第25章　一元二次方程数学活动课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

数学活动活动1：探究方程有公共解的条件已知abc≠0，下列方程：ax2+bx+c=0，

①bx2+cx+a=0，

②cx2+ax+b=0.

③给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解.恰有一个公共解。解：设三个方程的公共解为x0，则x0同时满足三个方程：ax02+bx0

+c=0，

①bx02+cx0

+a=0，

②cx02+ax0

+b=0. ③步骤1：设公共解，列方程把三个方程左右两边分别相加：(ax02+bx0

+c)+(bx02+cx0

+a)+(cx02+ax0

+b)=0.整理得：(a+b+c)x02

+(a+b+c)x0

+(a+b+c)=0.提取公因式：(a+b+c)(x02+x0

+1)=0.对于x02

+x0+1，判别式Δ=12

−

4=−3<0，所以对任意实数x0，x02+x0+1

>0，不可能为0.步骤2：三式相加，推导条件因此只能是

a+b+c=0，这就是a,b,c满足的条件.步骤3：求公共解x0已知a+b+c=0，即c=−a−b，代入方程①：ax02+bx0

−a−b

=0，因式分解：a(x02−1)+b(x0

−1)=0,(x0−1)[a(x0+1)+b]=0.所以有两种情况：❶1=0，即x0

=1❷a(x0+1)+b

=0把x0=1

代入方程①②③

验证：a·12+b·1

+c=a+b+c=0，b·12+c·1

+a=a+b+c=0，c·12+a·1

+b=a+b+c=0.所以公共解为x

=1.步骤4：求每个方程的全部解已知a+b+c=0，即c=−a−b，代入方程①：ax2+bx

−a−b

=0，因式分解：(x−1)(ax+a

+b)=0.

最终结论:a，b，c

满足的条件：a+b+c=0三个方程的公共解：x=1各方程的全部解：ax2+bx+c=0，

①bx2+cx+a=0，

②cx2+ax+b=0. ③

活动2：神奇的线段分割李明，我们来做个智力游戏吧，你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？

这可能吗？当然，不过要费一番脑筋.现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点.训练提升复习巩固1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)4x2

+5x=81解：方程一般形式为：4x2+5x－81=0.其中二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为－81.

其中二次项系数为1，

常数项为0.(3)(2x－3)(x－1)=0.解：方程一般形式为：2x2－5x+3

=0.其中二次项系数为2，

常数项为3.(4)(3x－2)(x+1)=x(2x+1).解：方程一般形式为：x2－2=0.其中二次项系数为1，

常数项为－2.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2π，求半径r；解：设这个圆的半径为r.由圆的面积公式，得πr2=2π,所以r2=2，即r2－2=0.（2）一个直角三角形的两条直角边相差3，面积为9，求较长的直角边的长x.解：设这个直角三角形较长的直角边为x，则另一条直角边为(x－3).

整理，得x2－3x－18=0.（3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长.解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为2x.

整理，得5x2－25=0.3.下列哪些数是方程x2+x－12=0的根?－

4，－

3，－

2，－

1，

0，1，2，3，4.把每个数代入方程x2+x－12=0，左边计算结果等于0就是根.综合运用4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.解：设矩形的宽为x步，则长为(x+12)步

.

整理，得x2+12x－864=0.拓广探索

（l）常数c是多少？

把