数值积分和数值微-分

第四章数值积分与数值微分第一节Newton-Cotes求积公式第二节复化求积公式第四节Gauss求积公式上一页下一页返回

1第1页要求问题上一页下一页

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若能求出被积函数f(x)一个原函数F(x)，则定积分I能依据牛顿-莱布尼茨公式求出，即面临困难：f(x)很复杂或者根本不知其详细解析表示式。

②.①.F(x)难求（很复杂）或求不出；将求积分值转化为直接对定积分进行近似计算.处理方法：（即应用对应数值积分公式进行计算）2第2页一、数值求积基本思想xyaξby=f(x)曲边梯形平均高度只要对平均高度提供一个近似算法,便可对应取得一个数值求积方法.上一页下一页

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第一节Newton-Cotes求积公式3第3页比如：更为普遍有：为截断误差,又称求积余项.称为中矩形公式上一页下一页

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称为梯形公式4第4页二、插值型求积法则有这种求积系数由(*)式所确定求积公式称为插值型求积公式.上一页下一页

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其中lk(x)为插值基函数.5第5页插值型求积公式求积余项为上一页下一页

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定义若某个求积公式对于全部次数

m多项式均能准确地成立,但最少对一个m+1次多项式不准确成立,则称此求积公式含有m次代数精度

。依次取ƒ(x)=1,x,x2…验证求积公式是否成立,若第一个不成立等式是ƒ(x)=xm+1,则其代数精度是m.三、代数精度代数精度求法:6第6页梯形公式f(x)abf(a)f(b)例：对于[a,b]上1次插值多项式，有考查其代数精度:取f=1：=取f=x：=取f=x2：

代数精度=1上一页下一页

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定理含有n+1个节点数值求积公式是插值型求积公式充分必要条件是该公式最少含有n次代数精度.7第7页四、Newton-Cotes公式思绪利用插值多项式则积分易算。上一页下一页

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将[a,b]区间n等分，步长h，求积节点为xk=a+kh，k=0,1,…,n由此结构插值型求积公式，则其求积系数为：

令8第8页Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和k，可查表得到（P75表4-1）。与f(x)及区间[a,b]均无关。上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式.上一页下一页

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n=1:梯形公式9第9页n=2:辛普生(Simpson)公式n=4:柯特斯(Cotes)公式上一页下一页

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n=3:牛顿(Newton)公式10第10页解：上一页下一页

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11第11页解：上一页下一页

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12第12页五、Newton-Cotes公式误差分析按照余项公式：梯形公式余项为：上一页下一页

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LnSimpson公式余项为：13第13页定理n阶牛顿－柯特斯公式代数精度为上一页下一页

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Newton-Cotes公式稳定性和收敛性14第14页上一页下一页

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结论：此时误差不会扩大太大,只要使f(xk)取得足够准确,初始数据误差对计算结果影响不大，方法是稳定.15第15页Rn不一定趋于0，也就是说Newton-Cotes公式收敛性也没有确保,普通不采取高阶(n≥8)Newton-Cotes公式。上一页下一页

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结论：考虑到当n≥8时，Newton-Cotes系数有正有负，即使f(xk

)取得足够准确，方法也可能是不稳定。也就是说，方法不含有稳定性。

因为函数f(x)n+1阶导数不确定性，

16第16页

Newton-Cotes公式是取等距节点作为插值节点,经过结构被积函数Lagrange插值多项式而推导出来求积公式,然而,伴随插值节点增多,求积公式代数精度会提升.而高次插值公式并不一定能取得好效果,即经过提升插值多项式次数来迫近f(x)效果并不好.

第二节复化求积公式上一页下一页

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17第17页复化求积公式能够克服高次Newton-Cotes公式计算不稳定问题,运算简单且易于在计算机上实现。把积分区间[a,b]平均分成若干小区间[xk,xk+1]上一页下一页

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复化求积法基本思想第一步，在每个小区间上采取次数不高Newton-Cotes求积公式，如梯形公式或Simpson公式；第二步，对每个区间近似积分值求和，用所得值近似代替原积分值。

如此得到求积公式称为复化求积公式。

18第18页则把区间[a,b]n等分，取节点xk=a+kh,(k=0,1,...n),h=(b-a)/n,对每个小区间[xk,xk+1]用梯形公式计算被积函数f(x)在其上积分,即内点上一页下一页

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一、复化梯形公式19第19页

（每个小区间上用辛甫生公式求积）求和展开得

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二、复化Simpson公式20第20页上一页下一页

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例对利用下表所给数据，利用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算值。

xf(x)4/83.00004.00000005/82.87640451/83.93846156/82.56000002/83.76470597/82.26548673/83.50684938/82.0000000解：①用复化梯形公式计算,则：=3.138988521第21页②用复化Simpson公式计算,则：上一页下一页

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=3.1415925而准确值：注意：T8和S4运算量基本相同，不过S4比T8精度高。22第22页上一页下一页

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例：用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分函数f(x)在一些节点上值以下列图：x1.82.02.22.42.6f(x)3.14.425696.042418.0301410.46675解：①用复化梯形公式计算,23第23页②用复化Simpson公式计算,则：上一页下一页

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=5.03300224第24页第四节

Gauss求积公式结构含有2n+1次代数精度求积公式将节点x0…xn

以及系数