2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-素能培优（二） 函数性质的综合问题

第三章函数素能培优(二)函数性质的综合问题函数的单调性、奇偶性、周期性及函数图象的对称性是必考点，通常会综合考查，出现在选填题中．考点难度2024Ⅰ卷T6单调性中Ⅰ卷T8抽象函数的性质难Ⅱ卷T6奇偶性、图象中2023Ⅰ卷T4单调性易Ⅱ卷T4奇偶性易2022Ⅰ卷T12奇偶性、对称性难Ⅱ卷T8奇偶性、周期性难核心考向目录核心考向考向一

函数的奇偶性与单调性(1)(2025·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(

)(2)(多选)(2025·湖北四市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(

)A．f(f(1))<f(f(2)) B．f(g(1))<f(g(2))C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))<g(g(2))解析：因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(2)<g(1)<g(0)＝0，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，故B，D正确，C不正确；若f(1)<f(2)<0，则f(f(1))>f(f(2))，故A不正确．故选BD.(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．1.f(x)为定义在R上的偶函数，对任意的x2>x1≥0，都有>2，且f(2)＝4，则不等式f(x)>2|x|的解集为(

)A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[－2，0)∪(0，2]考向二

函数的奇偶性与对称性(1)已知y＝f(x－2)＋1是定义在R上的奇函数，则(

)A．f(0)＝0 B．f(2)＝0C．f(0)＝－1 D．f(－2)＝－1解析：由题意知y＝f(x－2)＋1的图象关于(0，0)中心对称，将y＝f(x－2)＋1的图象向下平移1个单位长度，得y＝f(x－2)的图象，其关于(0，－1)中心对称，再向左平移2个单位长度，得y＝f(x)的图象，其关于(－2，－1)中心对称，所以f(－2)＝－1.故选D.(2)(2025·江淮十校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(2x＋2)＋f(2x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法正确的是(

)A．函数f(x)的周期为2B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称C．函数f(x)为偶函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称解析：由f(2x＋2)＋f(2x)＝0可知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，A错误；y＝f(2－x)为偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，可知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，函数f(x)为偶函数，故C正确；因为f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，也关于点(1，0)对称，所以f(x)的图象不关于直线x＝1对称，B错误；若函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，已知函数图象关于直线x＝2对称，则函数的周期为2，结合A项分析知，D错误．故选C.

函数奇偶性与对称性的关系(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x＋b)为奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)对称．考向三

函数的奇偶性与周期性(1)(2025·山东济宁模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，f(x－2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，则f(2027)－f(2028)＝(

)A．－1B．0C．1D．2解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，且f(－1)＝0，因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又因为f(x)＝－f(－2－x)＝－f(－2＋x)＝－[－f(－4＋x)]，所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，所以f(2027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝0，f(2028)＝f(4×507)＝f(0)＝－1，所以f(2027)－f(2028)＝1.故选C.利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．2考向四

函数的周期性与对称性(1)(2025·浙江绍兴模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(a－x)，则对所有这样的函数f(x)，由下列条件一定能得到f(1)＝f(3)＝f(9)的是(

)A．a＝2B．a＝3C．a＝4