2026高考数学复习（湘教版）第七节 概率与统计的综合问题

第七节概率与统计的综合问题

题型一频率分布直方图与分布列的综合问题

典例0

全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，

学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了

如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3；2：1.

频率

组距

0.0125

0.0075

0U^_J--------------------------------►

20406080100120时间/分钟

⑴根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均

值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

⑵开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的

方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学

生日均阅读时间处于［80,100）的人数记为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

解：（1）设后三个小矩形的高度分别为3%2%a,

由题知：（3〃+2"a+0.0125+0.0075）x20=1,解得°=0.005,所以各组频率分别为

0.15,0.25,0.3,0.2,0.1.

日均阅读时间的平均数为30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67（分

钟）.

（2）由题意,在［60,80）,［80,100）,［100,120］三组分别抽取3,2,1人,

X的可能取值为0,1,2,

则P（AM））笔蒋P（AH）笔

C65C65

P（六2）=*.

所以X的分布列为:

Z012

131

P---

555

E（㈤=0x1#］x3以令1L

OOO

・规律方法・

统计图表与概率综合问题的求解策略

1.正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据.

2.根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的

关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或

正态分布模型等）.

3.正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总

体或作为科学的决策与判断

对点练1.（2025•广东潮州模拟）从某企业的某种产品中随机抽取100测量这

些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.

⑴求这100件产品质量指标值的样本平均数共同一组数据用该组区间的中点值

作代表）；

⑵已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值

位于［35,45］内的产品件数，用频率估计概率，求X的分布列.

解：（1）由已知得，石10x0.015x10+20x0.040x10+30x0.025x10+40x0.020x10=25.

（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于［35,45］内的概率为0.2,所以腔8（3,

0.2),

因为X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=(1-0.2>=0.512,

P(X=l)=C1xO.2X(1-0.2)2=0.384,

P(X=2)=C|xO.22x(l-0.2)=0.096,

Pg)=0.23=0.008.

所以X的分布列为

y0123

P0.5120.3840.0960.008

学生用书■第304页

题型二回归模型与分布列的综合问题

典例日(2025•江苏南京六校联考)某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物

成分的含量N单位：mg)与药效指标值M单位：m)之间的关系，该公司研发部门

进行了20次试验，统计得到一组数据即2,…，20),其中孙乂分别

表示第/次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中y

20202020

与X之间具有线性相关关系，且2%产60,200,£xf=260,£yf=81000,

i=li=l£=1i=l

20

2砂,=4400.

i=l

A八A

⑴求歹关于X的经验回归方程y=bx+Q；

⑵该公司要用4与8两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设

备8的2倍，设备4生产药品的不合格率为0.009,设备B生产药品的不合格率

为0.006,且设备A与8生产的药品是否合格相互独立.

①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产

的概率.

Ag(x,-x)(yry)g々y厂呵

参考公式：b*---------上------

2〃刃9国干HO疝2

a=y-bx.

1201120[

解：⑴百吟X.X60=3,y-xl200=60z

Gep,上热问（力-刃_苫听际_4400-20X3X601.

所以-g（々㈤2―1布一260-20X32「，

i=l1=1

AA____A

a=y~bx=60-10x3=30,所以y关于x的经验回归方程为y=10x+30.

⑵设事件/表示“随机取一件药品来自设备4生产”，事件3表示“随机取一

件药品来自设备8生产”，事件。表示“所抽药品为不合格品”，

①因为设备A的生产效率是设备B的2倍,

所以0(4)=|,P⑻*

P(C\A)=0.009,P(C\B)=0,006,

oi

所以P(C)=P(4)・P(C\A)+P(B)・P(C|8)=jx0.009g0.006=0.008.

2

PG4)P(q4)_§x°.0°9_3

②P(4Q=

P(C)0.0084

所以三件不合格品中至少有两件是设备/生产的概率为尸=或停¥《（（）3卷.

・规律方法・

回归分析与概率综合问题的解题思路

1.此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即（1）求经验回归方程

（预测）；（2）求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等.

2.充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是

非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确

运算的目的

3.明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.

对点练2.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐

建“悦读小屋”.自2019年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.

下表是对2019年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：

年份20192020202120222023

年份代码X12345

年借阅量y（册）3692142

5

（参考数据：£%=290）

i=i

⑴在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X,求X

的分布列和数学期望£（出；

（2）通过分析散点图的特征后，计划分别用①於3517和②£=5/+机两种模型作

为年借阅量），关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型

②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

解：（1）由题知，5年的借阅量的平均数为等58.

又"+>2=290-36-92-142=20,

则巾<58,”<58,

所以低于平均值的有3个，

所以X服从超几何分布，

k2-k

。（六%）坤ccTQ0,1,2）,

Ls

2

263

-

所以P(X=O)=造2-

55

C510

所以X的分布列为

X012

133

P

10510

所以印0=0x捽ix|+2*=1.

