2026届深圳二模数学试题+答案

2026年深圳市高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

题号12345678

答案ACBCADAB

【命题说明】

1．（1）教材题源：人教A版必修二71页例2；

（2）高考题源：2024年新高考全国Ⅱ卷第1题；

（3）课标要求：理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．

2．（1）教材题源：人教A版必修一14页第2题；

（2）高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第1题；

（3）课标要求：理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．

3．（1）教材题源：人教A版选择性必修三第30页例2；

（2）高考题源：2025年天津卷第11题；

（3）课标要求：能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决

与二项展开式有关的简单问题．

4．（1）教材题源：人教A版必修一第184页练习题第2题；

（2）高考题源：本题改编自2023年全国甲卷（理科）第7题；

1

（3）课标要求：通过具体实例，结合y=x，y=，y=x2，y=x，y=x3的图象，理

x

解它们的变化规律，了解幂函数；能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索

并理解指数函数的单调性与特殊点．

5．（1）教材题源：人教A版必修二第26页例1；

（2）高考题源：2022年新高考全国Ⅰ卷第3题；

（3）课标要求：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，

理解其几何意义．

6．（1）教材题源：人教A版必修二第131页习题第2题；

（2）高考题源：2024年全国甲卷（理科）第10题；

（3）课标要求：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与

直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出四条性质定理，并加以证明．

7．（1）教材题源：人教A版选择性必修一第121页第4题；

（2）高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第12题；

数学试题参考答案及评分标准第1页共10页

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（3）课标要求：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；通

过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．

8．（1）教材题源：人教A版必修一第160页第5题；

（2）高考题源：2023年全国甲卷（文科）第11题；

（3）课标要求：能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性；理

解一些基本函数类（如一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数

函数、三角函数等）的背景、概念和性质；能从整体的角度探索具体函数模型和一般函数的性

质和应用．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ADABDBCD

【命题说明】

9．（1）教材题源：人教A版必修二第255页第21题；

（2）高考题源：2022年新高考全国Ⅱ卷第9题；

（3）课标要求：结合具体实例，了解y=Asin(⑴x+φ)(A≠0，⑴≠0)的实际意义；能借助图

象理解参数⑴,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．

10．（1）教材题源：人教A版选择性必修三第113页第2题；

（2）高考题源：2025年上海卷第17题；

（3）课标要求：结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，

了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件；

针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

11．（1）教材题源：人教A版必修二第119页例4；人教A版必修二第145页第15题；

（2）高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第12题；2014年安徽卷（理科）第20题；

（3）课标要求：利用实物、计算机软件等观察空间图形，掌握柱、锥、台、球及简单组合

体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；知道棱柱、棱锥、棱台、球

的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．_113．260（S26∈[260,270]）14．1.2

【命题说明】

12．（1）教材题源：人教A版选择性必修二第78页第3题；

（2）高考题源：2025年新高考全国Ⅰ卷第12题；

（3）课标要求：通过函数图象直观理解导数的几何意义．

数学试题参考答案及评分标准第2页共10页

13．（1）教材题源：人教A版选择性必修二第24页第3题；

（2）高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第7题；

（3）课标要求：探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项

和公式的关系．

14．（1）教材题源：人教A版选择性必修一第113页例6，第114页第2题；

（2）高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第22题；2023年新全国Ⅰ卷第16题；

（3）课标要求：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程

与一般方程；能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；经历从具体情境中抽

象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习，

进一步体会数形结合的思想．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．

【命题说明】

（1）教材题源：人教A版必修二第47页例7；

（2）高考题源：2024年新高考全国Ⅰ卷第15题；

（3）课标要求：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．

【参考答案】

解:

