高中数学第六章　周末练3　范围：6.4.3

周末练3范围：6.4.3[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在△ABC中，若A=60°，a=23，则a+b+cA.1 B.23 C.4 D.43答案C解析由正弦定理得a+b=232.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A=60°，b=1，这个三角形的面积为3，则a等于()A.2 B.10 C.23 D.13答案D解析依题意，得S=12bcsinA=12×1×csin60°=3，解得c=4，由余弦定理，得a=123.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC的值为A.916 B.1 C.12答案B解析由余弦定理的推论，得cosA=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=4.冬奥会会徽以汉字“冬”(如图甲)为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD(如图乙)，测得AB=3，BD=4，AC=AD=2，若点C恰好在边BD上，则sin∠ACD的值为()A.12 B.1114 C.3答案C解析由题意，在△ABD中，由余弦定理，得cos∠ADB=A=4+16-92×2×4=11因为∠ADB∈(0，π)，所以sin∠ADB=1-cos2∠ADB=在△ACD中，由AC=AD=2，得sin∠ACD=sin∠ADB=3155.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设△ABC的面积为S，且(a2-c2)sinA=2S，则b-cccosA.1 B.2 C.12答案B解析∵(a2-c2)sinA=2S，又S=12bcsinA可得bc=a2-c2，又ccosA=c×b2+c2-a22bc=b26.★★在锐角△ABC中，A=2B，则b+c2bA.1，3C.43，答案A解析在锐角△ABC中，A=2B，因为0<A<π2，0<C<π2，0<B<所以0<2B<π2，0<π-3B<π2，解得B∈所以sinB∈12，22，sin2而sinC=sin(π-3B)=sin3B，sin3B=sin(B+2B)=sinBcos2B+cosBsin2B=sinB(2cos2B-1)+2sinBcos2B=4cos2BsinB-sinB=4(1-sin2B)sinB-sinB=3sinB-4sin3B，由正弦定理可知，b+c2b=sinB+sinC2sin因为sin2B∈14，12，所以-2sin2所以2-2sin2B∈1，32，即b二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中无解的是()A.a=7，b=3，B=30°B.b=6，c=52，B=45°C.a=15，b=10，B=120°D.b=6，c=63，C=60°答案AC解析对于选项A，由正弦定理得sinA=absinB=73×sin30°=7对于选项B，由正弦定理得sinC=cbsinB=526×sin45°=56<1，且对于选项C，由正弦定理得sinA=absinB=1510×sin120°=3对于选项D，由正弦定理得sinB=bcsinC=663×sin60°=12<1，且c>b，所以B<C，所以8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是()A.若AC·AB>0，则△ABC是锐角三角形B.若sinA>sinB，则a>bC.若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则△ABC是钝角三角形D.若A=30°，a=2，b=22，则△ABC只有一解答案BC解析对于A，因为AC·AB>0，即|AC||AB|cosA>0，cosA>0，所以A是锐角，但B，C是否都为锐角，不确定，A错误；对于B，由正弦定理得asinA=bsinB，因此sinA>sinB⇔a>对于C，因为sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，所以a∶b∶c=2∶3∶4，设a=2k，b=3k，c=4k，则cosC=a2+b2-c22ab=4k2对于D，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinB=bsinAa=22sin30°2=22，而0°<B<180°，又由b>a得B>A，因此9.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a-2ccosB=c，则下列结论正确的是()A.b2=c(a+c) B.B=2CC.22<sinC<32 D.1<答案ABD解析因为a-2ccosB=c，所以由余弦定理的推论得a-2c·a2+c2-b22ac=c，整理得b2=因为a-2ccosB=c，所以由正弦定理得sinA-2sinCcosB=sinC，即sin(B+C)-2sinCcosB=sinC，所以sin(B-C)=sinC，因为C∈0，π2，B-C∈-π2，π2，所以B-C=由△ABC为锐角三角形，得C∈0，π2，B=2C∈0，π2，A=π-B-所以C∈π6，π4，所以12<sinC因为a-2ccosB=c，所以ac=2cosB+1=3-4sin2C，因为C∈π6，π4，所以ac∈(1，三、填空题(每小题5分，共15分)10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a(sinA-sinB)=(c-b)(sinB+sinC)，c=2，则△ABC的外接圆的面积等于.答案4π解析由题可知，a(a-b)=(c-b)(b+c)，整理得a2+b2-c2=ab，所以cosC=a2+b又0<C<π，所以C=π3所以外接圆的直径2R=csinC=即R=233，故外接圆的面积等于11.已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A=π3，a=6，c=2，角A的平分线交BC于D，则AD=答案2解析方法一由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cosπ3=6，因为b>0，解得b=1+3由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，12×2×b×sinπ3=12×2×AD×sinπ6+12×AD×b解得AD=23b2+方法二由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cosπ3=6因为b>0，解得b=1+3，由正弦定理可得，6sinπ3=b解得sinB=6+24，sinC=22，因为1+3>所以C=π4，B=π-π3-π4=5π12，又∠所以∠ADB=5π12，即AD=AB12.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为m.答案103解析设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D(如图)，则∠BAD=45°，∠CAD=30°，∠BDC=30°，AD=30m.在Rt△ABD与Rt△ACD中，tan45°=DBAD，tan30°=DC则DB=30m，DC=103m.在△DBC中，由余弦定理BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，得BC2=302+(103)2-2×30×103×32=300，解得BC=103四、解答题(共27分)13.(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(cosC，2b-2c)，n=(cosA，2a)，m∥n.(1)求A；(6分)(2)若△ABC的面积为8，且b2+2a2=4c2，求c的值.(7分)解(1)因为向量m=(cosC，2b-2c)，n=(cosA，2a)，m∥n，所以2acosC=(2b-2c)cosA.由正弦定理得sinAcosC=2sinBcosA-cosAsinC，得sin(A+C)=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA.因为B∈(0，π)，则sinB>0，所以cosA=22又A∈(0，π)，所以A=π4(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2bc，又b2+2a2=4c2，所以3b2-2c2-22bc=0，即(3b+2c)(b-2c)=0.因为b>0，c>0，所以b=2c.又S△ABC=12bcsinA=24bc=12c则c2=16，所以c=4.14.★★(14分)为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地(△ABC区域)进行分区改造.△BNC区域规划为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区.△MNC的周围将筑起护栏.已知AC=20m，AB=40m，∠BAC=60°，∠MCN=30°.(1)若AM=10m，求护栏的长度(△MNC的周长)；(6分)(2)设∠ACM=θ，试用θ表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值.若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.(8分)解(1)依题意，在△AMC中，AC=20m，AM=10m，∠BAC=60°，所以CM2=AM2+AC2-2AM·ACcosA=300，则CM=103m，AC2=CM2+AM2，即AM⊥CM，所以∠ACM=30°，又∠MCN=30°，故∠ACN=60°，所以△ANC是正三角形，则CN=AN=AC=20m，MN=AN-AM=10m，所以护栏的长度为CM+CN+MN=(30+103)(2)由题意知∠ACM=θ(0°<θ<60°)，在△ANC中，∠MCN=30°，则∠ANC=180°-6