2025年中考数学押题预测卷（重庆卷）解析版

2025年中考数学押题预测卷解析版（重庆卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡匕

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题十一并交回。

第I卷（共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.

1.实数。，b,c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）

abc

I.I.Ii।ii.i1A

-3-2-1012345

A.b+c<0B.a-c<0C.|«|>\c\D.-2b<-2c

【答案】B

【详解】解:由数轴可知一3<a<—2<8<—l<3<c<4,

A+c>0,故A选项错误，不符合题意；a-c<0,故B选项正确，符合题意；

回<|。|，故C选项错误，不符合题意；

­：b<c,：.-2b>-2c,故D选项错误，不符合题意；故选：B.

2.如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成.拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主

视图的形状发生了变化，则拿走的是（）

A.甲B.乙C.丙D.1

1

【答案】B

【详解】解：由图形可知，拿走乙此图形主视图的形状发生了变化，故选B.

3.估计而xJ+J/的运算结果应在（）

A.4至I]5之间B.5至IJ6之间C.6至IJ7之间D.7至lj8之间

【答案】D

【详解】解：+m=

V1.5=V225<^<2t，3<2&4,A7<2>/3+4<8»

•••屈乂耳+厄的运算结果在7到8之间，故选：D.

4.如图，•条光线44经平面镜的反射光线3c经凹透镜折射后，其折射光线CQ的反向延长线过凹透镜的

一个焦点”.已知光线48的入射角为45。，反射光线8C与折射光线CD的夹角NBC0=155。，则光线CD与

光线44所央的锐角为（）

C.35。D.25°

【答案】A

【详解】解：如图：延0C相交于点E,由题意可得：NHBC=/ABH=/CBG=NEBG=45。,

VZZ?CD=155°,AZBCE=180°-ZBCD=25°,ZBGE=ZBCE+ZCBG=70°,

ABGE+Z.EBG+Z.EBG=180°,AZ.BEG=180°-ABGE-Z.EBG=65°.故选A.

5.如图.在平面直角坐标系中，△/8C与尸是位似图形，，立似中心为点。，若点。（4,1）的对应点

产（12,3）,则△力8c的面积与△/儿尸的面积之比为（）

2

C.1:9D.9:1

【答案】C

【详解】解：：点。(4』)，F(I2,3),0C=V17,OF=VlFTF=3V17»

•••△力4。与A£>£尸位似，位似中心为点O,••・△/BCSAOE/".・・W£=9£=J^=L

DFOF3后3

・•・△力"C的面积与/积之比=j"。］=1.故选：C.

\DF）⑴9

6.若点4（。/〃），4（〃+2,〃）是反比例函数），=■!■图象上的两点，下列说法正确的是（）

X

A.〃<〃，B.当。<一2时，n<m<0C.当一2<a<0时，m<n<0D.当Q>0时，0<w<n

【答案】B

【详解】解：反比例函数y的A=l>0,反比例函数图象分布在笫一三象限，在每个象限内，V随x的增

X

大而减小，A、无法确定。,。+2的正负，故无法确定〃<〃?，故说法不符合题意；

B、当a<-2时，a<a+2<0,n<m<0,故说法•正确，符合题意；

C^当-2<4V0时，«<0,«+2>0,n>0>ni,故说法错误，不符合题意；

D、当〃>0时，，0<a<a+2,0<n<ni,原说法错误，不符合题意；故选：B.

