内科大冶金传输原理推导习题

习题一推导柱坐标下的连续性方程我们取微元控制体的体积为，则质量守恒定律对该微元体可写为：-=由控制体体积为，故控制体的质量为，控制体的质量随时间的变化率为，变化量为单位时间从方向流入控制体的质量为，从方向流出控制体的质量为+从方向流入控制体的质量为从方向流出控制体的质量为+从方向流入控制体的质量为从方向流出控制体的质量为+由控制体的体积为，则控制体的质量为，控制体的质量随时间的变化率为，变化量为，由于微元体的体积不随时间变化，故单位时间的质量增量可写为，根据质量守恒定律则有=-[++]由于是相互独立的变量，故上式可变为=-[++]消去，移向得+++……（柱坐标下的连续性方程）习题二推导理想流体在y方向的动量守恒方程取微元体的体积为，控制体从面(即方向)流入的质量为，流入的沿方向的动量为，从面(即方向)流出的沿方向的动量为+，净流出的动量为；控制体从面(即方向)流入的沿方向的质量为，动量为从面(即方向)流出的沿方向的动量为+，净流出的动量为；控制体从面(即方向)流入的质量为，沿方向的动量为，从面(即方向)流出的沿方向的动量为+，净流出的动量为；控制体的质量为，沿方向的动量为，动量随时间的变化率为，变化量为作用在微元体上的压力沿方向的冲量为假设单位质量的体积力沿方向的分量为,则体积力的冲量为：故总的动量沿方向分量守恒可写为：=+++由于是相互独立的变量，消去，故上式可变为=+++……(y方向的欧拉方程）把上式等号右边的偏导展开可得=++++由于=（根据连续性方程）故上式可简化为：=+++同理可推导理想流体在方向的动量守恒方程（略）习题三推导实际流体在y方向的动量守恒方程（即N-S方程）对于实际流体，，它比理想流体多了流体的粘性导致的粘性动量通量，其动量守恒定律些写为：=-+即实际流体在y方向的动量守恒方程为=++++y方向粘性动量的净输出量（其中压力归到粘性力之中了），而y方向粘性动量的净输出量为++，又因为，代入得到=+++……（一般情况下流体流动过程中的动量守恒方程），对于不可压缩流体，并且密度与粘性为常量时，上式可化简为：+++=+上式等号右边的后三项等于=+由不可压缩流体的连续性方程，故不可压缩流体的动量守恒方程为+++=+。习题四求旋转角速度点的速度分量为，则各点的速度分量分别为因边长是微量，所以速度的增量按泰勒级数展开后都只取一阶微量，经过时间后，该微团运动到位置，点沿方向的速度比点快，故边长在方向要被拉伸，那么微团在方向的单位时间单位长度的线变形（即线变形速率）为，下面我们分析在点原来相互垂直的两边，经过时间后方位的变化。因点在方向的速度分量比点有增量，所以边产生一个逆时针方向的转动成为，令单位时间转角为，的转角（角速度）为,忽略分母中的二阶微量，于是有，再来看边，点在方向的速度分量比点快，即，所以边产生一个顺时针方向的转动成为，单位时间转角为，的转角（角速度）为，忽略分母中的二阶微量，于是有，所以微团绕轴的角速度）最后看，两边夹角的变化，两边夹角的角度的减小量为，所以微团的角变形速率为）。习题五把流场中邻近两点速度的变化关系用微团运动方式的组合加以表示（即求）设流场中任意一点的坐标为（，，），其速度分量为（，，），在该点邻域的点的坐标为（，，），因为速度分量是坐标的连续函数，所以点的速度分量可按泰勒级数展开得到（略去二阶以上微量）：++把加到上式的等号右边，重新整理，可得：+++-=++把加到上式的等号右边，重新整理，可得：++--=习题六两平行平板间的等温层流流动设两块无限大的平板，上板静止，下板沿水平方向以速度作匀速运动，流体做等温不可压层流流动，且流体密度为常量，流动过程中沿流动方向存在恒定的压力梯度，求解流动稳定后速度场的分布。解：由于两平板无限大，该问题为二维问题，又因为要求稳定后速度场的分布，故该问题游客视为稳定态，所以定解问题为：连续性方程：+=0：+=+（由于方向无体积力）：+=+由于讨论的是稳定后流场的分布，初始条件对定解条件已无影响。边值条件为无渗透、无滑移边值条件，即由于平板无限大，在不同处的任意截面上速度分布相同，即速度对的一阶、二阶偏导为零，即，由连续性方程，可得=0，此式说明仅是的函数，又因为与无关，故为常数函数，所以=即，这时动量方程可以简化为：0=+，：0=y方向的方程说明，对不可压缩流体y方向的压力差与重力平衡，对于方向上的方程，因为已知压力差给定为常量，所以已知，又因为=0，故仅是y的函数，这时可以写成，方程进一步简化为：==，由二阶常微分方程求解公式可得：=再由边界条件可得出：，，注意到=，最后可得=+习题七垂直同轴圆筒间流体的旋转流动一个底部封闭的垂直同轴圆筒，其间充满了不可压缩流体，当外筒保持静止，内筒以角速度旋转时，由于粘性的作用使流体在切线方向上做层流流动，如图所示。当圆筒足够长时，求解稳定后流体中的速度分布：解：由于圆筒足够长，可忽略边缘效应，这时流动与轴向坐标无关。该问题可简化为二维问题，在柱坐标系下与无关的二维定解问题可写为：连续性方程：+=0：-=-+：++=-+定解条件为：由于该问题有中心对称性，物理量不随变化，即：由连续性方程可得，仅是的函数，与无关。由定解条件可得这时方程可以简化为：：=-：=方程说明，由于流体的转动而产生的离心力与径向压力梯度平衡。由于场量分布与无关，方程可写为二阶常微分方程：=0其通解为：由定解条件可定出：，，则习题八页涡量输运方程的过程运算对于二维平面流场，按涡量的定义：,如取平面流场所处的平面为平面，涡量就仅有一个分量，其值为：）……⑴对不可压缩稳定流动，N-S连续性方程在