人教版高中数学必修第二册 第6章 平面向量及其应用 作业综合训练【原卷+答案】

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第六章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法中，正确的是()

A.有相同起点的两个非零向曷不平行

D.若|a|=|b|,则a=b

C.若a=b,则a〃b

D.若arb,则a与b不是共线向量

2.在△ABC中，若4=60。］。=4\后工。=4企,则角B的大小为()

A.30°B.45°

C.135°D.45。或135°

3.设向量a,b不平行，向量xa+2b与a+3b平行,则实数2=()

A-lc!环

4.［2024河北保定高一月考］已如向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a-(a+b)=l,则|a+2b|=()

A.V5B.2V5C.5D.20

5.设。为△4BC所在平面内一点.近=2而，则()

A.而=尚同+/

B.而而+/

22

CM=^AB+

D.而=|方一屈

6.(2024江苏宿迁高一质检］在AABC中，内角A,及C所对的边分别为a,b,c.若a+ccosA=b+ccos氏则

△ABC为()

A.等腰三角形

B.直角二角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

7.不解三角形，下列问题中有两组解的是()

A.a=2,b=3,B=105°B.a=2,Z?=3,8=35°

C.a=2,b=3,A=90°D.tz=3,/?=2,B=35°

8.在菱形ABCD中,NABC=120o,AC=2V5,而+逆=°，灰=廊，若丽•丽=29,则A=()

二、选择题:在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.

9J2024四川成都高一月考］己知a=（f,l）,b=（2j）,则下列说法止确的是（）

A.|a|的最小值为1

B.若a_Lb,则r=0

C若与a垂直的单位向量只能为（条印

D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则/的取值范围为（・8,0）

10.12024河南郑州高一月考］如图，在直角梯形"C。中/8〃。。/。_14乩4。=18=3。。/£='。,则

下列等式正确的是（）

A.斤=:荏+3诟

B.前=：前+演

77

C.BE=；BC_：AC

66

D.前二彘十：前

24

11.已知XABC的内角A,B,C所对的边分别为ahc,下列四个说法中正确的是（）

A.若七='=三,则△ABC一定是等边三角形

cosAcosBcost

B.若acosA=bcos8,则△A/3C一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos4=6,则△4Z3C一定足等腰二角形

D.若/+及小＞0,则aABC一定是锐角三角形

三、填空题

12.已知P（1,1）,P2（2,3）,若用=-3丽，则点尸的坐标为.

13.设一条河的两岸互相平行，河水的流速为2m/s,-•艘小船以垂直于河岸方向4A/6m/s的速度驶向

对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s.

14.在四边形"CO中方=反=(1,1)总丽+篇■近=黑而，则四边形A8CO的面积

\DA\|OCJ\DU\

为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2024广东惠州高一段考］已知在平面直角坐标系中，向量a=(I,-2).b=(-2,6).

⑴若c〃(2a+b),且|c|=3,求向量c的坐标；

⑵若a与a+Ab的夹角为锐角，求实数A的取值范围.

16.12024广东茂名高一质检］Z\A3c的内角A,8,C的对边分别为已知A=^=2sinB.

⑴求。；

⑵若的囿积为今求的周长.

4

17.（2024辽宁大连高一质检］在△回《中.而=a，前=b，而=2元,/）为线段4c上任意一点出。交AE

于点O.

⑴若而二2以

①用a.b表示4点；

②若布=/前求z的值.

⑵若诙=x瓦5+）阮，求也+高的最小值.

18.在aABC中，内角ABC对应的三边分别为。力,c,且满足c(«cosB-町常安

⑴求角A;

⑵若4=75,求b+c的取值范围.

19.要将一件重要物品从某港口0用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口。

北偏西30。且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里附的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设

该小艇沿直线方向以-海里4寸的航行速度匀速行驶，经过/小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度的大小应为多少？

⑵假设小艇的最高航行速度只能达到30海里丽，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大

小)，使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.

第六章综合训练

1.C对于A,向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关，故A错误.

