点4作AM1

DF,垂足为点M,过点。作CNJLOG垂足为点N,

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；

•••乙ABC=90°,

:.乙ABM+乙CBN=90°,

'：AM1DF,CN1DF,

•••Z-AMB=90°,Z-CNB=90°,

乙ABM+乙BAM=90°,

乙BAM=乙CBN,

'：/.BAM=乙CBN

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/-AMB=乙CNB=90

AB=BC,

@AM=2,CN=7,则MN=；

【类比】（2）如图2,将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作

CPJ.DE,垂足为点P,猜想4E,PE,CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】（3）如图3,将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若力E=5,

BE=1,连接CE,则△〃（；£■的面积为.

七、综合题

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线A：y=2x+m与反二匕例函数、=*的图象分别交于点A（-1,

a）和点B

（1）求直线h的表达式；

（2）如图2,直线6经过点B与反比例函数y=［（x〈0）的图象交于点C,与x轴交于点D,点D将线

段BC分成CD,BD两条线段，且照=会连接AD,求448。

（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E,使/BCE是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请

求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：

如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,

・•・/ARD=18°X(5-21=108。.ZDBC=ZBAC,

5

*/Za+ZACB+ZBAC=180°,

・•.ZACB=ZBAC=180°-108°=72°,

・•・Za=180°-ZACB-ZBAC=180o-72°-72o=36°,

故答案为：C.

【分析】根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的

内角可知NABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出NACB和/BAC均为72度

(180°-108°),最终即可求得Na的具体数.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：设AE=x,由BE=2AE=2x,

VAB=BC=CD,ZAEB=90°,CG=DH,ZBCG=ZCDH.

/.△AEB=ACGD(SAS)

・•・由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S,

BCG会△CDH(SAS),.

=X2=

2

*,•阴影部分面积为=S&DGC=SMBE=-BE=x=&S

故答案为：B.

【分析】设AE=x,由BE=2AE=2x,由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S,进而即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=BC,ZB=70°

r./A=ZR=70°

.,.ZACB=180o-70ox2=40°

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VAC=BC,AD=DB

=^ACB=20°

〈DE为△ABC的中位线

・・・DE〃BC

・•・ZEDC=ZDCB=20°

故答案为：C

【分析】根据等边对等角可得NA二/B=70。，再根据三角形内角和定理可得NACB=40。，根据等腰三角形性

质可得々DCB=^ACB=20%再根据三角形中位线定理可得DE〃BC,再根据直线平行性质即可求出答案.

4.【答案】A

【解析】【解答】V(180°-za)+za=180°,

A180c-za是za的补角，故①符合题意.

VLa,乙6互余，

/.(za+2乙B)+z.a=2(za+4£)=2x90°=180°.

・••乙a+2乙/?是4a的补角，故②符合题意.

,Z-C(.fz./?71.^^>

(2za+4/?)4-za=2za+90°,

・・•无法判断za的大小，

・••无法判断2乙a+乙夕是否为乙a的补角，故③无法确定.

•乙a,乙B互^余1,

・•・⑷+90°)+za=za+Z/?4-90°=180°.

・・・4?+90。是za的补角，故④符合题意.

综上可知：①②④符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据乙a和乙夕互余可得4a+乙6=90。，再结合题意za补角=180。一乙a,即可

5.【答案】A

【解析］【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。

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•••四边形ABCD是正方形

1

Z-DBC=匕DBA=5乙ABC=45。、AB=BC

ABG=△CBG(SAS')

.'.AG=CC

vFG1BD

•••Z-FGB=90°

乙F=90°-乙DBC=45°=4DBC

•••GF=GB

•••BE=FC

GBE=△GFC(SAS)

GC=GE

:.AG=EG

•••BE=CF

•••EF=EC+CF=EC+BE=BC=AB

ABG=^EFG(SSS)

Z.AGB=乙EGF

...Z.AGE=^AGB+Z,BGE=乙EGF+乙BGE=乙BGF=90°

•••△AGE为等腰直角三角形

•••Z.GAE=45°

EG72

•••才=sinZ-GAE=sin450=

故答案为：A.

【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG,则可证△

ABG与ACBG全等,则有AG等于CG；由于FG垂直BD且NDBC等于45度，则可得△GB尸是等腰直角三角

形，则有FG等于BG,再利用己知BE等于CF,则可证△E8G与△CFG全等，则有EG等于CG,此时等量

代换得AG等于EG；由于BE等于CF,则可得EF等于BC等于AB,可证明△4BG与△EFG全等，则利用

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全等的性质可把乙4G8转化到NEGr的位置上，从而得到乙4GE等于90度，即△AGE是等腰直角三角形，则由

勾股定理或锐角二角函数如其直角边与斜边的比必然足定值.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，连接0"、CF.

