解一元二次方程（一）知识解读-九年级数学上册（人教版）

专题21.2解一元二次方程（一）（知识解读）

【直击考点】

【老酎目标】

1、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程;

2、理解并掌握用配方法解一元二次方程；

3、理解并掌握用公式法解一元二次方程；

【初钠点梳理】

考点1解一元二次方程一直接开方：

（1）如X'P（p2°）或（nx+m）匕P（〃NO）的一元二次方程可直J舔住直接开平方解

一元二次方程。

（2）如果化成x2=P的形式，那么可微=±而

（3）如果方程能化成（0\+加）2=〃（/*（））的形式，那么nx+m=±而，进而得出方程的根

注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数

（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程

（3）方法是根据平方根的意义开平方

考点2解一元二次方程-配方法：

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0化W0）的一般步骤是：

①化为一般形式：

②移项，将常数项移到方程的右边：

③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方：化原方程为（x+a）2=b的形式;

⑤如果b20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b《0,则原方程无解.

总结：

’依据：平方根的定义

此直接开乎方法：戈?=pS2。）1.二次项系数化为1

方＞关甄2.方程两边都加上一次项系数一半的平方

法3.降次，转化为一元一次方程

配方法：（X+M-=〃（〃20）

重点：配成完全平方式

考点3解一元二次方程-公式法：

用公式法求一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式a*。版+c=0,确定a、b、c的值（注意符号）

（2）求出判别式△=b°—4ac的值，判断根的情况

（3）在△=1^-42（:20（注：此处1读“德尔塔”）的前提F,把a、b、c的值代入公式

x二一1土6「土招-4砒进行计算,求出方程的根。

2a2a

【典例今折】

【考点1解一元二次方程-直接平方】

【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程7-左=0的一个根，则&

的值是（）

A.2B.4C.-2D.±2

【变式1-1]（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（,【22）2=0的根为（）

A.X\=X2=22B.xi=X2=-22

C.xi=0,X2=22D.XI=-22,月=22

【变式1-2]（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程/-〃?=0的一个根是-1,

则m的值为（）

A.2B.-1C.0D.1

【变式1-3]（2021秋•井研县期末）若方程（x-1户=〃，有解，则〃?的取值范围是（）

A.〃？W0B.620C.m<0D.m>0

【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：

（1）（2x7）2=-8；（2）64（x+1）2=81.

【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x-1）2-且=0.

2

【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x-1）2-25=0.

【考点2解一元二次方程-配方法】

【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程4x・5=0时，配方结果正确的是（）

A.（x-2）2=1B.（x-2）2=-1C.（x-2）2=9D.（x-2）2=-9

【变式3・1】（2021秋•渝中区校级期末）一元二次方程J・6x+l=0配方后可化为（）

A.（x+3）2=2B.（x-3）2=8C.（x-3）2=2D.（x-6）2=35

【变式3-2]（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程，-2x-3=0化成（户/?）2=左的形

式，则攵等于（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-3]（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2-6.t+6=0化成（x+4）2=8的形式，

则a,b的值分别是（）

A.-3,3B.-3,15C.3,3D.3,15

［例4］（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8,其边长是方程7-9.计20=0

的一个根，则该菱形的周长为（）

A.40B.16C.16或20D.20

【变式4-1］（2021秋•晋江市期末）方程7-7x+10=0的两根是等腰三角形的底边长和腰

长，则该等腰三角形的周长为（）

A.9B.10C.12D.9或12

【变式4-2］（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程

2-7x+10=0的一个根，则矩形ABCD的面积为（）

A.?76B.12C.8血D.86或5vli

【变式4-3］（2021秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程,-%+20=0的

两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）

A.3R.A/41C.3或D.S或

【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：

（1）2-20=（）.（2）2（3）2?-4.r-16=0.

X+8XX.AX_A=Q

【变式5-1］（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：』・4.”3=0.

【变式5-2］（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：8%+13=0.

【变式5-3］（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3?+4x-7=0

【考点3解一元二次方程-公式法】

【例6】用公式法解下列方程：

（1）ZV2+5X-1=0（2）6.v（x+l）=5x-l

【变式6-1］（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2/-l=4x.

【变式6-2］（2021春♦东平县期中）解方程：/+5=2通x（用公式法解）；

【变式6-3］（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5?=7-2x.

