2026年高考数学考前预测卷（全国二卷03）全解全析

2026年高考数学考前预测卷03(全国二卷)

全解全析

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填怎在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知M={x|4——4x—15>0},y={-2,-1,0,1,23},则(C")cN=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】A

【解析】解不等式4/_4X—15>0,得x<-|或

即集合一则3%=K，

k2)7)L22一

则(。〃)小"={-1,0』,2}.

2.已知向量。=(一2,4)方=(2/),若£/区，贝*一在卜()

A.4逐B.46C.3指D.2币

【答案】A

【解析】由向吊4=(-2,4),5=(2,x),因为£/区，可得一2xx=4x2,解得工=-4,

所以3=(2,-4),则15=(-4,8),所以归_+)(-4)2+82=4石.

3.已知。>0,b>0,则是21na>[lnZ>的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

1/14

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】取白二十，b=e",贝ij”6,但1no=-l,ln/?=-2,

止匕时21na=-2,-lnb=-l,21n«<-ln/）,

22

所以。>b不是21偌>受隔的充分条件，

取。=。2,b=e,则21na=21nc2=4,；lnb=gin/=,,

故21nQ>』ln/）,但。<6,

2

所以a>人不是21na>!\nb的必要条件，

2

所以a〉b是2\na>gl时的既不充分也不必要条件

4.已如双曲线■三l（a>0,6>0）的渐近线方程为y=且实轴长为2,则焦距

为（）

A.V3B.2C.2石D.4

【答案】D

【解析】由题意可知2a=2,得a=l,

因双曲线C:£—匕=1（。>02>0）的渐近线方程为），=±2工，

a~b-a

即2=6,代入。=1得b=J5，

a

所以°2=02+/=1+3=4（C为半焦距），即。=2,

故焦距为2c=4.

5.已知球的半径为2底m,•个平面截球所得截面圆的半径为JBcm，则截面圆的圆心与

球心之间的距离为（）cm.

A.y/lB.2百C.—D.百

2

【答案】A

【解析】解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为4

则由已知d=#国一（呵2=J7.

故选：A

2/14

6.设数列｛可｝满足q+今+*+…+5父=2〃+1,则｛勺｝的前2026项和为()

JJJ

A.32026-1B.32026C.32027-1D.3?027

【答案】B

【解析】当〃=1时，6=3；

当“22时，卬+*+墨+…+券=2〃+1；%+*+?+…+畀=2〃-1,

所以券=2,即%=23马，〃之2

当〃=1时，a.=2-3i不满足；

3,〃=1

所以％一‘2.3””,〃22

所以｛4｝的前〃项和为S.=,收《=3"十一：)=3i(3M

3)=3".

i=21—3

所以S^6=32026

7.设。和7表示坐标平面内的几何变换，。表示将几何对象绕原点。逆时针旋转工，丁表

示将几何对象关于y轴对称，〃N)表示连续k次e7变换.已知角。的终边经过点

(-2,1),若对角。的终边先进行「变换，再进行/变换，得到角尸的终边，则tan/=()

A.-3B.—C.-D.3

33

【答案】D

【解析】对角。的终边先进行下变换后，角"的终边”过(2,1),则tana'=；.

再进行『变换得到角夕的终边，则£=a'+3x3=a"J.

124

/\tana*+tan——+1

所以tan/?=tana'+—=----------=——=3.

I4；,n,1,

'/1-tanatan—1—x1

42

8.已知函数/(x)=sinomn/Ma>°，力>0),若/(同之。恒成立，贝Ulog^的最大值为

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

3/14

【解析】因为函数/(x)”恒成立，所以siMA•与tan以同号或为0,

则sinor与tan加周期相同，即」=?,可得〃=26>0,

ab

a2b_2

则1+a厂1+2〃-J”,

b

所以：+2b>2ylp1=2板,贝，

h

当且仅当]=2b,即6=，时，等号成立，

所以log正丁\$log&4=T•

V2\+ab虫2

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得()分.

9.已知复数马/2在复平面内对应的点分别为(3,a)和(-2,2),则()

A.4=3-0B.Z+z?的虚部为1

C.存在。，使得归|<"|D.ZR2在复平面内对应的点不可能在第四象限

【答案】AD

【解析】由题设aeR.

