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文档简介

第四章导数及其应用素能培优(三)函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以选择、填空题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点难度2023Ⅰ卷T11抽象函数求值、奇偶性、极值点、构造函数中Ⅰ卷T19构造函数、构造不等式难2022Ⅰ卷T7构造函数比较大小难Ⅰ卷T22指对同构难核心考向目录核心考向考向一

利用f(x)与xn构造

(2024·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(

)A．(－∞，1) B．(－1，1)C．(－∞，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1)

设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1.当x>0时，f′(x)>1，则使得f(x)>x成立的x的取值范围是(

)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)解析：由f′(x)>1(x>0)，可得f′(x)－1>0(x>0)，令g(x)＝f(x)－x，则当x>0时，g′(x)＝f′(x)－1>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(－1)＝－1，所以g(－1)＝f(－1)＋1＝0，又因为f(x)为奇函数，所以g(－x)＝f(－x)－(－x)＝－f(x)＋x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(1)＝0，且在区间(－∞，0)上单调递增．所以使得f(x)>x，即g(x)>0成立的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.考向二

利用f(x)与ex构造

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(1)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3e的解集为(

)A．(－∞，0) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)解析：设g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，因为f(x)＋f′(x)>1，所以f(x)＋f′(x)－1>0，又ex>0，所以g′(x)>0恒成立，所以g(x)在定义域R上单调递增．原不等式可转化为exf(x)－ex>3e，又f(1)＝4，所以g(1)＝ef(1)－e＝3e，所以g(x)>g(1)，所以x>1.故选D.考向三

利用f(x)与sinx，cosx构造考向四

指对同构问题考向五比较复杂的构造函数比较大小问题

当要比较的各数为某

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