7.（2024・四川成都•模拟预测）将三项式展开，得到下列等式：

+〃+|）。=1

（/+a+l）=a2+〃+1

（M+a+l）+2。'+3a2+2a+l

（a,+a+l）=/+3/+6。4+7/+6a2+3a+\

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1,以

3

下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以（）计）之和，第k行共有（2%+1）

个数,则关于X的多项式«2+»_3）（/+》+1）'的展开式中，炉项的系数为（）

广义杨辉三角形

第。行

第1行11

第2行1232

第3行1367631

第4行4101619161041

A.15(/+〃-1)B.15(4，+〃+l)C.15(a~+2a+3)D.15(a~+2a-3)

【答案】D

『=/+2

【详解】解：由题意得,(/+X+14/+10/+16Y5+19d+16/+1Ox+4x+1,

/.(X2+x+1)5=(父+4/+101+16x'+19/+16x'+1Ox2+4x+1)(x2+x+l)

・・・12+*+1丫的展开式中/项的系数为1+10+彳=]5,一项的系数为16+10+4=30,

••・（/+公一3）（/+丫+1,的展开式中，一项的系数为15r+30”45,即15（/+2”3）,故选：D.

8.半圆的直径48在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上,H.JC=25C，连接力C,取的中点

657r

D.——

6

【详解】解：取48的中点0,连接0C,BC,

HIITIMITIII

01234567891011I2I3I4I5I6I7I8I9202I222324

由题意得，为8=16—6=10,A0A=0B=5,

丁点。为力C中点,•二OD〃BC、：・S&BCO=S&BCD>*,*S闭影=S扇形8c0

4

vAC=2BC-^AOC=2ZBOC,：N40C+N80C=180。，AZBOC=60°,

,0604x5225乃山壮A

'阴影=S向形seo=—'嬴­='以逃：A•

9.如图，矩形048。中，4(12,0),点。为8c的中点，点尸为力B上一一点，且82=2,将线段OP绕点。

顺时针旋转90。得到线段力。，若点。恰好落在线段。尸上，则点8的坐标为()

C.(12,8)D.(12,10)

【答案】C

二•四边形O/8C是矩形，/1(12,0),：.OA=BC=\2,AB=OC,ZB=ZOAB=90°,

•••点。为BC中点，BD=；BC=6.vZPDC?=90o,：.NPDB+ZQDH=90。,

又2PDB+ZDPB=90°,/DPB=4QDH.

/DBP=£DHQ=9/

在QBP和ADHQ中,/DPB=AQDH,ADBP知QHD,

DP=DQ

：.BP=DH=2,BD=QH=6,:.BH=BD+DH=6+2=8,

:.CH=CB-BH=T2-8=4,设AB=OC=h,则。(6,〃)，P(\2Ji-2),

h-2

设直线OP的解析式为〉=人小。0),把尸。2,6-2)代入得力-2=12k,=

h-2h-2

点。的横坐标为4,纵坐标为人-6,把。(4,力-6)代入y得：A-6=-x4,解得力=8.选：C.

10.数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如|匹-司在数轴上表示数天,%对应的点之间的距

5

离.现定义i种“。运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对

-2,1,2进行运算”，»|-2-1|+|-2-2|+|1-2|=8,下列说法正确的个数是（）

①对〃，-2,1进行“0运算”的结果是8,则〃=2；

②对a,b,c,。进行“。运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；

③对4,5,6,7,2025,q进行运算”，当其结果取最小时对应q的范围是1（”3KqK1014.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】解：①对力-2,1进行“0运算”的结果是8,

则|/j+2|+|n—l|+|l—（—2）|=8,/.|/!+2|+|/?—1|=5,

"i〃v_2时，_〃_2+(_〃+1)=5,解得：〃=—3；

当时，〃+2+(—〃+1)=5,方程无解;

当时，〃+2+(〃-1)=5,解得:w=2；故〃=-3或2,则①错误;

②对a,b,c,C进行“。运算”，,_4+2,_[+2|6_.+卜_《=卜_6|+2|”4+2b_4,

^a-b>0,a-c>0,b-c>0,\a-b\+2\a-c\+2\b-c\=a-b+2a-2c+2b-2c=3a+b-4c,

^a-b>0,a-c>0,b-c<0,\a-b\+2\a-c\+2\b-c\=a-b+2a-2c-2b+2c=3a-3bt

-b>0,a-c<0.h-c<0,\a-h\+2\a-c\+2\h-c\=a-h-2a+2c-2b+2c=-a-3b+4c,

当T«0,叱c<0,6-c40,\a-b\+2\a-c\+2\h-c\=-a+b-2a+2c-2b+2c=-3a-h+4c,

当a-bWO,a-c>0,b-c>0,\a-b\+2\a-c\+2\b-c\=-a+h+2a-2c+2b-2c=a+3h-4c,

3a-b<0,a-c<0,b-c>0,|f7—+21<7—c|+21/?—c|=—ci+b—2Q+2c+2b—2c——3a+3b,

化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确;