（1）由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，可得cosA

又A∈(0,π)，则A

由正弦定理及sinB，得sinB

又C=π-A-BB，则sinBsin=cosB-sinB，

即2sinB=cosB，

又sin2B+cos2B=1，解得sin2B

因为B，所以sinB．

sinC3525π

（2）由（1）可知sinB=，又A=π,sinB=，cosB=，A=-B，

sinA4554

所以sinC=sin=sincosB-cossinB

由正弦定理得，bbcsinA=1，

所以a即a

所以b=2，c=2，

数学试题参考答案及评分标准第3页共10页

所以△ABC的周长为2+2+10．

16．

【命题说明】

（1）教材题源：人教A版选择性必修二第104页第9题；

（2）高考题源：2024年新高考全国甲卷（理科）第21题；

（3）课标要求：结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函

数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；借助函数的图象，了解

函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）

值；对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值；体会导数在研

究单调性、极大（小）值、最大（小）值中的作用.

【参考答案】

解：

（1）由于f(x)=ex_x2+(2_a)x，f'(x)=ex_2x+(2_a)，

由题意可知，f'(1)=e_2+2_a=0，则a=e，

于是f(x)=ex_x2+(2_e)x，f'(x)=ex_2x+(2_e)，

令t(x)=ex_2x+(2_e)，则t'(x)=ex_2，

令t'(x)=0，则x=ln2，

则f'(x)在(_∞,ln2)上单调递减，所以f(x)在(_∞,ln2)上没有极小值，

又因为f'(x)在(ln2,+∞)上单调递增，且f'(1)=0，

故f(x)在(ln2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

于是f(x)在x=1处取极小值，极小值为f(1)=1．

（2）由于不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，则f(1)≥1，

即e_1+2_a≥1，所以a≤e，

下证：当a≤e时，ex_x2+(2_a)x≥1，

x2x2

由于a≤e，则e_x+(2_a)x≥e_x+(2_e)x，

令m(x)=ex_x2+(2_e)x，由（1）可知，m(x)在[1,+∞)上单调递增，

于是m(x)≥m(1)=1，

所以当a≤e时，f(x)≥m(x)≥m(1)=1，

综上所述，a∈(_∞,e]．

17．

【命题说明】

（1）教材题源：人教A版选择性必修一第145页第5题；

（2）高考题源：2022年新高考全国Ⅱ卷第10题；

（3）课标要求：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．

【参考答案】

数学试题参考答案及评分标准第4页共10页

解：

（1）由题意可知，A，B关于x轴对称，令y=p，则x，于是直线AB过焦点F，

在Rt△AFM中，有|AM|2=|FM|2+|AF|2，可得：|AM

则p=2，于是C的方程为：y2=4x．

（2）①②→③

由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x1,0)，x1≠x2，

(Δ=16t2+16>0

2

联立得y_4ty_4=0，〈y1+2=4t，

ly1y2_4

取A，B中点P，连接PQ，由|QA|=|QB|，则PQ丄AB，

kBM

而kPQ

则kPQ=kBM，PQ//BM，则MB丄AB．

①③→②

由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,0)，x1≠x2，

联立得y，取A，B中点P，连接PQ，

kBM

由于kPQ

由|PA|=|PB|，PQ丄AB，且MB丄AB，则PQ//BM，kPQ=kBM，

2323

,且y1y2=_4，则y1y2+4y1+4y2+y2=y1y2+y2_8my2，

即8y1=_8my2，则mx1，则AQ丄x轴，AP//y轴．

②③→①

由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x1,0)，x1≠x2，

t2+16m>0

2

联立得y_4ty_4=0，〈12=4t，

1_4m

取A，B中点Q，连接PQ，由|QA|=|QB|，则PQ丄AB，

数学试题参考答案及评分标准第5页共10页

kBM

而kPQ

由PQ丄AB，MB丄AB，则PQ//BM，kPQ=kBM，

2

,于是y1y2=_4=_4m，m=1，此时Δ=16t+16>0，

则直线AB:x=ty+1恒过定点F，即A，B，F三点共线．

18．

【命题说明】

（1）教材题源：人教A版必修二第120页第4题；

（2）高考题源：2024年上海卷第18题；

（3）课标要求：能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题；能用向量方法解决

点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解

决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【参考答案】

解：

（1）如图，沿圆锥PO的母线PA，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形PAA'，其中B为AA'

的中点，A'与A在圆锥中是同一点，因为轨迹L在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹L

是扇形PAA'上连接A'与A两点的曲线，

又L是最短路径，而平面上连接两点之间，线段最短，所以，轨迹L是侧面展开图扇形PAA'上

连接A'与A两点的线段，即线段AA'.

