2026年高中数学人教A版选修二第五章《一元函数的导数及其应用》测试卷及答案解析

2026年高中数学人教A版选修二第五章《一元函数的导数及其应用》测试卷

（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）

姓名:，成绩:

一.选择题（共8小题）

I.若瘗数/（%）=Q，nx+t+爰（a工0）既有极大值也有极小值，则错误的是（）

A.bc>()B.ab>()C.b2+Sac>0D.ac<()

2.对任意的在R,f(x)=/,f(0)=-I,则/(x)=()

A.FB.ex-2C.rx-1D.e2x-2

3.下图是导函数y=fG）的图象，则原函数y=/（x）的图象可能为（）

是增函数，则〃是9的（）

A.充要条件B,充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.函数/(%)=-siav,AG[O,2TT]的最小值为()

7T\/3S7TV3

A.--一B.0C.7TD.一十一

6262

/•⑴二（

6.已知函数/（%）=ln(3X)+4JG则，Ax)

A.5B.-5C.-10D.10

1

7.已知函数/（%）=支+alog2x,若♦（知=0,则实数a的值为()

A.历4B.In2C.-In4D.-In2

8.已知函数/（.r）及其导数，（x）,若存在即使得/（xo）=/（回），则称M）是/（x）的一个“巧值点”.下列

四个函数中，没有“巧值点”的是（）

A.f(x)=/B./(x)=!nxC.f(x)=sin,vD.f(A-)=2V

二.多选题（共3小题）

（多选）9,下列函数在定义域内不是单调函数的是（)

A./(x)=xexB./(x)=xhix

C.j(x)=ev-xD.f(x)=cosx-2x

（多选）10.已知函数/（x）=2?-6x+c（xGR）,若函数/（x）恰有两个零点，则c可以为（)

A.-4B.6C.4D.2

(多选)u.已知/(x)为函数/a)的导函数，当*>o时，有了。)-xf(A)>o恒成立，则下列不等式一定成

立的是()

1111

A./(-)>2/(-)B./(-)<2f(-)

24,24

11

C./(-)>2/(1)D.2f(-)>/(1)

三.填空题(共3小题)

12.函数/Q)_/+竽+4的极值点为

13.已知/(x)=lnx+2xf(1)(其中/表示/(x)的导函数)，则/(2)=.

14.要做一个长方体带盖的箱子，其体积为36c〃孔底面长方形长与宽的比为3：1,则当它的长为时，可

使其表面积最小，最小表面积为.

四.解答题(共5小题)

15.已知函数/(x)="(2?+ax-1：,其中aWR,若/(x)的图象在点(0,/(0))处的切线方程为2工+力+1=0.

(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数/(工)在区间［-3,1］上的最值.

16.设^eR,函数/(x)=Z/LV-ax.

（1）若a=3,求曲线y=/（x）在尸（1,-3）处的切线方程;

（2）求函数/（X）单调区间.

17.已知函数/（x）=（x-2）Inx.

（1）求/（6）；

（2）求函数/（工）的图象在点（1./（I））处的切线方程.

18.已知函数/(x)=/ZLV-ax,a>0.

⑴若“白，求函数月(x)=xf(x)的单调区间;

(2)证明：#(x)+2〃W1.

19.已知函数/(%)=琉r

(1)若机=2,求/(k)的单调区间；

(2)若加=1,求函数g(x)=f(x)+ln(1-x)的零点.

2026年高中数学人教A版选修二第五章《一元函数的导数及其应用》测试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.若讴数/■。)=。》工+$+£(。工0)既有极大值也有极小值，则错误的是()

A.加>()B.ab>0C.序+8〃°>0D.ac<()

解：函数/(x)的定义域为(0,+8),由/"⑶=。仇工+《+爰(QH0),得.(%)=/_a—,二以2者—2c,

因为困数/(x)既有极大值也有极小值，所以函数r(x)在(0,+8)上有两个变号零点，而4关0,

4=〃+8QC>O

xi+上=(>°»所以b2+Sac>0,ab>0,ac<0,

XiX2=一当>0

所以/加VO,即〃c、VO.故BCD正确,A错误.故选：A1.

2.对任意的.隹R,f(x)=F,/(0)=-I,则/(x)=()

A.B."-2C.-1D.e2x-2

解：因为/(x)=",所以/(x)=/+c,则f(0)=\+c=-1,所以c=-2,则f(x)="-2.故选：B.

3.下图是导函数y=f(x)的图象，则原函数y=/(x)的图象可能为()

当在(-8,加)，(4，+8)时，/(x)>0,所以/(%)的递增区间为(-8,刘)，(^,+8)

当加(XI,A-2)时，/(X)<0,所以/(X)的递减区间为(片，A-2).只有。符合.故选：C.