对于A,显然Z|=3+ai,于是4=3-ai,故A正确：

对于B*2=-2+2i,Z]+Z?=l+(〃+2)i,其虚部为a+2,故B错误；

222

对于C,|z,|=y]9+a>3,|Z2|=^(-2)+2=2>/2<3<|z,|,故C错误；

对J'-D,ztz2=(3+ai)(-2+2i)=-6-2ai+6i-2a=-(6+2a)+(6-2a)i,

(6+2a<0

若其在复平面内对应的点在第四象限，则(、c，不等式组无解，故D正确.

[6-2a<0

10.(2026•广东梅州一模)关于函数/*)=sinx・sin3x,以下结论正确的有()

A.的图象是轴对称图形B.〃幻的最大值为I

C./(x)是以兀为一个周期的周期函数D./")在[0,汨上有4个零点

【答案】ACD

4/14

【解析】对于A,函数〃x)=sinx-sin3x的定义域为R,且

f(-x)=sin(-x)-sin3(—x)=(-sinx)•(-sin3x)=sinxsin3x=/(x),

即/(X)为偶函数，/(x)的图象是轴对称图形，A正确;

对「B,f(x)=siarsin3.x=--[cos(4x)-cos(2x)]-cos2x--cos4x

22

22

=1COS2X-1(2COS2X-1)=-COS2X+1COS2X4,

1_9

☆%=cos2x/e[-1,1],则^=一/+；/+；=+一,

416

\11oo

当匕时，尸-入/5取最大值7即/⑴的最大值为正.B错误;

XjfC,/(x+7t)=sin(x+7r)-sin3(x+7t)=(-sinx)(-sin3x)=sinxsin3x=/(x),

即/(x)是以兀为一个周期的周期函数，C正确;

对于D,令/(x)=0,[ipsinx-sin3x=0,故sinx=()或sin3x=0,

当sinx=O时,在［0,九］上有x=0,兀满足题意;

当sin3x=0时，在［0,兀］上有x=01,手兀满足题意;

JJ

故/⑴在［0,兀］上有吟牛兀共4个零点，Dim

11.(2026•湖南邵阳•二模)在△力8。中，角力，B,C所对的边分别为〃，b,c,且

cosCsinC=半，则下列选项正确的是()

-----------FsinJsinC=-^,

cosBsinBb2b'

A.

若。是边力C的中点，则线段4。的长的最小值为速

B.

3

3

C.cos/+cosA+cosC的最大值为弓

D.若点。是△/)«门的外心,且反)=/瓦i+M/,c=2,则兑=?

6

【答案】ACD

_,E、』cosCsinC2acosCsin+sinCcosB2sin/

【解析】A：因为--+^—=—,则，可得

cosBsinBbcos8sinBsinB

sin(8+C)sinA2sinJ

cosBsinBcosBsinBsinB

因为4Be(0,兀)，则sin/>0.sinB>0,可得cosB=：,所以8=故A正确;

L5

5/14

c--r•力…eabc3,^sinB._csinB

B：由正弦定理=得sin/f=-■—,sinC=——,

sinJsin6sinebb

则sin/sinC="‘si?=解得。，=6,

b24/2b2

因为。是边4c的中点，则丽=；（瓦3+而），且瓦3•前=accos5=；ac,

可得|而|2=（胡丁匕片+；+%子］,当且仅当L指时取等号，

所以|而|2孚，故B错误；

C：因为cosA+cosB+cosC=cosA+--cos（/f+^）=cosJ--cosA+—sinJ+—

2''222

=—sinJ+—cosJ+—=s'nf^+7>l+7-T»当且仅当4+5=5，即4=3时，等号成立,

222k6722623

所以cosA+cosB+cosC的最大值为T,故C正确：

D：因为ac=6,c=2,则。=3,即|说|=2,|而|=3，而.元=3，

BOBA=ABA2+^BCBA

因为旃=之瓦3+〃比，贝!，

JOBC=ABABC+^^Ci，

2=42+3/7九」

6

9解得故D正确.

-=3A+9p4

u=—

9

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

22

12.（25・26高三下•山西太原•开学考试）若椭圆U三+匕=1（〃?>0）上一点到。的两个焦

m9

点的距离之和为2〃?，则加=.

【答案】3

［解析］若m>9,又椭圆。上一点到C的两个焦点的距离之和为2〃?，则2而=2）?得s=1

（舍去）；

若0<〃?<9,又椭圆C上一点到。的两个焦点的距离之和为2旭,则2”?=6得m=3.

故答案为：3.

13.已知随机变量X〜川（2”），且P（X>2〃-5）=P（X<6-〃），若+（a,b

为有理数），则〃+力=.