对于B,两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.

对于C,若a=b,则a,b必定共线，故a〃b,故C正确.

对于D,当a^b时,它们可以横长不相等，但可以同向或反向，故a与b可以为共线向量，故D错误.

故选C.

2.B由正弦定理，得名=则sin8二笔"=等等=".因为BOAC,所以A>8,而

sin/lsinFBC4V32

A=60。,所以8=450.

3.A由向量2a+2b与a+3b平行，得痴+2b=A(a+3b)二版+3处次£R,而向量a.b不平行，于是

2=A,3斤=2,所以2=%=亍故选A.

4.B因为a<a+b)=-l,|a|=2,所以a2+a・b=4+a♦b=-l,所以ab=-5,又|b|=3,所以

|a+2b|=J(a+2b产=Va2+4a-b4-4b2=02+4x(-S)+4x32=2店故选B.

5.B:前=2而,

AC-AB=2(AD-AC\：.AD=-^AB+^AC.

由已知可知彳瓦彳？不共线，

••・布，而前边的系数唯一确定.故选B.

6.D由余弦定理可得a+cxM廿2=〃+cx嗔c2422/卜+。〃2+碇2./=2"2+。2〃+(?2加艮整理

2hc2ac

得(。功)(/+庐昌=0,得a=b黄片+从二犬所以△AAC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

7.D选项A中/<48为钝角，只有一组解；

选项B中,为锐角，只有一组解；

选项C中,为直角，无解;

选项D中4>〃>asinB.B为锐角，有两组解.故选D.

8.D建立如图所示的平面直角坐标系，设N®y),因为4c=28,乙48。=120。,所以80=1.

因为的+g方=0,所以前二g而，即M是BC的中点，

所以A(-V3,0)JWi),ZX0,-l),C(V3,0),

所以宿=(苧,?,比=(V3J)=zDA?=〃x,y+1),由题意知物).

(三打),所以丽二(4+),所以祠•前二券(弓+国)+：(打)

故N=29对+4=29,

AAAALALAA

即故选D.

r

9.AB对A,|a|=Vt+YjI|当/=o时,旧|取最小值1,故A正确;对B,若a_Lb,则2f+f=0,解得/=0,

故B正确;对C,若r=l,a=(l,l),易知(当乎也是与a垂直的单位向量，故C错误;对D,若a与b

的夹角为钝角，则cos<a,b>=黑=/六0,且向量a与向量b不共线，即己2和，解得；<0

同1旬Vl+t2-V4+t2

且佚或，故D错误.故选AB.

10.

ABC以A为坐标原点<8所在直线为x轴,A。所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标

系,不妨令DC=1,

则A(0,0),8(2,0),E(0,1),D(0,3),C(1,3).

对于人,冠二(1,3),而=(2,0),丽=(-2,1),令前=/§+〃说,解得2=。=3,所以；?？=♦而+3屁，故A

正确；

对于B,BO=(-2,3),令8。=〃*C+〃BE,解得mg?三，所以BZ)=“C+”心故B正确；

对于C,近二(-1,3),令丽二〃说+4前,解得p工q=J屁=1BC一之前，故C正确;

6666

对于D,设近=入赤+y而，解得x=-^y=^,BC=^JE+*丽，故D错误.故选ABC.

U.AC由3=」一=

cos/1cosBcosC'

利用正弦定理可得包4=芈=当,

cos/lcosBcosC

即tanA=tanB=tanC,即A=B=C.

所以△45C是等边三角形,A正确;

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin28,所以2A=26或2A+26』，

△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确；

由正弦定理可得sinBcosC+sinCeos8=sinB,

即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,

则A=3,△ABC是等腰三角形,C正确；

由余弦定理的推论可得cosC=/：：F>0,c为锐角不一定是锐角,D不正确.

12.g,4)设P(x,y),由PI(-1,1),P2(2,3),罚=3讯，得(x+1y1)=・3(2/3)，)可得x+\=-3(2-x\y-

1二-3(3叨,解得工二%=4.所以点P的坐标为(红).