由于AB=2，所以'的长度为2π,又PA=3，所以LAPA

在等腰三角形PAA'中，AA'=33，即L的长度为33．

数学试题参考答案及评分标准第6页共10页

（2）如图，在底面圆O中，过点O作OE丄AB交圆O于点E，由于PO丄平面ABE，则OA，OE，

OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线

为z轴，建立空间直角坐标系，

于是A(1,0,0)，P(0,0,22)，Q(cosθ,sinθ,0)，设M(x,y,z)

则=(x,y,z-22)，=(cosθ,sinθ,-22)，

于是

则M

于是

于是令n=(22,0,3)，则AM.n=0．

（3）由（2）可知，n=(22,0,3)是平面“的一个法向量，

设平面MPO的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

由于

则，令x1=-sinθ,y1=cosθ,z1=0，

y1=0

于是平面MPO的一个法向量为

设平面“与平面MPO所成角为“，

于是cos

即平面“与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为．

解法2：由（2）可知，平面“的法向量n=(22,0,3)，

由于Q在底面圆周上运动，

则平面POM即平面POQ的法向量可以是底面上任意方向的向量，

如图，在平面PAB内，过点O作ON丄AF，则ON//n，

设平面MPO与平面“所成的角为θ,则LNOA

易知tanLNOA则cosLNOA

综上，cos

即平面“与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为．

数学试题参考答案及评分标准第7页共10页

19.

【命题说明】

（1）教材题源：人教A版选择性必修三第91页第10题；

（2）高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第21题；

（3）课标要求：通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其

数字特征（均值、方差）．

【参考答案】

解：

21

（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域B，之后有的概率到达区域A，有的概率到达区

33

域C，微生物在区域A或者区域C时，下一步必然到达区域B．

（2）微生物第1次到达区域A所经历的步数必然为：2,4,6,8,...,2k,...，k∈N*，

若微生物经历2k次移动第1次到达区域A，则前面2k__2步必然在区域B与区域C之间移动，

且最后2步是由区域C到区域B，接着到达区域A，于是

P则E

k_1012n_1

n(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2

不妨设S=Σ2k.|.=2.|.+4.|.+6.|.+...+2n.|.，

k=1|(3丿3|(3丿3|(3丿3(|3丿3|(3丿3

于是

则S

化简可得，S=3_n，

由题意可知，，所以E(X1)=3；

2

解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域B到达区域A，

3

1

有的概率到达经过区域B回到区域C，

3

于是E

解得，E(X1)=3；

（3）解法1：初始位置C时微生物第n次到达区域A累计移动次数为Xn，

设初始位置B时微生物第n次到达区域A累计移动次数为Yn，初始位置为A时微生物第n次到

达区域A累计移动次数为Zn（初始位置不记为到达），当n≥2时，

数学试题参考答案及评分标准第8页共10页

于是：

即E

化简有3E(Yn)=5+2E(Yn-1)+E(Xn)，又由E(Xn)=1+E(Yn)，有

3(E(Xn)-1)=5+2(E(Xn-1)-1)+E(Xn)，

即E(Xn)=E(Xn-1)+3，

又由E(X1)=3，于是E(Xn)=3n．

解法2：不妨设微生物从区域A出发，第一次到达区域A，需要的次数为随机变量T，

当n≥2时，E(Xn)=E(Xn-1)+E(Y)，

微生物由区域A出发第1次到达区域A所经历的步数必然为：2,4,6,8,...,2k,...，k∈N*，

若微生物经历2k次移动第1次到达区域A，则前面2k-2步必然在区域B与区域C之间移动，

且最后2步是由区域C到区域B，接着到达区域A，于是

P(T