•••R£△ABC中，/.ACB=90°MC=x,BC=y

AB2=AC2+CB2=x2+y2

•••E为48的中点

.'.CE=AE=BE=^AB,CE2=2

4

•••Rt△CEF中，乙CEF=90°,CE=EF

CF2=CE2+FE2=%/

•••CE=AE

Z.EAC=Z-ECA

•••4、F关于直线DE对称

...Z.EFD=Z.EAD=Z.ECA、DF=DA

乙FDC=乙FEC=90°

设04=。，则。/=a,CD=x—a

22

；.Rt八CDF中,DF2+DC2=CF2,即：a2+(x-a)2=x~ty

乙

整理得：y=x-2a,即：Q

2

x—yx+y

CD=AC-AD=x-22

・••x+y是定值,

・••co为定值.

故答案为：B.

【分析】由于轴对称图形的对应角相等，结合旋转的定义可推导出乙FDC是宜角，^ICF^Rt△FDC^Rt△

"的公共斜边,由直角二角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理可表示出的平方值，进而可表示

出C尸的平方值，此时可设出AO的长，则可分别表示出。F、CD的长，利用勾股定理可得出力。二亍，由于

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只知道x+y是定值，即％、y都是变量，所以线段40的值不固定，但由于4。+CO=4C则可继续表示出CD

的值，此时恰好得出CO的值是％+y的一半，则只有C。是定值.

7.【答案】争

【解析】【解答】解：作DH_LAB于点H,则NBHD=NC=90。，

・,BD是NABC的角平分线,

\ZHBD=ZCBD,

/BD=BD,

•・△HBD^ACBD(AAS)

.•EF_LBD于点E,

\ZBEF=90°,

.*BE=4,BF=5,

:•DE=EF=JBF2-BE2=J52-42=3

・・・BD=BE+DE=4+3=7,

BH

BE4

cos乙480D

B4=BF=5'

4=-28

:.BH=­=5、7=可,

J

28

・•・BC=BH苫

故答案为：春

【分析】作DH_LAB于点H,则NBHD=NC=90。，而NHBD:NCBD,BD=BD,可根据"AAS”证明

△HBD^ACBD,根据勾股定理求得DE=EF=3,则BD=7,由余弦的定义求出BH长，即可求出BC长解

题.

8.【答案】V6

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由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，

-'•AF=^AB,AG=BG=3.

VZACB=90°,CG=1,

.\AC=AG+CG=4,

BC=yjBG2-CG2=J32--=2V2

-'-AB=>JAC2+BC2=J42+(2V2)2=2yB

••AF—V6.

故答案为：V6.

【分析】连接BG,由线段垂直平分线的性质可得川=鼻8,AG=BG=3,由勾股定理得BC二

乙

yjBG2-CG2=2V2，AB=yjAC2+BC2=2巫,进而可得答案.

9.【答案】-10

【解析】【解答】解：作CD_Ly轴，垂足为点D

0\^工

在^AOB和^CDB中

(LBOA-=Z-BDC

l^ABO==乙CBD

1AB==BC

/.△AOB^ACDB

•"△何8=S^cDB

•"△。⑺=S△力。。=5

**•1^1=2s&ocD~10

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・・,反比例函数图象在第二象限

.*.k=-10

故答案为：-10

【分析】作CD_Ly轴，垂足为点D。根据全等三角形判定定理可得△AOB0Z\CDB,贝达”.=5式加，即

S&OCD=S^Aoc=5,再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案•

10.【答案】12

【解析】【解答】解：:在中，LA=90°,AB=6,AC=8,

；・BC=>/AC2+AB2=10，

由作图知，AH=AC,AD平分/BAC,

J.Z.BAD=Z-CADf

在△4CD和△AHD中,

AC=AH

Z-CAD=乙BAD,

AD=AD

；・△ACO三△AHD(SAS),

ACD=HD,AH=AC=8，

：.BH=AH-AB=2,

；・△BDH的周长为：BD+DH+BH=BD+CD+BH=BC+BH=12,

故答案为：12.

【分析】利用勾股定理得BC=10,然后根据角平分线尺规作图得NB/W=zG4D,从而证出A/lCDwa

AHD(SAS'),进而根据全等三角形对应边相等得得CD=HD,AH=AC=8^接下来求出8H=2,进行等量

代换即可得△BDH的周长.