13.10为了使航向垂直河岸，船头必须斜向河的上游，设船在岸水中的速度为”,方向斜向河的

上游,河水的速度为V2,方向平行于河岸，指向河的下游.

|V2|=2m/s.

船在静水中的速度与河水的速度的合速度v垂直于河岸，且|V|=4A/Sm/s.

222

则|川二=y/v-2v-v2+—J(4V6)+2=10(m/s).

14.75由而=反=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形，且|而|二|反|二或,因为苏瓦5+

里前,所以可知平行四边形ABCD的对南线BD平分NABC,四边形。为菱形，其

雨A8C

边长为且对角线8。长等于边长的百倍，即BD=V3X显=n.设对角线BD与AC交于点E,

2

则。炉=(.2.傍)即CE=*所以三角形BCO的面积为:x^x¥=苧,所以四边形

A8CO的面积为2x—=8.

15.解⑴设c=(x,y),由题意知2a+b=(0,2).

因为c〃(2a+b),所以2K=0X)：K=0.

因为|c|=3=J%2+y2,所以产士3,

所以c=(0,3)或c=(0,-3).

(2)由题意a=(l,-2),b=(-2,6)J'la+Ab=(l-2A,-2+6/l).

当a与a+2b共线时,1x(-2+61)=-2x(1-2Q/=0.

因为a与a+2b的夹角为锐角，所以a・(a+2b)=lx(l-22)-2x(.2+62)>0,解得Av2且舁0,所以当a

14

与a+疝的夹角为锐角时，实数2的取值范围为(-8,0)U(0,焉).

16.解(1)由已知b=2sin得，^=2,

SHD

由正弦定理得二=号=2,

smBsm4

则a=2sinA=2x噂=倔即a=V3.

(2)S,M8c=，csin=笔得bc=2.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bc-cosA=(b+c)2-3bc\

即3=S+c)2-6,则b+c=3,

所以a+〃+c=3+g,即△ABC的周长为3+百.

17.解⑴①因为辐=2反，所以前=；显

故在△48E中，荏=而+而=通+1近

•3

=AB+l(AC-AB)=AB-1而+泳

q而+/='+4

oooo

②因为民0，。三点共线，设加=/前(0</<1),

所以而=AB+~BO=AB+tBD=AB+t(AD-AB)=(i-t)AB+tAD.

因为而二2万无所以而=13?,

所以而二(1d)而+g正.

又由①及已知，彳瓦?=4南-^zc,

所以[二=?解得

V3--35

(2)因为说二2比，又4,0,E三点共线，设彳9=〃?；花(Ovmvl),

所以B。=BA+AO=BA+niAE=BA+ni(BE-BA)=BA^n^BC-BA)=(]-m)BA+与BC,

_k_,_,(x=1-m,

又因为丽三廊+)BC,所以_2m

(7=亍，

1.11,111,1、冰1\11C2m+l,22n)、l(

所以五+TJT7=?7TT7；+?^T7=\?77^+1-/w)+(2w+1)]=-^2+T——>rv

lx3y+lZ(l-m)Zm+15z(l-m)z?n+l5Z-ZmZzn+l5

2+2/^±lx—)=-

yj2-2m2m+l3'

当月仅当赞=箫，即利]时，等号成立，

i-linZm+14

所以4+T■二的最小值为

2x3y+l3

18.解(1)因为cLcos8fL2花

由余弦定理得/J："_lb)=次加

2ac2

所以a2=b2+c2-bc.

因为cr=b2+c2-2bccosA,

所以cos4=；,又A£(0㈤，所以A带.

(2)由正弦定理得号=、=三=4=2,

sin/1sinnsineJ3

T

所以Z?=2sinBx*=2sinC,

所以/?+c=2sinB+2sinC=2sin8+2sin(4+8)

=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinZ?=3sinB+V3cosB

=2V5sin(8+?).

6

因为(0,较所以8+如浮).

3666

所以s