专题2L2解一元二次方程（知识解读）

【直击考点】

【老酎目标】

4、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程;

5、理解并掌握用配方法解一元二次方程；

6、理解并掌握用公式法解一元二次方程；

【初钠点梳理】

考点1解一元二次方程一直接开方：

（1）如X'P（p2°）或（nx+m）匕P（〃NO）的一元二次方程可直J舔住直接开平方解

一元二次方程。

（2）如果化成x2=P的形式，那么可微=±而

（3）如果方程能化成（0\+加）2=〃（/*（））的形式，那么nx+m=±而，进而得出方程的根

注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数

<4）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程

（5）方法是根据平方根的意义开平方

考点2解一元二次方程-配方法：

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0化W0）的一般步骤是：

①化为一般形式：

②移项，将常数项移到方程的右边：

③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方：化原方程为（x+a）2=b的形式;

⑤如果b20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b《0,则原方程无解.

总结：

’依据：平方根的定义

此直接开乎方法：戈?=pS2。）1.二次项系数化为1

方＞关甄2.方程两边都加上一次项系数一半的平方

法3.降次，转化为一元一次方程

配方法：（X+M-=〃（〃20）

重点：配成完全平方式

考点3解一元二次方程-公式法：

用公式法求一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式a*。版+c=0,确定a、b、c的值（注意符号）

（2）求出判别式△=b°—4ac的值，判断根的情况

（3）在△=1^-42（:20（注：此处1读“德尔塔”）的前提F,把a、b、c的值代入公式

x二一1土6「土招-4砒进行计算,求出方程的根。

2a2a

【典例今折】

【考点1解一元二次方程-直接平方】

【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程7-左=0的一个根，则&

的值是（）

A.2B.4C.-2D.±2

【答案】B

【解答】解：把x=2代入』-2=0得4・2=0,

解得&=4.

故选：B.

【变式1-11（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x-22）2=0的根为（）

A.X\=X2=22B.xi=x2=~22

C.A,i=0,xi=22D.xi="229X2=22

【答案】A

【解答】解：•・•（x-22）2=0,

Ax-22=022=0,

解得：X]=X2=22,

故选：A.

【变式1-2]（2021秋•金牛区期末）已知关于工的一元二次方程W-，〃=0的一个根是-1,

则in的值为（）

A.2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解答】解：把X=-1代入方程X2-m=0得I-"7=0,

解得卅=1.

故诜：D.

【变式1-3]（2021秋•井研县期末）若方程（1-1）2=加有解，则〃?的取值范围是（）

A.机WOB.m2。C.m<0D.m>0

【答案】B

【解答】解：根据题意得用20时，方程有实数解.

故选：B.

【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：

（1）（2x-1）2=-8；（2）64（1+1）2=81.

【答案】（1）无解（2）川=2，X2=-工

88

【解答】解：（1）v（2v-1）2=-8<0,

・••方程无实数根；

（2）V64（x+1）2=81,

:.（x+l）2=©1,

64

【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x7）2-9=0.

2

_1J7

【答案】xl=8,x2=-8

2

【解答】解：2(x-1)2-2=0,

a

移项，得2(x-1)2=2,

9

(x-1)2=4,

±2

开方，得x-1=2,

_5_1

解得：xl=2,x2=-2.

【变式2】(2021秋•岚皋县期末)解方程：(x-I)2-25=0.

【答案】巾=6,X2=-4.

【解答】解:V(x-1)2-25=0,

J(X-1)2=25.

Ax-1=5或x-1=-5,

则川=6,X2=-4.

【考点2解一元二次方程-配方法】

【例3】(2022•瑞安市一模)用配方法解方程.r2-©-5=。时，配方结果正确的是()

A.(%-2)2=iB.(x-2)2=-1C.(x-2)2=9D.(%-2)2=-9

【答案】C

【解答】解：方程移项得：/-4x=5,

配方得：Jr2-4.r+4=9,即(x-2)2=9.

故选：C.

【变式3-1](2021秋•渝中区校级期末)一元二次方程--6/+1=()配方后可化为()

A.(K+3)2=2B.(x-3)2=8C.(x-3)2=2D.(x-6)2=35

【答案】B

【解答】解：:/-61+1=0,

-6x=-1,

则x2-6.r+9=-1+9,即(x-3)2=8.

故选：B.

【变式3-2](2021秋•陵水县期末)将一元二次方程7-21-3=0化成(户人)2=女的形

式，则攵等于(

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解答】解：/-2x-3=O,

7-2x=3,

x2--2x+l=3+l,

（x-1）2=4,

・M=4,

故选：D.