11.【答案】g

【解析】【解答】解：如图，延长AD交BE于点F,

VAC：BC=3:4,

・•・设AC=3x,BC=4x,

在RlAABC中，AB=V/1C2+BC2=V(3x)2+(4x)2=5%，

•・•点D是BC的中点，

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/.BD=CD=2x,

在RtAACD中，AD=勿"+CD’=J(3x)Z+(2x)2=g*

由翻折得AE=AB=5x,DE=BD=CD=2x,

・・・AD是BE的垂直平分线，ZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

VZDBE+ZDEB+ZDEC+ZDCE=2(ZBED+ZDEC)=180°,

・•・ZBEC=ZBED+ZCED=90°,

/.△BCE是直角三角形，

设DF=y,贝I」AF=AD+DF=V13x+y,

由勾股定理得AF2=AE2-EF2,EF2=DE2-DF2,

・・・AF2:AE2-DE2+DF2,即(g%+y)2=(5x)2-(2x)2+y2,

解得丫=第》，即DF=甯"

JLJJLJ

VZAFB=ZCEB=90°,

；・DF〃CE,

・•・△BDF^ABCE,

，・，CE_=^8/313~x

-BE=yjBC2-CE2=(4x)2_伴枭)=耳要工,

•*SAABC=ixACxBC=^,3%,4x=6x2»SABCE=iCE-BE=4,8；；3%.x=»

•・•点D是BC的中点,

••SAACD=SAABD=^S=3,，SACED—S^[JCE=

.*.SI=SAACD+SACDE=3X2+普/=y|x2>S2=SAABD=3X2,

吟=甥唱

故答案为：患.

【分析】延长AD交BE于F,设AC=3x,BC=4x,由勾股定理得AB=5x,AD=V13x；由翻折得

AE=AB=5x,DE=BD=CD=2x,根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一

条直线''得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出^BCE是直角三角形，设

DF=y,贝ijAF=AD十十y,由勾股定理可得AF^AEKDEZ+DF?,据此建立方程求出y=与产力即

JLO

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DF=第％,由同位角相等两宜线平行，得DF〃CE,由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形

与原三角形相似得△BDFs^BCE,由相似三角形对应边成比例建立方程可得=艰据勾股定理表

JLO

示出BE,然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得

出aACD、AABD、ZkCED的面积，进而根据S尸SAACD+S^CDE算出Si,最后再求出两个面积之比即可.

（九一九一

12【答案】3；1?2）

【解析】【解答］解:当b=8时，

「Q,仇c均为偶数，

••・当Q=2时，有8vc<2+8=10,

Ac=8,

•・•不满足bvc,故不满足题意，舍去；

当。=4时，有8Vc<4+8=12,

Ac=10,故满足题意；

当Q=6时，有8<cV6+8=14,

・・・。=10或。=12,故满足题意；

综上所述，当b=8时，"幸运三角形”有3个；

当b二2"（几为不小于2的正整数）时，

•・・a,b,c均为偶数,

・••当a=2时，有2n<c<2+2n,

**.c无解；

当a=4时，有2n<c<4+2n,

/.c=2n+2,故满足题意，有1个；

当Q=6时，有2nVc<6+2九，

・・・。=2?1+2或。=2?1+4,故满足题意，有2个；

当a=2九一2时，2nVcV2n-2+2n=4九一2,

•**c=2n+2,c=2几+4,…，c=4n—4,故满足题意，有(n—2)个;

综上所述，满足条件的“幸运三角形”的个数为1+2+3+…+（九一2）=空芈辿个，

故答案为：3,ST针一0.

【分析】当8=8时，根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边“，来确定

满足条件c的值，从而确定满足条件的“幸运三角形”的个数；同理当b=2n（几为不小于2的正整数）时,

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利用三角形三边关系来确定满足条件C的值，找出对应的满足条件的“幸运三角形”的个数的规律，最后求和

即可.

13.【答案】（1）解：如图即为所求作；

（2）解：•••LA=64°,乙C=80°,

•••乙ABC=180°一44一乙。=36°,

•••80平分乙48C,

Z-ABD=^ABC=18%

Z.BDC=^A+/.ABD=64°+18°=82°.

【解析】【分析】

（1）利用基本作图并结合题意画出N4BC的平分线即可：

（2）由三角形的内角和等于180。求出/ABC的度数，根据角平分线的定义得/ABD^NABC,然后根据三

角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和'’即可求解.

（1）解：如图即为所求作；

(2)解：•••=64°,Z.C=80°,

•••LABC=180°--ZC=36°,

•••80平分乙48C,

•••4ABD=3乙ABC=18。，

:.Z-BDC=乙4十Z-ABD=64°+18°=82°.