③若对4,5,6,7,…，2025,进行“。运算”，该数列共2022项，插入夕后共2023项，

为使两两差绝对值最小，则g应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为10'；°"=1014.5,

则当夕=1014.5时，运算结果最小，故③错误；故选：B

第II卷（共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

6

11.计算：2025°x-1+Vi6-V8-2-,=.

【答案】2

【详解】解：2025^-1+716-^-2-'=ixi+4-2--=-+2--=2,故答案为：2.

22222

12.酚配是一种常用的酸碱指示剂.通常情况下酚瞅遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色.实验室有四瓶没

有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸.小刚随机选了两瓶溶液并各滴

入一滴酚酥试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为

【答案】|2

【详解】解：将NaOH溶液、Cai。“%溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作4B、C、列表加卜.:

ABCD

A（8、G（C、/）（A/）

B（/、8）（C、B）（。、B）

C（%、。）（氏C）（DC

D（4。）（8、。）（C、O）

由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚酸试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果,

o27

所以滴入•滴酚酰试剂后只有一瓶呈现红色的概率为卷=彳；故答案为：彳.

13.如图，己知力8=%C,/BCD=90°,AADB=2ZDBC,若49=2,则切的长度为

【答案】4

【详解】解：如图，延长以、CD交于点N,延长。。至点使得CM=C7）,连接8W,

7

N

Z.ACB,•:/BCD=90°,ZACH+ZACD=90°,NABC+NAND=90。，

•;/ABC=NACB,：.4CD=ZAND,AC=AN,:.AB=AN,

vBN=AB+AN=2AN,vZ^CZ)=90°,:.BC工DM,

BN2

又：CM=CD,「.BC是。M的垂直平分线，..8W=4。，

又「BCA.DM,:"DBC=ZMBC,:"DBM=/DBC+/MBC=2/DBC,

又/ADB=2Z1DBC,/.Z.ADH="BM,AD//BM,"NADs^NBM,

47)JV1

.BM=BN=2，=24D=2x2=4,:.BD=BM=4,即：8。的长度为4.故答案为：4.

x-2v+[।

14.若关于X的一元一次不等式组丁至少有2个整数解，且关于y的分式方程Y+—=7的

八尸22-y

X4-67<3'

解是正整数，则所有满足条件的整数。的值之和是.

【答案】2

x-2<工+]0x

【详解】解：工一<"+,解不等式①得：X>-1解不等式②得：XW3-4,

x+a<3②2

则根据题意可知，不等式组的解集为：-|<x<3-a,

x+i>£zl

,•・关于x的一元一次不等式组’3至少有2个整数解，

X+4<3

则该不等式的整数解至少包含；-2,-1,.・.3-。之-1,解得；a<4,

分式方程一+/-=T去分母得：，-。-1=27,解得：y=胃，

y-22-y2

fl<4,,,•y是正整数，且J'w2,，y=l或j=3,.♦.a=_i或。=3,

.,.满足条件的整数。的和为-1+3=2,故答案为：2.

