高中数学第七章　周末练6　章末检测试卷二(第七章)

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期周末练6章末检测试卷二(第七章)[时间：120分钟分值：150分]一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=1−i2+2i，则z-zA.-i B.i C.0 D.1答案A解析因为z=1−i2+2i==−2i4=-12i，所以z=1即z-z=-i.2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i，则所求复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限.3.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由题意，不妨设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，若z1+z2是实数，则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R，故b+d=0，即b=-d，由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若z1，z2互为共轭复数，则z2=a-bi，故z1+z2=2a∈R，故必要性成立.因此“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件.4.复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则复数z1−iA.第一或第二象限或虚轴的正半轴上B.第二或第三象限或实轴的负半轴上C.第三或第四象限或虚轴的负半轴上D.第一或第四象限或实轴的正半轴上答案D解析设z=a+bi，a，b∈R.∵复数z在复平面上对应的点位于第四象限，∴a>0，b<0.又z1−i=a+bi1−i=12(a-b)+12(a+b)i，a-b>0故复数z1−i在复平面上对应的点位于第一或第四象限或实轴的正半轴上5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则()A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2答案A解析由题意知z=1+2i，所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i，又z+az+b=0，且a，b∈R，所以a+b6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3-2i，则|z12+zA.210 B.52 C.313 D.102答案D解析由题意得，z2=-3-2i，∴z12+z2=(3-2i)2+(=5-12i-3-2i=2-14i，∴|z12+z2|=227.若复数z满足|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为()A.π B.2π C.3π D.4π答案D解析由|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以(1，0)为圆心，2为半径的圆，故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2=4π.8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是()A.eπ2i+1=0 C.cosx=eix+e−i答案C解析对于A，当x=π2因为eπ2i=cosπ2所以eπ2i+1=i+1≠0对于B，12+=eπ3i3=eπi=cosπ+isin对于C，由eix=cosx+isinx，得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx，所以eix+e-ix=2cosx，得出cosx=eix+对于D，由C选项的分析得eix-e-ix=2isinx，得出sinx=-eix−e−i二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是()A.若复数z满足|z-i|=5，则复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=-15+8iC.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1·z1=z2·D.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z12答案BC解析满足|z-i|=5的复数z在复平面内对应的点在以(0，1)为圆心，5为半径的圆上，故A错误；设z=a+bi(a，b∈R)，则|z|=a2+b2，由z得a+bi+a2+故a+a∴z=-15+8i，故B正确；设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若|z1|=|z2|，则a12+即a12+b12=∴z1·z1=a12+b12=a22+b2若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而z12=1，z22=-110.已知集合M={m|m=in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()A.(1-i)(1+i) B.1−iC.1+i1−i D.(1-i)答案BC解析根据题意，M={m|m=in，n∈N*}，当n=4k(k∈N*)时，in=1；当n=4k+1(k∈N)时，in=i；当n=4k+2(k∈N)时，in=-1；当n=4k+3(k∈N)时，in=-i，∴M={-1，1，i，-i}.选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M；选项B中，1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)选项C中，1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)选项D中，(1-i)2=-2i∉M.11.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是()A.|z1|2=zB.z1z2=z1zC.若z1·z2=0，则z1，z2至少有1个为0D.若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1·z2∈R，则z1，z2为共轭复数答案BCD解析设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.对于选项A，例如z1=i，则|z1|2=1，z12显然|z1|2≠z12，故对于选项B，因为z2≠0，则z1z2=a+bic+可得z1z2=ac+又因为z1=a-bi，z2=c-d可得z1z2=a−bic−所以z1z2=z1z2(z对于选项C，因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0，可得ac解得a=b=0或c=d=0，即z1=0或z2=0，所以z1，z2至少有1个为0，故C正确；对于选项D，若z1，z2是两个虚数，则b≠0，d≠0，因为z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R，则b+d=0，即b=-d，又因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R，则ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c，所以z1=c-di=z2，即z1，z2为共轭复数，故D正确三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为答案4+i解析由题意可得5+14i2+3i=(5+14i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=13.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，则a=.答案±1解析z=a-i，因为复数z与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1.14.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=.答案-10解析因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0，即p+q-3-(2p+4)i=0，所以p+q所以pq=-10.四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)已知复数z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.(1)当z为纯虚数时，求复数z2024；(6分)(2)当a=0时，复数z在复平面内对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转90°到达点B，求AB所对应的复数的共轭复数.(7分)解(1)由题意得a2−2a−3=0,所以z=4i，则z2024=(4i)2024=42024.(2)当a=0时，z=-3+i，则A(-3，1)，则B(1，3)，所以AB=(4，2)，所对应的复数z1=4+2i，所以z116.(15分)已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i.(1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；(6分)(2)若z的共轭复数z与复数8m+5i相等，求m解(1)由题意得m−2>0,m2−9>0,所以m的取值范围是{m|m>3}.(2)因为z=(m-2)+(m2-9)i，所以z=(m-2)+(9-m2)i，因为z与复数8m+5i所以m−2=8m17.(15分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-z2|<|z1|，求a解由题意，得z1=−1+5i1+i=2+3i因为z2=a-2-i，所以z2=a-2+i所以|z1-z2|=|(2+3i)-(a-2+i)=|4-a+2i|=(4−a)2+4，|z又因为|z1-z2|<|z1|所以(4−a)2所以a2-8a+7<0，解得1<a<7.所以a的取值范围是(1，7).18.(17分)已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(7分)(2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(10分)解(1)设z=a+bi(a，b∈R)，由已知条件得a2+b2=2，因为z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2.所以a=b=1或a=b=-1，即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时，z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，所以S△ABC=12|AC|×1=12×2×当z=-1-i时，z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.所以点A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，所以S△ABC=12|AC|×1=12×2综上，△ABC的面积为1.19.(17分)在英语中，实数是RealNumber，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryNumber，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：Re(2+3i)=2，Im(2+3i)=3；Re(-3i)=0，Im(-3i)=-3.已知复数z是方程x2+2x+2=0的根.(1)若Im(z)>0，且az=b-2i(a，b∈R，i是虚数单位)，求a+b(2)若Im(z)<0，复数z1=t+i2027z+3i，t∈R，且Re(z1)<0，Im(解由z是方程x2+2x+2=0的根，Δ=22-4×1×2=-4<0，解得z=−2±−(−4)(1)因为Im(z)>0，所以z=-1+i，所以az=a−