14.【答案】(1)解：由条件可知NC=NB=40。,

・•・ZBAC=180°-40°-40°=100°,

•・,点D是BC的中点，

1

••/.BAD=50%

VAE=BE,

.\ZBAE=ZB=40°,

第16页

••・ZDAE=ZBAD-ZBAE=10°

(2)解：由条件可知NCAE=NCEA,

根据解析(1)可知：ZB=ZBAE,ZB=ZC,

・•・ZCAE=ZCEA=ZB+ZBAE=2ZB,

AZBAC+ZB+ZC

=ZBAE+ZCAE+ZB+ZC

=5ZB.

ZBAC+ZB+ZC=180°,

A5ZB=180o,

解得:ZB=36°.

【解析】【分析】⑴根据等腰三角形的性质得出NC=NB=40。，根据三线合一求出4849=/847=50。，根

据AE二BE,求出NBAE=NB=40。，即可得出答案；

(2)根据CA=CE,得出NCAE=NCEA,根据解析(1)可知：ZB=ZBAE,ZB=ZC,根据三角形内角和得出

5ZB=180°,即可求出结果.

15.【答案】(1)证明：如图，连接4E,

•「AB的垂直平分线ET交BC于点E,

：.AE=BE

'：BE=AC

：.AE=AC,

TH为EC中点，

：.AH1BC；

(2)解：'：AE=BE,Z,B=36°

J./-EAB==36°

：.^AEC=^LEAB+48=72°

a：AE=AC

：.Z.C=4AEC=72°

：.Z-BAC=180°一乙C一=72°.

【解析】【分析】(I)由线段垂直平分线的性质得到AE=8E,冉根拈等腰三角形三线合一的性质即可完成证

明；

第17页

(2)结合(1)的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.

1G.【答案】(1)解：VZDCE=ZACD,

・•・ZDCE-ZDCB=ZACB-ZDCB,

AZACD=ZBCE,

在△ACD与aBCE中，

CA=CB

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

/.△ACD^ABCE(SAS).

(2)解：VZCBA=60°,CA=CB,

/.△CAB是等边三角形，

AZCAB=60o,

VAACD^ABCE,

:.ZCAD=ZCBE,

/.ZCBE+ZBAD=ZCAD+ZBAD=ZCAB=60°.

【解析】【分析】(1)先利用等式性质证得NACD=NBCE,再利用SAS证明△CAD=△CBE；

(2)先证明△CAB是等边三角形，求得NCAB=60。，再根据全等三角形的性质证得NCAD=NCBE,然后

利用两角之和求得NCBE+NBAD.

17.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,当y=0时，-2x+4=0,解得x=2,

・••点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则｛**解得臃＞

；・直线BC的解析式为：y=—4x+4

(2)解：•・•点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),

r.OA=2,OB=4,

=2OAxOB=2x2x4=4，

133

-coX4=--X4=

:,S&BCD=XOB=2226»

解得：CD=3,

・••点D的坐标为：(4,0)或(-2,0)

(3)解：过点C作CF_LCE交EP于点F,过F作FGJ_x轴于点G,

贝jiZEOC=ZECF=ZCGF=90°,

・•・ZCEO+ZOCE=ZGCF+ZOCE=90°,

第18页

/.ZCEO=ZGCF,

又「ZCEP=45°,

.\CE=CF,

.*.△COE^AFGC,

.\FG=OC=1,CG=OE=2,

.*.OG=OC+CG=3,

・••点F的坐标为（3,-1）,

根据（1）得到直线EF的解析式为y=1x-2,

解方程电二上二喉器

如图，过点C作CF_LCE交EP于点F,过F作FG_Lx轴于点G,

同理可得点F的坐标为（-1,1）,

根据（1）得到直线EF的解析式为y=-3%-2,

f_18

解方程组｛；=-3X-2,Ix~~

=-2x+4f'h|8,

（y=-7

・・・点P的坐标为（竽,一务,

・••点P的坐标为：（-6,16）或（竽，-务

【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）先求出4OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；

（3）分为两种情况，过点C作CF_LCE交EP于点F,过F作FG_Lx轴于点G,证明△COEZ/\FGC,求出

点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.

第19页

18.【答案】（1）证明：・•・「是BD的中点，M是A8的中点,

同理，PN=%（：.

vAD=BC,

PM=PN.

：•乙PMN=乙PNM.

N是CD的中点,

二乙PNM=乙F.

VP是BD的中点，M是AB的中点,

APM//AD,

乙PMN=/.AEM.