15.如图，是00的直径，点。在00上，过点C作CD14B于点D,点E为。。上一点，连接CE交48

于点F，CE=CB,延长AC与过点A的切线交于点〃，若。4-3,4。=2几，则,4〃=:DF=

8

【详解】解：・・•//是OO的直径，OA=3/.^ACB=90°,AB=20A=6,

AC=ylAB2-BC2=^62-（276）2=2G,tanZJ8C=强=我=孝，

〃是。。的切线，.•.NH48=90。，在内△93中,AH=ABtanZABH=6x包=3&,

2

连接EQCO,设。。交E8于点G,，：BC=CE,CO=CO,OE=OB,

：ACEO^ACBO,ZECO=ZBCO,CG1EB,在RtZX/CB中，NC44+N48C=90。，

-CDA.AB,ZADC=90°,NC4B+N/1CD=9O0,/.ZACD=ZABC,

4B力C/「J

vZ.CAB—Z.DAC».'.^ABC^^ACD,—；=,.*,AC:=AD-AB,即（2j3）=40x6,

ACAD\>

在RtACZ）O和RsBGO中，ZCDO=ZBGO=90°,ZCOD=ZBOG,CO=BO,

...RtACDO丝RS3G。，/.OG=OD=\,CG=CO+OG=4,BG=V/?C2-CG2=^2^-42=272,

­/OGLBE,:.BE=2BG=，6,,；NACE=NABE/C4B=NCEB、j.^AFC^^EFB

AFCFAC26—网

AFFB=EFCF则

~EF~~BF~~BE~4^/2~~4~设AF=®EF=4k,

BF=6-瓜k,CF=2瓜-4k,

，病（6-网=4k（2巫一%,解得,

9

64r~4

:.FD=AO-AF-DO=3---l=-f故答案为：30三.

16.定义：如果一个正整数能表示成两个正整数〃?，〃的平方差，那么称这个正整数为“智慧数''.例如

16=5二32,16就是一个臂慧数”，可以利用〃/-〃2=（〃?+〃）（〃:-〃）进行研究.下列结论：

①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数

都不是“智慧数其中正确的结论是.（填序号）

【答案】①②③

【详解】解：设止奇数为24+1（k为非负整数），一〃2=（心+〃）（〃「〃），令＜,

将西式相加可得:（加+〃）+（〃?—〃）=24+1+1,即痴=2左+2,解得：m=k+\,

将阳二4+1代入小一〃=1,解得：h•••〃为非负整数，...阳、〃为正整数，

.,•所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，故①正确；

设能被4整除的正整数为公（〃为正整数且%1）,•.•/-〃2=（〃?+〃）（加_〃），令〈n.

将两式相加可得：（m+n）+（m-n）=2k+2t即2加=2%+2,解得：m=k+l,

将阳=左+1代入阳-〃=2,解得〃=4—1.丁％为正整数且心1,「.〃?、〃为正整数，

・•・除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正

整数都是“智慧数”，故②正确；

假设存在正整数加、〃，使得加、〃2=（m+〃）（加—〃）是被4除余2的正整数，即病—〃2=必+2（%为整

数）.

+〃）与（加一〃）的奇偶性相同，若（m+〃）与（m-〃）都是奇数,则（m+〃）（“-〃）都是奇数,不可能是4k+2

这种偶数；若（m+〃）与（加-〃）都是偶数，则（m+〃）（〃­〃）能被4整除，也不可能是4%+2；

・•・被4除余2的正整数都不是“智慧数”.故③正确；

综二所述，正确的结论是①@③.故答案为：①@③.

三、解答题（本大题共8小题，其中17题16分,其余每题各10分,共86分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.）

17.先化简，再求值：

⑴|x+2+」~J,[其中x是满足条件*42的合适的非负整数.