【答案】2

6/14

【解析】由正态分布的对称性知包一5；6一"=2,则〃=3,所以(1-&了=。+®,

由(1-收)的展开式通项为*=qI3-(_V2)r=(-1yq22,r=0,1,2,3»

由题设0=(-1)°《2。+(-l『C；2i=7,42b=(-1)'C；-V2+(-l)3Cj-272=-5V2,

所以a=7/=-5=a+8=2.

14.在空间直角坐标系力-9中，点A/(X”M，ZJ,必，丫2)，定义

d(M,N)=|x2-xj+|必-凹|+目-4|.如图，正方体的棱长为5,DE=^DC,平面川z内两

个动点尸，G分别满足4(G,/l)=l,4APB=4DPE,则IPG|的取值范围为.

【答案】[2,16]

【解析】设G(0,mz3P(0,必,々)，•“(&，)=1,

乂|+|zj=l，G点的轨迹为|y|+|z|=l.

又NAPB=NDPE,

ABAP3

即(必一5『+z；=6(y；+z；),

化简得尸点的轨迹为(y-9)2+z2=36.

在平面直角坐标系"z中作出G,P轨迹，设G点轨迹与V轴两个交点分别为M,N,

。点轨迹为圆，圆心为尸(9,0),半径/・=6,且与y轴两个交点分别为”,r,如下图所示,

结合图象得：\NH\<\PG\<\MT\f

X|^7/|=|^F|-r=8-6=2,|^|=|MF|+r=10+6=16,

所以25尸GR16.

7/14

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

某市高三学生学习强度指数。的概率分布情况如下表所示.

学习强度指数。0<2020<。<802>80

概率0.20.50.3

应对情况轻松应对勉强应对困难应对

(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数。<80的人数为X,求P(X=1)及X的

数学期望.

(2)定义浅寄为在事件”发生的条件下事件N发生的优势.记事件”二“该学生学习有

压力”(勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力)，事

件B="该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势.

【答案】⑴P(X=l)=0.189,X的数学期望为2.1；(2)|；

【解析】(I)解：由表可知，学习强度指数。<80的概率为：

P(Q<80)=P(Q<20)+尸(20<0<80)=0.2+0.5=0.7,

从该市随机选取3名学生，记学习强度指数。<80的人数为X,则X服从二项分布8(307)

所以尸(X=l)=C；X0.7X1-07)2=3x0.7x0.09=0.189；

X的数学期望为："X)=3x0.7=2.1：

(2)解：由题意可知，事件4为“该学生学习有压力”，事件8为“该学生困难应对

P(A)=P(20<0<80)+尸(0>80)=0.5+0.3=0.8,P(B)=P(Q>80)=0.3,

因为事件B包含于事件4中，所以尸(48)=P(8)=0.3,

8/14

在事件A发生的条件下事件B发生的概率为：尸9⑷=婴空==

r\AIU.oo

在事件A发生的条件下事件B发生的概率为：P(B\A)=\-0(即)=1>

oo

3

所以在事件力发生的条件下事件8发生的优势为：=|=

8

16.(15分)

如图，在多面体/lACQEb中，平面Z8CQ_L平面四边形力BCD是直角梯形,

ABLAD.CD1ADtAD=CD=AF=DE=EF=2tAB=3,且厂.

(1)证明：AF1^-WiABCD.

(2)求多面体48CQE/的体积.

(3)求平面8c/与平面CDE夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)；；(3)近

314

【解析】(1)证明：T:nuABCD±r®ADEF,ABLAD,

且平面ABCDc平面ADEF=AD,u平面ABCD,

所以48_1_平面加况7L/^u平面力。防，

所以又BC工AF,4BcBC=B,48,8。u平面45C。，

所以4厂_1平面48CO；

(2)由题意可知CZ>〃/16,所以由Z8_L平面月。石产得C0J•平面NO匹尸，

因为/尸_1平面力8C。，4Ou平面48CO,所以力b_L4。，

所以由力。=CO=力/=QE=E/=2可知四边形ADEF是边长为2的正方形,

।])8

V=

所以C-ADEF§S正方彩ADEF,CD=-x2-x2=y,

1j(1A

又AB=3,所以匕fsc=』S/8C*E=』X-X3X2X2=2,

JI//

9/14

814

所以多面体ABCDEF的体积为§+2=§

(3)由Z/L平面/出。。和AB14。可建立如图所示的空间直角坐标系力-平，

则^(0,0,0),D(0,2,0),B(3,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),

所以布=(0,2,0),册=(-1,2,0),而=(-3,0,2),

因为片。JLDE,CD±AD,DEr^CD=D,。及C7)u平面CZ)E,

所以力。_L平面CDE,所以而=(0,2,0)是平面CDE的一个法向量，

设平面BCF的一个法向量为fn=(xj,z),则〈—，

BF1m

BCm=—x+2y=0.、

所以〈一，取x=2,则玩=2,1,3,

BFm=-3x+2z=0

14

17.(15分)

已知函数/'(x)=〃(x+l)2+x+lnx,(oeR).