4.已知函数/(%)="-内的定义域为(0,+8),p：aVl,q：y=f(x)是增函数，则〃是夕的()

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解：函数/(/)=8-or的定义域为(0,+8),/("=--小若函数/(x)为增函数，则/(x)=--。20

在(()，+8)上恒成立，等价于在(0,+8)上恒成立，所以〃We°=l,

所以命题/)，=/(%)是增函数，等价于aWl,显然，aVl是的充分不必要条件.故选：B.

5.函数/(x)=-siius.vG[0»2TT]的最小值为()

nV357rH

A.———B.0C.ITD.—+—

6262

解：f(x)=-sinx,xG[O,2n]»f(x)=—cosx,令/(.r)>0>可得§<x<"等，令/(x)<0>可得

所以/(x)在[0,—)和(三，2ir]上单调递减，在(3—)上单调递增，

33333

所以/(x)的极小值为/(2)=5-sin-=--—,又/(2n)=n,

3。362

所以f(x)在工£[0,2TT]的最小值为三—故选：A.

62

6.已知函数f(x)=ln(3x)+4x,则〃TH——"，⑴=()

dx-*04%

A.5B.-5C.-10D.10

解：根据题意，Um=(-2)lim=-2f(1),

4X-*OdX4XT0—ZAX

函数/(x)=ln(3x)+4x,其导数/(x)=]+4,则/(1)=5,

故〃讥久上工然必n=-21(1)=-10,故选：C.

4XT0

1

7.已知函数/(公=£+〃k)gM,若/⑴=0,则实数〃的值为()

A./〃4B.In2C.-In4D.-In2

解：f(x)——+Q，/(I)=-2+-^2=0,a=ln4.故选：A.

8.已知函数/（.r）及其导数/（x）,若存在即使得/Go）=/（刈），则称炖是/（工）的一个“巧值点”.下列

四个函数中，没有“巧值点”的是（）

A./(x)=/B.f(x)=!nxC.f(x)=sin,vD.f(x)=2V

（）2

解：对于A中，由/（xo）=fAO得2xo=x0,解得：xo=O或2,故A错误；

对于B,由/（刈）=/（刈）得/〃xo=j因为函数尸如。与尸;图像有交点，所以存在比使得阮vo=”成立,

xoAox0

故8错误；对于C,由/（刈）=/（刈）得siaro=cow）,解得出=今+k/r,kWZ,故。错误；

对于。中，由/（xo）=/（A-0）得2“。/〃2=2，。得/〃2=1,显然无解，故。正确.故选：D.

二.多选题（共3小题）

（多选）9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（）

x

A.f(x)=xeB.f(x)=A7/U-

C./(x)=ex-xD.f(x)=cosx-2x

解：A.f(x)=ex+xex=(x+1)ex,.*.x<-1时，/(x)<0,f(x)单调递减；x>-1时，/(x)>0,f

(x)单调递增，：.f(x)在定义域内不是单调函数；B.f(x)=/依+1,・・・0VxV：时，/(X)<0,/(x)

单调递减；时，/(x)单调递增，・・・/(外在定义域内不是单调函数；

C.f（x）=F-1,・・・xV0时，/（x）<0,f（x）单调递减：工>0时，f（x）>0,/（x）单调递增,

.V（X）在定义域内不是单调函数；

D.f(x)=-sinx-2<0,：,f(x)在定义域内是单调函数.故选：ABC.

(多选)10.已知函数/Q)=2A3-6A+C(A€R),若函数/Q)恰有两个零点，则c可以为(

A.-4B.6C.4D.2

解：由于/(x)=2?-6A+C,则/(x)=6/-6,由/(x)=0得工=±1,

由三次函数图像的性质可知，要使/(X)恰有两个零点，则/(I)=c-4=0或/(-1)=。+4=0,

故c=4或-4.

故选：AC.

(多选)II.已知/CO为困数/(%)的导困数，当x>0时，有/(x)-xf(x)>0恒成立，则下列不等式一定成

立的是()

1111

A./(-)>2々)B./(-)<2f(-)

1

C./(-)>2/(1)D.2/(-)>/(1)

22

解：令尸(幻=与2

所以尸(X)=广吗”旦

因为当x>0时，有/(x)-xf(x)>()恒成立，

所以当x>0时.，F'(x)<0,F(%)单调递减,

所以尸(3<F(i),F(i)>F(1),

242

所以<4/(2)>2/弓)>/(D,

所以/(：)<4(；)，2/(1)

4*乙

故选：BD.

三.填空题(共3小题)

12.函数/(x)=/+?+4的极值点为・2和2.