Ix-2）x-4x+4

10

⑵[(x+2y)(x-2j，)-(x-2y)[+(-2j，)，其中工=-1,^=-1

【答案】(l)2^,-1⑵—2x+4y,-4

X

4X

【详解】（1）解：x+2+

x-2x2-4x+4

_(x+2)(x-2)+4(x-2)'_x2(x-2)2_x-2

（4分）

x-2x3x-2x3

是满足条件xK2的合适的非负整数，xwO,x^2,.\x=l,

此时原式=—=-1.（8分）

（2）原式=（x-2j，）［（x+2y）-（x-2y）］+（-2j，）

=（x-2y）-4y^-（-2y）=（4xy-Sy2）^（-2y）=-2x+4y,（12分）

当力=-1，y=-T时，

原式=-2x（-l）+4x—1^=2-6=-4.（16分）

18.在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在平行四边形中，连接一条对•角线，

分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形.可以利用平

行四边形的判定方法得到此结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

（1）用直尺和圆规，过点A作对角线8。的垂线，垂足为点E,连接CE.（只保留作图痕迹）

（2）己知：如图，在平行四边形48C。中，连接8。，HEtBD于点E,CF上8D于点F.求证:四边形NEW

是平行四边形.

证明：:四边形力3C7?为平行四边形，=且48〃。。....①.

♦：AE上BD,，N4EB=90°,同理可得，NCFD=90°..•.②

；.&ABERCDF（AAS）....③.

又＜4ELBD,N力EF=900,司理可得，ZCF£=90°.

；.NAEF=NCFE.；.④.，四边形4£C尸是平行四边形.

进一步思考：如果四边形力BCO是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点

作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤

11

【答案】（1）见解析（2）①NJ8£=NCDF；②，AEB="FD；®AE=CF-®AE\\CF;⑤平行四边形

【详解】（1）如图，点E即为所作；

（2）证明：二•四边形力38为平行四边形，.•./AnCO且43〃CD.・.N48E=NC。/

-AELBD,;ZEB=90°,同理可得，NCFD=90。

AAEB=ZCFD,；.△ABE知CDF（AAS）,：.AE=CFf

又TAELBD,^AEF=90°,同理可得，/CFE=90。,

:.乙4EF=NCFE,AE//CF,二四边形4爪才是平行四边形.（6分）

已知：如图，在矩形48co中，连接BQ,4ELBD『点、E,CFtBDr点、F.求证：四边形4EC尸是平

行四边形.

证明：•••四边形ABCD为矩形，/.AB=CD且48〃CD：.Z.ABE=ZCDF

-AELBD,.•.N/E5=90。，同理可得，NCFD=90。

:.NAEB=/CFD,:.^ABE^CDF（\AS）,AE=CF,

又•:AE1BD,ZAEF=90°,同理可得，NCFE=90°,

•.N4EF=NCFE,力上〃b,••・四边形/Eb是平行四边形.

工在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的

四边形是平行四边形.（10分）

19.国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购

买时参考的重要指标.某汽车杂志为了解必，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行

了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里=1千米）表示，分成4组：

A.300Vx<350；B.350。<400；C.400<x<450：D,A>450）；进行整理、描述和分析，下面给

出了部分信息：

a.10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330,375,435,410,410,470,380,365,365,410

410辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）：

12

c.10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402,425,410,425.

4两款纯电动汽车的实际续航里程统计表:

平均数中位数众数方差

M395395a1455

N397b4252070

根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）表格中的。=,b=；

（3）根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即

可）.（4）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进

行了打分（百分制），如下表：

续航里程得分百公里加速得分百公里能耗得分智能化水平得分

甲车829085100

乙车801009090

续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3,你认为小

王选择哪款车更合适？请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）410,406；（3）N款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析；

（4）选择甲款车更合适，理由见解析.

【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中。类的数量为1（）-1-3-4=2,补全条形统计图如下：

13

（2）330375435410410470380365365410中,410出现的次数最多,工众数。=410；

在M款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402,410,

.・.中位数人=402；410=406；故答案为：410,406；（5分）

（3）解：N款的实际续航里程更长，理由如下:

TN款的平均数较大，・・・N款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；（7分）

（4）解：选择甲款车更合适，理由如下：

4213

甲款车综合得分为:82x—+90x—+85x—+100x—=89.3（分）,

4213

乙款车综合得分为：80x-+100x—+90x—+90x—=88（分）,

89.3>88,・••选择甲款车更合适.（1（）分）

20.某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖内挂件的进价贵1元，用400元

购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同.