(I)讨论/(x)的单调性；

(2)当一;44<0时，求证：.

【答案】(1)当。之0时，函数/(力在区间(0,+8)上单调递增；

当"0时，函数/(x)在区间(0,一或)上单调递增，在区间'看,+8)上单调递减.

(2)证明见解析

10/14

【解析】（1）由题意可知，函数/（x）=o（x+l）2+x+lnx,（ocR）的定义域为（0,+8）,

导数八切=（'+1）（26+1）,x＞0

•X

当〃20时，xc（0,+8）,/'（x）＞0：

当〃＜0时，xe0,——,/'（x）＞0；xw（一工,+8,/*（x）＜0；

综上，当。之0时，函数/（力在区间（0,+旬上单调递增；

当。＜0时，函数/（x）在［＞＜间（0,-；］上单调递增，在区间（一；,+8］上单调递减.

I2aJI2aJ

（2）由（1）可知，当一时，

2

函数/（工）在区间（。,一£|上单调递增，在区间（一妥,+8）,上单调递减.

要证/(X)W2Q--!--1,需证a——2a)V2a—L—1.

2a4a2a

即需证〃—；+2a"0,—：«a<0恒成立，

4a2

令g(a)=。-止+ln(-2a),-g<tz<0,

r-1.1,/XI2(2〃+1)2

则g(0)=1+—r+——=---3--0

-34a22a4a2

「1、

所以函数g(a)在区间-子。单调递增，

/Z

故g(a=0,

所以“一卷■+"（一2"）N（）,恒成立,

所以当一;时，—

18.（17分）

抛物线。：/=20，（〃＞0）的焦点为凡。为坐标原点，抛物线。上的一点M（2,〃?）到焦点尸

的距离为2.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）已知直线/交抛物线。于44两点，直线ZO交抛物线的准线于点夕，且月P_Lx轴.

（i）证明：直线/过定点：

11/14

(i)点。为抛物线。的准线与y轴的交点，若△历力8的面积与的面积相等，求宜线/

的方程.

【答案】⑴W=4y；(2)(i)证明见解析；(ii)y=x+l或y=-x+l

【解析】(I)因为抛物线。上的一点〃(2,〃?)到焦点尸的距离为2,

4=2pm

则’p.，消机得到/-0+4=0,解得〃=2,所乂抛物线C的标准方程/=4/

m+-=2

2

(2)(i)由题可设=+4(和%),8(%2，%),

尸=4y

由〈,「消歹得到『一4后一46=0，则△=16二+|6〃>0,x,+x=4k,xx=-4h,

y=kx+b2y2

2

%t4

又k所以=令y=T，得到工=一7，

OJ-x.■.r-74X

（414

所以尸---,T,又BPlx轴,则---=x得到砧=T，

I）玉2

所以-4方=_4,解得6=1,则/:丁=履+1,所以直线/过定点(0,1).

(ii)因为M(2M)在抛物线匕则4=4加，解得〃?=1,所以M(2,l),由(i)知/:y=h+l

又点。为抛物线C的准线与)’轴的交点，则。(0,-1),又乙MAB的而枳与的面积相等

2k2..

则到直线/：y=去+1的距离相等，所以+=』=-FU三，即网=1，解得左=±1，

Jl+二y/\+k2

所以直线/的方程为J，=x+1或y=-x+i.

19.(17分)

12/14

己知。>0,函数/(x)=a$inx+cosx(xe[0,+<x>)),记七为/(x)的从小到大的第〃(〃wN*

)个零点.

(1)当4=1时，求七；

⑵若g(x)=g(x)-cosx]

证明：⑴数列｛g(4)｝是等比数歹II：

(ii)若j二]，则对一切〃eN*%<心(%)|恒成立.

【答案】⑴/=-?+M,〃WN*；(2)(i)证明见解析：(ii)证明见解析

【解析】(1)当。=1时，/(A:)=sinx+cosx=V2sinx+：),

令〃x)=(),则后sini+；]