高考数学一模试题分类汇编：立体几何与空间向量（原卷版）

专题07立体几何与空间向量

、二18大考点概览

考点01几何体表面积体积问题

考点02截面、轨迹与最短距离问题

考点03点线面位置关系

考点04空间向量基本定理

考点05空间向量线面角问题

考点06空间向量二面角与面面角问题

考点07空间向量点到面距离问题

考点08空间向量探索性问题

■•考点1几何体表面积体积问题

I.（2026・辽宁大连•一模）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为

2.（2026•黑龙江哈尔滨••模）如图，圆锥尸O的底面直径和高均是2,过。尸的中点O'作平行于底面的截

面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余4的几何体的体积为（）

8

「

「

登

加

£加

一

C5n一

A.4B.3一D.4

12

3.（2026•黑龙江海伦市六中•一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面/WC。为矩形，上4_L平面4BCRE

为PC的中点，AB=PA=2,直线AE与8c所成角的大小为二，则四棱锥夕-的体积为.

4.（2026•三省三校.一模）圆台母线长为3,上、下底面半径比为1:2,当圆台体积最大时，以此圆台的上、

下底面为截面的球的表面积为.

5.（2026•辽宁沈阳•一模）已知球。内切于正四棱台（即球与该壬四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且

该正四棱台的上、下底面棱长之比为1:2,则球。与该正四棱台的体积之比为.

6.（2026•内蒙古锡林郭勒盟二中•一模）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球,

小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为.

*•考点2截面、轨迹与最短距离问题

1.（2026.黑龙江哈尔滨.一模）平行六面体ABCO-ABIGQ所有棱长都相等，钻=2,点A在底面"6的

射影为中点，且直线4A与底面A4C/）夹角为45。，则三棱锥A-A8。的外接球被平面BCC圈截得的截

面面积为.

2.（2026・吉林长春•一模）（多选）已知正方体A8CO-AMG〃的棱长为2,点P是侧面上的一个动

A.平面。建厂截该正方体所得的截面图形是正方形

B.平面平面

c.若卜片=石，则点2的轨迹长度为T

D.若点尸在上，则|叫+归可的最小值为如

3.（2026•黑龙江研远联合•一模）（多选）如图，已知正方体力8CD-A4GA的棱长为2,P是正方形48co

（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（）

A.三棱锥4-A2P的体积为定值

B.存在点P,使得3G

C.若DF上BQ,则尸点在正方形ABC。内的运动轨迹长度为2&

D.若点P为4。的中点，点Q为8瓦的中点，过尸，Q作平面al平面4CGA，则平面&截正方体

ABCQ-A8c。所得截面的面积为36

考点3点线面位置关系

1.12026•内蒙古呼和浩特•一模）若/,m是两条不同的直线，阳平行于平面。，则“/JLm”是“/_La”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2026•三省三校••模）设/，巾是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，以下说法正确的是（）

A.若/_!_〃?，mlla,贝B.若〃/尸，aLfi,则/_La

C.若/_L〃z,ml/3,则/J_aD.若/_L夕，mla,则/_La

3.（2026•辽宁大连•一模）（多选）设A4.C,。是空间中四个不同的点，下列命题正确的是（）

A.若AC与8D是异面直线，则4。与BC是异面直线

B.若AB=AC,DB=DC,则AO=6C

C.若AB=AC,DB=DC,则ADJ.BC

D.若AB工BC,BC工CD,则AB//CD

4.（2026•黑龙江•一模）三棱锥M-ABC中，M4_L平面ABC,是边长为4的正三角形，MA=3,E

是WC的中点，则直线也与AE所成角的余弦值是（）

5.（2026•辽宁辽阳•一•模）在四棱锥中，E4_1_平面48CD,四边形A8CD是正方形，AB=AP=2,

E是PO的中点，则异面直线A3与CE所成角的余弦值为（）

A3瓜口Rrx/6n\/6

81263

6.（2026•吉林白城联合体•一模）在一个水平平面0上放一个半径为2的球，球面上两点八,B满足OA±OBf

。是球心，且点A到平面。的距离为3,则点8到平面。距离的最大值为（）

A.—B.—C.2+拒D.2+G

考点4空间向量基本定理

1.（2026•吉林长春•一•模）如图，在平行六面体A8CO-A8CQ中，若明fAB+yAO+zAA,，则（x,y,z）=

2.：2026♦黑龙江哈尔滨•一模）（多选）如图，在正三棱锥尸-A8C中，AB=3,。是PC中点，E是C8中点,

点凡G满足Q-2AF,GB-\AG,直线。巴GE相交于“，下列说法正确的是（）

22

A.ABPC=0B.ABFG=-3

C.AC与C”是共线向量D.GD=-CA+-CB+-CP

332

考点5空间向量线面角问题

1.：2026•吉林白山•一•模）如图，已知在正四棱柱ABC。-A蜴GA中，四边形A8CO的边长均为2,A4,=4,

且瓦£G分别是A4,CD,DD、的中点.

