北师大九年级数学下册-三角函数的应用 同步练习

第一章宜角三角形的边角关系

第五节三角函数的应用

基础过关全练

知识点1方向角的定义及应用

1.（2022吉林长春朝阳期末）如图，一艘轮船由西向东航行到。处时，发现力岛在北偏东64。

的方向且与轮船相距52海里，在力岛周围20海里水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航

行，为了保证航行安全，需要计算Z到。4的距离，即ZC的长，则下列算法正确的足（）

北t

----------A

空

°CB东

52

A/C=52cos64。海里B/C-海里C.JC=52sin64。海里D/C=52tan64。海里

cos64°

2.（2022湖南岳阳中考）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场

点P处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道48为东西方向，赛道起点/位于点。的北偏

西30。方向上，终点B位于点P的北偏东60。方向上，43=200米，则点。到赛道48的距离

约为米.（结果保留整数，参考数据：存1.732）

3.（2022湖南怀化中考）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为

800米的圆形纪念园.如图，纪念园中心点力位于C村西南方向和8村南偏东60。方向上C村

在8村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连

接两村.问该公路是否穿过纪念园?试通过计算加以说明.（参考数据：序L73,后1.41）

知识点2三角函数的应用

第1页共11页

4.（2021山东德州中考）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37。减至30。，已知原

343、

楼梯的长为5米，调整后的楼梯会加长（参考数据：sin37。/，cos37°^r,tan37°^）

，

（）

A.6米B.3米C.2米D.1米

5.（2022四川眉山中考）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD如图，在楼

前平地4处测得楼顶。处的仰角为30。，沿力。方向前进60m到达8处，测得楼顶。处的

仰角为45。，求此建筑物的高.（结果保留整数.参考数据：V2-1.41,代1.73）

C

I)84

6.（2022湖南株洲中考）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点力处沿线段力。至

山谷点。处，再从点。处沿线段C8至山坡②的山顶点8处如图2所示，将直线/视为水平

面，山坡①的坡角N4CM=30。，其高度4W为0.6千米，山坡②的坡度i=l：1,BNJ_/于N,

且。%=近千米.

⑴求N4C8的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

能力提升全练

第2页共11页

7（2021河北邯郸二模）加图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线,4从NC与

地面MN的夹角分别为8。和10。，该大灯照亮地面的宽度8C的长为3.5米，则该大灯距地

4I95

)()

面的高度约为(参考数据：sin8°~^,tan8°-r/,sin10°^3rU,tan10°=Z^o

A.3.5米D.5.5米

8.（2022江西中考）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知48

//CD//FG,4,D,H,G四点在同一直线上，测得N4=72.9。，4D=1.6m,

EF=6.2n\.

⑴求证：四边形QEFG为平行四边形：

⑵求雕塑的高（即点G到"的距离）.

（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin72.9^0.96,

9.（2022重庆中考B卷）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处

的快艇和湖岸％处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该

游客，再沿C4方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在力的北偏东

30。方向上，8在4的北偏东60。方向上，且在C的正南方向900米处.

（1）求湖岸4与码头C的距离（结果精确到1米,参考数据：31.732）；

⑵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否

在5分钟内将该游客送上救援船?请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）

第3页共11页

10.（2022湖南娄底中考）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器（如图1）锻

炼手部肌肉.如图2,握力器弹簧的一端固定在点，处，在无外力作用下，弹簧的长度为3

cm,即P0=3cm.开始训练时，将弹簧的端点0调在点8处，此时弹簧的长cm,弹力

大小是100N,经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将

弹簧端点。调到C处，使弹力大小变为300N,已知NP8C=120。，求8c的长.

注：弹簧的弹力与形变成正比，即后〃•以,左是劲度系数，心是弹簧的形变量，在无外力

作用下，弹簧的长度为xo,在外力作用下，弹簧的长度为x,则Acm

图1图2

11.（2022安徽中考）如图，为了测量河对岸4,8两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选

定观测点C,测得4,8均在C的北偏东37。方向上，沿正东方向行走90米至观测点。，测

得力在。的正北方向，8在。的北偏西53。方向上.求48两点间的距离.（参考数据：sin

37^0.60,cos37^0.80,tan37^0.75）

第4页共11页

素养探究全练

12.如图为某扬声器的示意图其周围均匀分布着8个螺丝孔，其中上下相对的两孔中心的距

离为20cm,求任意相邻两孔中心的距离.（结果用根式表示）

13.（2021江苏徐州中考）如图，斜坡48的坡角N8/O13。，计划在该坡面上安装两排平行的

光伏板.前排光伏板的一端位于点儿过其另一端。安装支架。E，所在的直线垂直于水

平线4C,垂足为点尸，E为。尸与*6的交点.己知4D-100cm,前排光伏板的坡角/

DAC=28°.

⑴求/E的长（结果取整数）；

⑵冬至日正午，经过点O的太阳光线与力。所成的角/。G4=32。，后排光伏板的前端，在

46上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则E”的最小值为多少（结果取

整数）？

参考数据：V2-1.41,V3-1.73,日2.45.

