量子物理基础-156-波函数-一维定态薛定谔方程

一、波函数及其统计解释

微观粒子含有波动性用物质波波函数描述微观粒子状态1925年薛定谔比如自由粒子沿x轴正方向运动，其能量E、动量P为常量，所以v(=E/h)、

(=h/

P)

不随时间改变，其物质波是单色平面波，波函数为15.6波函数一维定态薛定谔方程

第1页波函数物理意义：

——

t

时刻，粒子在空间

r

处单位体积中出现概率，又称为概率密度

t时刻,粒子在

r

处

dV

内出现概率dVo电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=0电子数N=70000单个粒子出现是偶然事件；大量粒子分布有确定统计规律。电子双缝干涉图样说明第2页归一化条件

波函数必须单值、有限、连续概率密度在任一处都是唯一、有限,并在整个空间内连续。粒子在整个空间出现概率为1

t时刻,粒子在

r

处

dV

内出现概率dVo说明第3页二、薛定谔方程

(描述微观粒子在外力场中运动微分方程)质量m

粒子在外力场中运动，势能函数V(r,t)，其运动微分方程为粒子在稳定力场中运动，势能函数V(r)、能量E

不随时间改变，粒子处于定态，定态波函数写为得定态薛定谔方程薛定谔方程第4页一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)描述外力场势能函数粒子能量(2)求解

E（粒子能量）

(r)

(定态波函数)(1)势能函数V

不随时间改变。说明第5页三、一维无限深势阱中粒子0<x<a

区域，定态薛定谔方程为x0aV(x)

势能函数令V(x)=0

，

0<x<aV(x)=∞

，

0<x或

x>a0>x或x<a

区域第6页波函数在x=0

处连续，有在x=a

处连续，有所以x0aV(

r

)

解为其中所以粒子能量第7页量子数为n

定态波函数为由归一化条件波函数可得波函数自然地得到了能量量子化结论x0a概率密度分布粒子能量第8页定态薛定谔方程：四、隧道效应（势垒贯通）势垒Ⅲ区Ⅰ区Ⅱ区0aU0ⅠⅡⅢⅢ区U(x)=0x≥aⅠ区

U(x)=0x≤

0Ⅱ区U(x)=U00≤

x≤

aEx第9页得到4个方程，求出常数A1、B1、A2

、B2

和A3间关系，从而得到反射系数

和透射系数分别为波函数在x=0，x=a处连续Ⅲ区

Ⅰ区

Ⅱ区

x=0处x=a处0aU0ⅠⅡⅢE三个区域波函数分别为B3=0第10页0

aU0ⅠⅡⅢ入射粒子一部分透射抵达III

区，另一部分被势垒反射回I

区。讨论(1)E>U0,

R≠0,即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入III

区,仍有一定概率被反射回I

区。(2)E<U0

,

T≠0,即使粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III区—

隧道效应。E第11页(3)透射系数T

随势垒宽度a、粒子质量m

和能量差改变，伴随势垒加宽、加高透射系数减小。粒子类型粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数电子1eV2eV1eV2eV1eV2eV2×10-10m5×10-10m0.0242×10-10m0.51质子3×10-38第12页五、氢原子球坐标定态薛定谔方程第13页1.能量量子化能量主量子数

n

=1,2,3,…电子云电子在波尔轨道上出现概率最大电子云密度

概率密度ψnlm2（r,θ,

）

…2.角动量量子化角量子数

l=0,1,2,…,n-1电子绕核转动角动量L大小3.角动量空间量子化角动量

L在外磁场方向Z投影磁量子数

ml=0,±1,±2,…,±l

第14页磁量子数ml=0,±1,±2L

在Z方向投影zL

大小例

l=2

电子角动量大小及可能空间取向？z第15页(1)试验现象v0v0+△vv0-△v光源处于磁场中时，一条谱线会