⑵因为X产％”，月T=58,

所以58=5x11+tn,即m=3.

所以模型②的经验回归方程为85r+3,

根据模型①的经验回归方程可得

AAAAA

71=-12,¥7=23,乃=58,%=93,y5=128r

根据模型②的经验回归方程可得

AAAA八A

91=8,夕2=23,9398,夕4=83,95=128,

因为［(yi+12)2+3-23)4(36~58产+(92-93)2+(142-128)2H(yi-8)2+O-23)2+(36-48)2

+(92-83)2+(l42-128网=8+12)2-(y\-8)2+222-122+l2-92=4Qy^34Q,且yi20,

所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更

好.

学生用书I第305页

题型三独立性检验与分布列的综合问题

典例§(2025•湖北七市州调研)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统

计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学

在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表:

一周参加体育锻炼次数0丁234567合计

男生人数1245654330

女生人数4556432130

合计579111086460

⑴若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余

的称为“不经常锻炼”.请完成以下2x2列联表，并依据小概率值奸0.I的独立

性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

⑵若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻

炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，

其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求E(X)和。(X)；

⑶若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了

解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈,

设抽取的3人中男生人数为匕求丫的分布列和数学期望.

n/_L7n(ad-bc)2,,,,,

附.■—————〃=。+人+c+d

八(Q+6)(c+d)(Q+c)(b+d)'

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：⑴根据统计表格数据可得列联表如下:

锻炼

性别aIT

不经常经常

男生72330

女生141630

合计213960

零假设为儿：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关,

根据列联表的数据计算可得

_60(7X16~23X14)2_60X(7X30)2_140

2

Z21x39x30x30~21x39x30x3039~23.590>2.706=3」.

根据小概率值kO.I的独立性检验，推断〃。不成立，即性别因素与学生体育锻

炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.

(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，

易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P备

即可得长420,套)，故E(X)=20x*=|,P(X)=20x^xll=||.

(3)易知10名“运动爰好者”有7名男生，3名女生，

所以丫的所有可能取值为0,1,2,3；且丫服从超几何分布，

D/VnA1zC)Ci217—C?Cj21x321

夕(丫=°)=落=砺，尸D”v=i)=篇=砺=而，尸D"=2)=豆=村=而，

-2)_/」_35_7

P(1Y；

Cf012024-

故所求分布列为：

Y0123

P17217

r

120404024

所以后⑺小会嗡取土」.

・规律方法・

独立性检验与概率综合问题的解题思路

本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率问题的综合，解决该类问题

首先收集数据列出2x2列联表，并按照公式求得*的值后进行比较，其次按照随

机变量满足的概率模型求解.

学生用书1第306页

对点练3.(2025•江苏徐州适应性测试)某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况

进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太

主动预习两类,设事件力：学习兴趣高,事件B：主动预习.据统计显示,P(Z|面V，

PG4陪，P(呜

(1)计算P(4)和尸(川8)的值，并判断A与B是否为独立事件；

(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容

量为〃?(〃z£N+)的样本，利用独立性检验，计算得*1.350.为提高检验结论的可

靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得学习兴趣与主动预习犯错误

的概率不超过0.005,试确定t的最小值.

2

附：/=n(ad-bc)其中〃=a+6+c+D.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：⑴由已知尸(4|5)=1-P(彳⑻=1专,

pm=\-p(A\B)=\-^.

又因为P(8)W，所以尸(万尸1-0(8尸1-吴，

所以尸(4尸P⑻4(川田+P(万)・P(4找x胃,

又P(力5)=P(4出)・尸(8)=3舁，

什D。

所以P(AB),P(A)P(B),所以4与3不为独立事件.

(2)假设原列联表为

兴趣高兴趣不局i总计

主动预习aba+b

不太主动预习Cdc+d

总计a+cb+do+b+c+d

根据原数据有黑:篙黑2)」35.

若将样本容量调整为原来的/(WN.)倍,

则新的列联表为

兴趣高兴趣不高总计

主动预习tatbt(a+b)

不太主动预习tctdt(c+d)

总计t(a+c)t(b+d)t(a+b+c+d)

则%:ZX案黑谭黑鬻435皿879,解得后5.84,

又/£N+,所以/的最小值为6.

课时测评85概率与统计的综合问题箫芸

(时间：60分钟满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)

研综合运用练

1.(17分)(2025•安徽黄山模拟)某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数

学成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[30,50),[50,70),

110,130),[130,150],

⑴求图中。的值，并根据频率分布直方图，估计这I000名学生的这次考试数

学成绩的第85百分位数；(7分)

(2)从这次数学成绩位于［50,70),［70,90)的学生中采用比例分配的分层随

机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间

［70,90)的人数记为X,求X的分布列及数学期望.(10分)

解：(1)由频率分布直方图可得(0.0025+0.0075+0.015x2+24)x20=1,解得

a=0.005.