解：函数/(x)的定义域为{水W0},

f⑺=(2乂十一-八十口人十4)=M-4,

X2X2，

令，(x)=0,得％=±2,

所以在(-8,-2),(2,+8)上，(x)>0,/(x)单调递增,

在(・2,0),(0,2)上/(x)<0,f(x)单调递减，

所以/(x)的极大值点为x=-2,极小值点为x=2,

故答案为：-2和2.

13.已知/(x)=lnx+2xf(1)(其中/表示/(x)的导函数)，则/(2)=_-

解:f(x)=^+2f(l),

・"(I)=1+2f(1),解得/(1)=-1,

；・尸㈤=-2,

13

・"⑵=2-2=-2.

故答案为:—

14.要做一个长方体带盖的箱子，其体积为36c〃孔底面长方形长与宽的比为3：1,则当它的长为6时,可使

其表面积最小，最小表面积为72〃尸.

解：根据题意，设长方体中底面长方形的宽为耳〃，该长方体的表面积用/(X)表示；

由于底面长方形长与宽的比为3：1,则长方体中底面长方形的长为3m7,

3612

由于长方体的体积为36c〃P,则其高为荻=

则/(x)=2X(3/+xx,+3。号)=67+当

则/(x)=12.「线=12闿-8),

若/(X)=12(*8)=0,即/=8,解可得彳=2；

xL

在区间(0,2)上，/(x)<0,/(x)为减函数,

在区间(2,+oo)上，f(x)>0,/(x)为增函数,

则当x=2时，/(%)取得最小值，且其最小值/⑵=6X4+岑=72后

故当长方体底面的长为3X2=6时，长方体的表面积最小，最小表面积为72〃内

故答案为:6,72m2.

四.解答题(共5小题)

15.已知函数/Ci)(2r+av-E,其中企R,若f(x)的图象在点(0,/(0))处的切线方程为2x+〃y+l=0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数/(外在区间[-3,1]上的最值.

解：(I)依题意，/(0)=-1,切点(0,-1)在切线2x+外+1=0上，

则b=l,f(x)=ex(Ix^+ax-1)+ex(4x+a)=^r[2x2+(〃+4)x+a-1],

而f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为-2,

所以7(0)=a-1=-2,解得a=~1,

所以函数/(x)的解析式为="(2/-%7).

(2)由(1)知，/(x)="(2F+3X-2)=F(X+2)(2X-1),

由f(x)=0得x=-2或％=I，

当x［-3,1］时，-3VxV-2或［<rVl，有/(x)>0；-2<x<1,有f(x)<0,

因此函数/(x)在［-3,-2］,,,1］上单调递增,在［-2,1上单调递减,

又〃-3)=%/(-2)=/(1)=-el/(I)=0,

所以/(x)在［-3,1］上的最大值为当，最小值为-日.

16.设"WR,函数/(x)=//u--ax.

(I)若〃=3,求曲线y=/(x)在p(1,-3)处的切线方程；

(2)求函数f(x)单调区间.

解：(1)当。=3时，f(x)=lnx-3x,函数的定义域为(0,+8),且/(%)=：-3=上/，

(1)=-2,

・•・过点尸的切线方程为尹3=-2(x-I),即为2x+y+l=0；

(2)f(x)=1-a=i^(x>0).

当aWO时，/(x)>0,函数/G)在(0,+8)上单调递增，

当心0时，令，(x)>0,解得0aq令/(x)<0,解得不吟故函数在(0,》单调递增，在♦，+8)单

调递减.

综上，当“W0时，函数/(x)的增区间为(0,+8),当。>0时，函数f(k)的增区间为(0,》，减区间为(J,

+00).

17.已知函数/(x)=(x-2)Inx.

(1)求了⑻；

(2)求函数/(X)的图象在点(1.7(I))处的切线方程.

解：(1)函数/(x)=(x-2)Inx.f(x)=lnx+\-l，

人

22

f(6)=1+—=2-a

(2)/(1)=0,f(1)=加1+1・2=-1,

所以函数/(x)的图象在点(1，/(l))处的切线方程：)，=-(.t-1),

即x+y-1=().

18.已知函数/(x)=hix-ax,a>0.

(I)若。=求函数g(x)=xf(x)的单调区间；

(2)证明：afCx)+%W1.

2

(1)解：g(x)=xlnx-^xfx>0,g'(x)=lnx-x+l,g"(x)=上当

/X

当0<x<l时，g(x)>0,/(x)单调递增，当£>1时，g(x)<0,/(x)单调递减，

故夕(A)(I)=0,

故g(x)的单调递减区间(0,+8),没有递增区间：

(2)证明：/(刈=上善，x>0,

因为4>0,

所以当0Vx