(1)证明：BC

(2)求直线与平面A/G所成角的正弦值.

2.(2026•内蒙古呼和浩特•一模)如图，在圆台。01中，A,B,。是下底面圆周上的三点,AC为下底面

圆的直径，M为的中点.

(1)证明：48_1平面。］。必；

(2)若(叫=OA=AB,求直线4C与平面qA8所成角的正弦值.

考点6空间向量二面角与面面角问题

1.：2026•吉林白城联合体•一模)如图，46、A8分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且

C,。分别是圆。上在A8同侧的两点，且/AOC=NCOO=NOO8=g，石是线段OC上一点(不含端点).

⑴求证：0苫//平面以BD；

(2)已知圆柱。0的高为6,表面积为54兀，OE=2,求平面。4£与平面88避夹角的余弦值.

2.(2026•内蒙古锡林郭勒盟二中•一模)如图，在四棱锥P-A3CZ)中，平面尸AB平面ABCO,底面A8CO

是直角梯形，AD//BC,AH1.AD,且PA=AZ)=28C,E为CQ的中点，F为线段。。上的点，PF=3FD.

(I)证明：E产〃平面PA3；

(2)若PB=^BC=^AB,点M是A3的中点，求平面ME尸与平面庄户夹角的余弦值.

3.(2026•黑龙江海伦市六中•一模)在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是梯形，

AD//BC,AB±AD,BC=2,AB=AD=l,尸。=&，二E4B是正三角形，E为棱尸C中点.

⑴求证：E。//平面E4B：

(2)求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值.

4.(2026.黑龙江•一模)如图，在三棱锥A—8CO中，平面A3O_L平面8cO,AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OA1BC；

⑵若SCO是边长为2的等边三角形，三棱锥A-BCQ的体积为半，点E在棱4。上，DE=2EA，求二

面角E—BC—。的大小.

3

5.（2026•辽宁辽阳•一模）如图，在正方体A6CO—A线GA中，入。=3叫，QGM为线段8。上

的动点，是点M关于A。所在直线的对称点.

(1)证明：PQ1MB..

（2）若正方体ABCD-ABCR的棱长为4,求三棱锥MPQ的体积;

⑶当8M=3MD时，求二面角M'-PQ-M的余弦值的绝对值.

考点7空间向量点到面距离问题

1.（2026.内蒙古锡林郭勒盟二中.一模）（多选）如图，矩形3DE尸所在平面与正方形A3CQ所在平面互相

垂直，AD=DE=4,G为线段AE上的动点，则（）

A.AEA.CF

B.若G为线段AE的中点，则G8〃平面C£F

C.点8到平面CEV的距离为迪

3

D.4G?+CG?的最小值为48

2.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）如图，在四棱锥P-A46中，底面ABC。为菱形，E,尸分别为C7ZPA

的中点.

⑴证明：律//平面尸8C：

⑵若平面尸AB_L平面/WC。，PA=PB,AB=2,NW>=60。，平面必E与平面以8夹角的余弦值为拽L

求点尸到平面08C的距离.

考点8空间向量探索性问题

1.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）如图，在四棱锥七-A3CO中，四边形ABC。为正方形，G,产分别是线段8/3,

”的中点.

⑴求证：G厂〃平面ABE；

⑵若平面平面A8CD,AEJ.BE,/3=2,且平面AD月与平面CDE夹角余弦值为名巨，求AE的

19

长.

2.(2026•辽宁沈阳•一模)如图，四棱锥P-ABCO的底面4BCQ是菱形，QO_L平面4BCD,

PD=CD=BD=2,E为PC的中点.

⑴证明：幺〃平面80七；

(2)求三棱锥P-8OE的体积；

(3)在棱AP上是否存在一点尸，使得二面角尸正弦值为坦？若存在，求出"的长；若不存在,

14

请说明理由.

3.(2026•黑龙江研远联合••模)如图，在多面体A8CDM中，平面平面ABC。，底面A8C£＞为直

角梯形，ADHBC,ABLBC,A8=AO=；BC=2,AB//EF,AB=EFtAF=6BF=20

(1)证明：CD±BF；

⑵在线段CE上是否存在点”‘使得点M到平面曲的距离为半？若存在‘求出党的值；若不存在,

说明理由.

4.（2026•三省三校•一模）在V4BC中，ZC=90°,8c=3,AC=6,D,E分别是AC,4B上的点，满

足DE〃BC，且C/）=2.将VAOE沿OE折起到△AQE的位置，使AC_LC。，存在动点M使

（1）求