锐角a

13°28°32°

三角

sina0.220.470.53

cosa0.970.880.85

tana0.230.530.62

第5页共11页

第6页共11页

第一章百角三角形的边角关系

第五节三角函数的应用

答案全解全析

基础过关全练

1.A由题意可得NC40=64。，VcosZCAO=--

OAf

AC

Acos64°=T7，

AJC=52cos64。海里.

2.87

解析如图，过点P作PC_L48,垂足为C,设米，

在RtZUPC中，ZJPC=30°,・・・/。=0。tan300T:米，在中,

NCPB=60。,：.BC=CPtan60°=V3x（*）,・・・/5=200米,

A—x4-V3A:=200,/.X=50V3~87,・・.PC=87米,

3

，点。到赛道力8的距离约为87米，故答案为87.

3.解析如图，过4点作于点。

由题意知N力4c=90。-60。=30。，ZACD=45%：.BD=\^AD.CD=AD,'：BC=2Akm=2400m,

：.y/3AD+AD=2400,解得49=1200（6/户876m>800m,故该公路不穿过纪念园.

4.D在R33N。中，/B=5米，/BAD=37。,贝I」8。=力BsinNB/65x1=3（米），在RtZkBCD

中，NO30。，・•・80=280=6（米），则调整后的楼梯会加长6-5=1（米），故选D.

5.解析在RtABCQ中，NCBD=45。,设。。为xm,

第7页共11页

则BD=CD=xm,

：.AD=BD+AB=（60+x）m,在RtA^CZ）中，

CDXGr—

tanZC4O=tan30。=寿=而二=—,解得x=30v3+30^82.

答：此建筑物的高约为82m.

6.解析⑴•・•山坡②的坡度，=1：1,・・・CN=3N,

；・/BCN=45。,：.ZACB=180°-30°-45°=105°

⑵在RtZUCM中，N4WC=90。，N4cM=30。，4W=0.6千米，

・・・4C=2/M=1.2千米，在Rt2\8CN中，/BNC=9。。,NBC245。，CN=/I千米,

CN

则千米）,・•・该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2（千米）.

答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.

能力提升全练

7.B过点4作4O_LMN于点。，如图所示:

,AD

在RtA/iM中，tan/4BD=^,

AD

,qAD

在中，tan/ZCOw

AD28

28

■:BD・CD=BC,：.7AD-AD=3.5,

解得力。=2.5米，即该大灯距地面的高度约为2.5米,

故选B.

8.解析（1）证明：•:AB〃CD,:•/CDG=NA,，；NFEC=NA,:・NFEC=NCDG,

：.EF//DG,,:FG〃CD,，四边形OEFG为平行四边形.

（2）如图，过点G作于P,

第8页共11页

•・•四边形OKR7为平行四边形，:.DG=EF=62m,

•・♦4/>1.6m,AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8m,

RtA/PG中，sin：.PG=AGs\x\J-7.8x0.96=7.488^7.5m.

AG

答：雕塑的高约为7.5m.

9.解析（1）如图，过点力作4QJ_CB,交CB的延长线于点。，

根据题意可知/M4C=/C=30。，ZC^/?=6O°-3O°=3O°,:・/C=/R4C,,二力。=AC=900米，易

知/8/。=30。，・・・8。=450米，・・・力。=6BD=450遥米，.・.4。=24。=900/工1559(米).

答：湖岸4与码头。的距离约为1559米.

⑵设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，,・♦救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均

速度为400米/分，/.150x+(400.r-900)=l559,/.^4.5<5,

，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.

10.解析由题意可得，丽=3cm,100-A(4-3),解得仁100,AF=100AA,当尸二300时，

300=100x(PC-3),解得尸C=6cm,由题图可得，NP4B=90。，

1

NPBC=120。,工/力尸8=30。，：.AB=PBs\nZAPB=4xsin30°=4x^=

2cm,PA=PB-cosZAPB=4x—=2y/3cm,,:PC=6cm,

2

/.JC=VPC2-PA2=2V6(cm),ABC=AC-J^=(2V6-2)cm,

即BC的长是(2遍-2)cin.

9

11.解析：CE//ADf：・NA=NECA=37。,:・/CBD=NA+NADB

=37°+53°=90°,:./ABD=9Y,在RS5CQ中，Z5DC=90°-53o=37°,CD=90米，cosZ

8DC喘，・・.8Z>CZ>cos37390x0.80=72(米)，在RtA/18。中，/A=37。,80=72米，tanA=

答：A,8两点间的距离约为96米.

第9页共11页

素养探究全练

12.解析如图，设扬声器的中心点为O,最上方的螺丝孔的中心点为儿其左侧相邻的螺丝

孔的中心点为C,连接OC,AC,过点4作4Q_L0C于点D

V*

於；

、、9■

、、fr

、:

0

根据题意可知0004=10cm,

V8个螺丝孔均匀分布，・・・//。。=360。+8=45。，

在RtA//。。中，AD=DO=AO-sinZAOC=\Oxsin450=10'咚=5ecm.

：.CD=0C-0D=（\0-5g）cm,

：.AC=y/CD24-AD2

=，（10—5身2+（5近）2

=V100-100V2+50+50

=<200-100V2

=1072-72cm,即任意相邻两孔中心的距离为1072-V2cm.

AF

13.解析（1）在RtAAD