【变式3-3]（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程』-6x+6=0化成（/〃）2=匕的形式，

则。，。的值分别是（）

A.-3,3B.-3,15C.3,3D.3,15

【答案】A

【解答】解：方程«・6计6=0,

移项得：x2-6x=-6,

配方得：x2-6X+9=3,即（x-3）2=3,

,；一元二次方程，-6工+6=0化成（x+a）2=b的形式，

•・•〃=-3,b=3.

故选：A.

【例4】（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8,其边长是方程/-9x+20=0

的一个根，则该菱形的周长为（）

A.40B.16C.16或20D.20

【答案】D

【解答】解：方程，-9x+20=0,

分解因式得：（A-4）（x-5）=0,

所以x-4=0或x-5=0,

解得：川=4,4=5,

当边长为4时，4+4=8,不能构成三角形，舍去；

当边长为5时，5+5>8,此时菱形的周长为20,

则该菱形的周长为20.

故选：D.

【变式4-1］（2021秋•晋江市期末）方程/-7x+10=0的两根是等腰三角形的底边长和腰

长，则该等腰三角形的周长为（）

A.9B.10C.12D.9或12

【答案】C

【解答】解：？-7x+10=0,

（x-5）（X-2）=0,

『5=0或x-2=0,

所以xi=5,X2=2,

因为2+2=4V5,

所以等腰三角形的腰长为5,底边长为2,

所以等腰三角形的周长为5+5+2=12.

故诜：C.

【变式4-2］（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6,边的长是方程

/-7x+10=0的一个根，则矩形ABCD的面积为（）

A.?76B.12C.8血D.86或5vli

【答案】D

【解答】解：方程:-7x+10=0,

分解因式得：（x-2）（x-5）=0,

所以x-2=0或x-5=0,

解得：x=2或x=5,

当x=2,即48=2时，

根据勾股定理得：8C=/5，=4加，此时矩形A8C。面积为8近；

当x=5,即48=5时，

根据勾股定理得：8。=后，=/11，此时矩形A8C。面积为5d五.

故选：。.

【变式4-3］（2021秋•香洲区期末）已知一个宜角三角形的两边长是方程/-9x+20=0的

两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）

A.3B.VHC.3或JUD.5或

【答案】D

【解答】解：・・・f-9户20=0,

工(x-4)(x-5)=0,

贝I]A-4=0或x-5=0.

解得XI=4,,<2=5,

若4、5均为直角边长度，则斜边长度为｛42+52=

若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5,

故选：D.

【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：

【答案】(1)XI=2,X2=-10.(2)xx=工.(3)xi=4,xi=-2

X1223

【解答】解：(1)移项得：?+8r=20.

配方得：?+8x+16=20+16,即(x+4)2=36,

开方得：x+4=±6,

解得：内=2,X2=-10.

(2)移项得：^+—.\=—,

配方得:

7+144，即（X至）=^44

开方得:

12~12

解得:1_2

2,乂2一力

(3)化简得：』・2"8=0,

.?-2r=8,

x2-2r+I=8+l,即(A-1)2=9,

Ax-1=±3,

-1=3或x-1=-3,

.*.xi=4,x2=-2.

【变式5-1](2021秋•二道区期末)用配方法解方程：』-4x-3=0.

【答案】川=2+近，北=2-夜.

【解答】解：移项得』-4x=3,

配方得x2-41+4=3+4,即(x-2)2=7,

开方得、-2=±巾，

所以川=2+邛，X2=2-VV-

【变式5-2]（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：8x+13=0.

【答案】刘=«+4,.<2=-V3+4

【解答】解：x2-8x+13=0,

移项,得：«・81=-13,

配方，得：/-8戈+16=-13+16,

即（x-4）2=3,

开方，得：x・4=±«,

/.ri=V^+4.r2=-\^3+4.

【变式5-3]（2021春•东平县期中）用配方法解方程：37+4x-7=0

【答案】X1=l,X2=~.

3

【解答】解：3?+4x-7=0,

3『+4不=7,

%2+生•=工,

33

X2+,i.v+(Z)2d(2)2,

3333

225

(x+2)=

3百，

x+—=±5>

33

7

XI=1,X2=--.

3

【考点3解一元二次方程-公式法】

【例6】用公式法解下列方程:

(1)2x1+5x-1=0(2)6x(x+1)=5A-1

【答案】(1)川=字退(2