（I）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元；

（2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12

元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？

【答案】（1）该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元

（2）购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个

【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是“兀，则购进敖内挂件的单价是（x-l）兀，

由题意得："2=空，解得：工二10.（4分）

Xx-l

经检验，X=10是原方程的解，且符合题意，:.x-1=9,

答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元；（6分）

（2）设购进哪吒挂件加个，则购进敖丙挂件（500-〃?）个，

14

由题意得:（14-10）/n+（12-9）（500-m）=1800,解得：“300,.-.500-^=200,

答：购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个.（10分）

21.景点力的南偏东76。方向有景点8,景点力的正南方向9km有景点C,景点月和景点。有一条笔直的

公路相连，景点8在景点C北偏东38。方向，即线段4C=9km,N84C=76。，乙4C8=38。,

（1）求景点B到公路为C的最短距离（结果取整数）；

（2）景点8的东南方向4.23km有景点。，求景点。到公路4。的最短距离（结果取整数）.

参考数据：tan76。取4.0,tan38。取0.8,加取L41.

【答案】⑴6km⑵9km

【详解】（1）解：如图所示，过点8作于E,设“7km,

B卜'x।

在RtA/43a|i,tanA=,/.tan76°=——,AE=­xkm；

AEAE4

BEx

在RIAEAC中，tanC=—,tan38°=——,/.CE=1.25xkm,

CECE

VAC-AE+CE-9km,/.-x+1.25x=9,解得x=6,/.BE=6km,

4

答：景点4到公路/C的最短距离为6km：(5分)

(2)解：如图所示，过点4作过点。作OP«L力。于。，交BH尸〃，则四边形是矩形,

15

A

Z.PH=BE=6km,在RtzXBO"中，sinZDBH=——，

BD

：.sin45°=——，ADH«3km,；.DP=PH+DH=9km,

4.23

答：景点。到公路/C的最短距离为9km.（10分）

22.如图1,在矩形力8c。中，点七为。。中点，连接的，4D=4,DC=6,点、P沿着C-BfE的方向

运动，到点E时停止运动，连接设点/1运动的路程为了，"8P的面积为乂.

O]I234567«9x

图2

（1）直接写出切的解析式及自变量工的取值范围；（2）在图2中画出切的图象，并写出一条切的性质：（3）反比

Q

例函数％=3如图所示，请直接写出乂之必时，自变量工的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过

X

0.2）.

-3x+12（0<x<4）

【答案】（1）必=1248/，-（2）作图见解析，性质见解析（答案不唯一）

—X---（4<x<9）

（3）0.8<x<3.2或4.7«x<9.0（答案不唯一）

【详解】（1）解：当点尸沿着。的方向运动时，设点P运动的路程为工，PC=x,

16

在矩形力4c。中，BC=AD=4,则3尸=5C-尸C=4-X,

/.y】=S,"8P=-^x6x（4-x）=-3x+12（0<x<4）；

当点尸沿着"f£的方向运动时，设点P运动的路程为x,•..8尸=》-4,

过点尸作如图所示：.,.//7萤=90°,

在矩形为8c。中，4B=DC=6,ZC=90°,AB//CD,则/CEB=NPBF,NC=NPFB=903

PFBC1

.—PFBs/CE,即酢二=，•••点E为。。中点，...EC=；DC=3,

PBBE2

在RaBCE中，BC=4,EC=3,则由勾股定理可得BE=病，法7=5，

pp44114124K

..・1=£,解得尸尸二工（工一4）,.•.M=S“切=3/8,户=5X6X£（X—4）=W、—w（4<x<9）；

当点产与点4重合时，△力台。不存在，没有面积:

-3x+12（0<x<4）

综上所述，必=（1248/，八\；（4分）

-X---（4<x<9）

（2）解:加图所示：

性质：当0<x<4时，必随“增大而减小；当4Vx<9时,%随力增大而增大（答案不唯一）；（7分）

-3x+12（0<x<4）

⑶解：由⑵M%=0_*%<9）、0的图象如下:

17

-3x+12（0<x<4）

当片之月时，X=1248/，c、函数图象在函数图象的上方,

—x---（4<x<9）x

.55

解得、=笥回2±¥

33

1248

v=x—（

55124882…s八nza12±V264.V66

联0,贝mil---=-,即3尸一12X-10=0,解&得x=——-——=2±-—,

155x63

x

（负值舍去）;当必2外时，0.84x43.2或4.74xv9.0.（10分）

23.如图1,已知抛物线。|：>=/+m+3与x轴交于点力㈠⑼和点5（3,0）,与』轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上的一动点，作"_L8C于点“，当PH最k时,求点尸

的坐标；（3）如图2,将抛物线G向右平移一个单位长度得到抛物线G，点M,N都在抛物线G上，且分别

在第一象限和第三象限，连接MN,分别交x轴、V轴于点£、「，若NNOF=ZMOE,求证：直线MM经

过一定点.

18

f315、

【答案】（l）P=3+2x+3（2）（3）见详解

124）

【详解】（1）解：将点力（-1,0）、点8（3,0）代入抛物线。|：'=仆2+次+3,

a-b+3=0[a=-1

可得c”,3解得Ic，・•・抛物线的解析式为kT2X+3；（2分）

9。+36+3=0h=2、

（2）解：如下图，过点户作尸，"Lt轴于点“，交直线8c于点N,

•••8(3,0),N8OC=90。，：.OB=OC=3,AZ.OBC=ZOCB=ix90°=45°,

•・・PM_Lx轴，/.=90°-Z-OBC=45°,：./PNH=4MNB-

,:PHLBC,・•・4NPH=90°-NPNH=45°=NPNH,

:,PH=NH,即△尸为等腰直角三角形，Z.PH=PNxcosZNPH=PNxcos450=—PN.

2

设直线BC解析式为歹=履+“攵H0),将点5(3,0),C(0,3)代入，

[3k+b.=0优=-1

可得<',解得],,工直线8。解析式为y=-x+3,

b、=3[A=3

设P(x,-M+2x+3),则N(x,-x+3),:.PN=-x~+2x+3-(-x+3)=-x~+3x,

（、

・•・当x=：3时，P"取最大值，此时点，的坐标为引3彳15；（6分）

（3）如下图，过点M作轴于点T,过点N作NK_Ly轴于点K,

19

•・•抛物线y=*+2x+3=-（x-l：「+4,

・•・将其向右平移•个单位长度得到抛物线G，则抛物线的解析式为y=-（x-l-l）2+4=-f+4x,

•・•点M,N都在抛物线C,上，且分别在第一象限和第三象限，

:.可设点M的坐标为（须,-+4%），点N的坐标为（9，-W+4心），

...一—x『+4x],OT=xlfNK=-X2,OK-x^-4x2f

设直线MN的解析式为y=mx+n（m工0）,联立直线MN的解析式和抛物线G的解析式,

y+4\

可得〈，整理可得—+(〃L4)X+〃=0,则有司+居=4一小，x/,=〃，

y=mx+n

•:NNOF=NMOE,NNKO=NMTO=90。,：.^ONK^OMT,

.OKNKtlnx2~—4X27、./x2./、

,,77F=T7F,即一一'一D，・・一2/二一(2七)+4x,x(x,+X)-16X,X,

U1MlX]—Xy-4A,222

:.-n=-n2+4/7(4-W)-I6AZ,整理可得〃(〃+4m-l)=0,由图像可知〃工0,

1/J...1/?

n+4m-1=0,tn=——,，直线MN的解析式为y=1—x+〃，

44

当x=4时，可有歹=1,•,•直线MN经过一定点(4,1).(10分)

24.在△力8c中，4c8=90。，AC=BC,8C绕点C顺时针旋转角度a(0。<a<360。)得到QC.

（1）如图1,若a=30。，连接力。交3c于点心若力C=6,求。石的长;

（2）如图2,若0<a<90。，