由（1）可知4PMN=乙PNM,

•••Z-AEM=Z.F.

（3）ACGD是直角三角形，证明如下:

如图，取BD的中点P,连接PM,PN,

M是4B的中点,

1

PM||AD,PM=^AD.

第20页

同理，PN||BC,PN=^BC.

-AD=BC,

PM=PN.

乙PMN=乙PNM.

•・•PM||AD,

:.乙PMN=乙ANM=60°,

乙PNM=乙PMN=60°.

•••PN||BC,

...乙CGN=乙PNM=60°.

又•••乙CNG=乙ANM=60°,

.•.△CGN是等边三角形，

CN=GN.

又•：CN=DN,

DN=GN.

乙NDG=乙NGD=30°,

...乙CGD=乙CGN+乙NGD=60°+30°=90°.

••.△CGD是直角三角形.

【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线等于第三边的一半得PM=鼻。，PN二BC,结合AD二BC可得

PM=PN,利用等边对等角即可得到乙PMN=乙PNM、

(2)根据三角形的中位线平行第三边得PN〃BC,PM〃AD,由二直线平行，同位角相等得/PNM=4F,由

二直线平行，内错角相等得乙=通过第(1)问的结果进行等量代换即可证明乙4EM二乙?；

(3)取BD的中点P,连接PM,PN,根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM〃AD,

PN〃BC,PM=^AD,PN=抑,结合已知推出PM=PN,由等边对等角得/PMN二NPNM,然后根据二直

线平行，内错角相等(同位角相等)，再结合对顶角相等及等量代换可得"NM=乙PMN=乙1NM=乙CGN=

△GNC=60。，由有两个内角为60。的三角形是等边三角形得^CGN是等边三角形，得CN=GN=DN,由等边

对等角及三角形外角性质可求出乙NGO=30。，从而求出乙OGC度数，即可求证△CGD的形状.

19.【答案】(1)①△A8M三△BCN(44S)

②9

(2)结论：PE=PC-AE.理由如下：

•••乙ABC=90°,

Z-ABE4-乙CBE=90°,

第21页

•••CP1BE,

乙CPB=90°,

:.乙BCP+乙CBP=90°

Z.ABE=乙BCP,

•:Z.AEB=90°>

乙4E5=乙CPB=90°,

'：AB=BC,

ABE=△BCP,

AE=BP,BE=CP

vBE=BP+PE,

PE=BE-BP=PC-AE；

(3)10

【解析】【解答］解：(1)①・.•乙4比=90。,

乙ABM+乙CBN=90°,

'：AM1DF,CN1DF,

:.Z-AMB=90°,乙CNB=90°,

:.乙ABM+/-BAM=90°,

Z-BAM=乙CBN,

■:乙BAM=^CBN,乙AMB=^CNB=90",AB=BC,

・•・△ABM三△8CN(44S)：

故答案为：△ABM£△BCN(AAS)

②由①知△ABMBCN{AAS),

.--AM=BN,BM=CN,

'：AM=2,CN=7,

：・MN=MB+BN=CN+AM=9：

故答案为：9；

(3)延长FE,过点C作CPJ.FE于P,如图所示:

乙ABE+乙EBC=90°,/.ABE+/-BAE=90°,

第22页

:*乙EBC=Z.BAE,

V^AEB=乙CPB=90°,AB=DC,

△ABE=△BCPt

:.PC=BE=1,PB=AE=5,

PE=PB-BE=5-1=4,

延长力E,过点C作CF1AE于F,如图所示:

-AF1PE,CP1PE,

AF||CP,

-AF1PE,CFLAF^

PE||CF,

由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4,

S^ACE=4xAExCF=*x5x4=10.

故答案为：10.

【分析】(1)①根据三角形内角和定理可得44BM+々CBN=90。，再根据角之间的关系可得=

乙CBN、再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

②根据全等三角形性质可得AM=BN,BM=CN,再根据边之间的关系即可求出答案.

(2)根据三角形内角和定理可得"8E+48E=90。，根据角之间的关系可得乙48E=/8CP,由全等三角

形判定定理可得△48E三△BCP,则4E=BP,BE=CP,再根据边之间的关系即可求出答案.

(3)延长尸E,过点C作CPJLFE于P,根据角之间的关系可得4=力E,再根据全等三用形判定定理可

得AABENABCP,则PC=BE=1,PB=AE=5,由边之间的关系可得PE=4,延长4E,过点。作CFJ.

4E于F,根据直线平行性质可得AF〃CP,PE〃CF,则CT=PE=4,再根据三角