前四个矩形的面积之和为(0.0025+0.0075+2x0.015)x20=0.8,

前五个矩形的面积之和为0.8+0.005x20=0.9,

设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为加，

则0.8+(mT10)x0.005=0.85,解得〃尸120,

因此，这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.

(2)数学成绩位于［50,70),(70z90)的学生人数之比为0.0075；0.015=1：2,

所以，所抽取的9人中，数学成绩位于回，70)的学生人数为9x1=3,

数学成绩位于［70,90)的学生人数为9x(=6,

由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)斗出,P(X=1)-'号-3

八」'7Cl841'7141

P(X=2)-日岁—P(X=3)=^-.

所以随机变量X的分布列为：

所以现XAOxHx.x导3导2.

2.（17分）（2025•湖南长沙调研）随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来

越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖

南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱.某水果

店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

试销单价M元）34567

产品销量M件）201615126

⑴经计算相关系数—-0.97,变量x,y线性相关程度很高，求y关于x的经验

回归方程；（7分）

（2）用⑴中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对

值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3

个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数Y的分布列和数学期望.（10分）

AAAZ（xrxXyry）AA

参考公式：线性回归方程中b,a的最小二乘估计分别为b——a=y-bx.

2

Z（xrx）

1=1

解：（1）由已知，得3+4+：+6+7―5,解2。+16+；5+12+6_13.8,

55

£砂尸313,£xf=I35,

i=li=l

5__5

AZ(xrx)(yry)Ixiyr5xy

贝加士看—.1=1

zs-郎

i=l1=1

-'313-5x5x13.8,-r32——<2_

135-5X5210•'

A八

所以5=13.8-(-3.2)x5=29.8,

所以夕=32x+29.8.

⑵当x=3时，£=20.2；当x=4时，y=17；

当x=5时，£=13.8；当x=6时，£=10.6；

当-7时，y=7.4.

因此该样本的残差绝对值依次为02,1,1.2,1.4,1.4,

所以“次数据”有2个.

“次数据”个数X可能取值为0,1,2.

c2c1

「3132

3

尸尸阳尸55

L51U

P（六2）=^=^-.

'7egio

所以X的分布列为：

X0i2

133

p

To5To

所以七（㈤=0*号2击1,

■创新拓展练

3.（20分）（2025・湖南“一起考”大联考）某市教育局为了调查学生热爱数学是否

与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和〃?（加＞50）位高三学生进

行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到

如下数据：

（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全

市的高二学生中随机抽取3名学生，记X为这3名学生中热爱数学的学生人数,

求X的分布列和期望；（8分）

⑵若根据小概率值。=0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求

实数m的最小值.（12分）

附+y2=_____皿-____

HIJ，z（Q+b）（c+d）（Q+c）（b+d），

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

解：（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为DU热O爰数学的学生人数

X~B(3,|),

则。（X=0）=®3喂，P(X=1)=CX|)|(|)2噎,尸(X=2川32(154

125

3\3_27

尸(X=3

57125,

所以丫的分布列为:

X0123

8365427

rP

125125125125

所以X的期望为次X）=3x戋.

⑵因为根据小概率值圻0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关,

(B0+m)[30(m-20)-400]

所->6.635,

50x50xmxm

2

令/(zn)=(50+m)[30(m-20)-400]-6.635x50x50xwxW/贝!]/O)>0,

所以/'(m)=25(108m2-2527m-80000),

5

因为尸25(108m2—2527nl—80000)的又寸称轴为/H~J^<50且当〃尸50时,y>0,

2x108Z

所以/'(血)=25(108血2—2527m-80000)在[50,+8)上恒大于0,

所以./(m)在60,+勾上单调递增，而/(56)<0,/(57)>0,

所以实数m的最小值为57.

4.（20分）（2024•河北邯郸模拟）某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大

作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工

敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工

敬业精神和员工管理水平都满意的有50人,对员工敬业精神满意的人数是总人

数的40%,对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.

（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2x2列联表，依据小概率值a=0.01

的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联?（4

分）

项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计

对员工敬业精神满意

对员工敬业精神不满意

合计

(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬

业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期

望.(6分)

(3)在统计学中常用T(B|4)*解表示在事件4发生的条件下事件4发生的优势,

现从该企业员工中任选一人，A表示“选到对员工管理水平不满意”、8表示“选

到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计7(用力)的值.(10分)

2=

附：Z7~八'〃=a+Z?+»

A(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解：(1)由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平雨介的2x2列联表:

项目对员，管埋水平满意对员J■管埋水平不满意合计

对员工敬业精神满意503080

对员工敬业精神不满意4080120

合计90110200

零假设为〃。：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.

据表中数据计算得：广20禽鼠喘制)6498>6.635=x°o,

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断功不成立，即认为对员工敬业精

神满意与对员工管理水平满意有关联.

(2)对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为随机变量X的所有可能

取值为0,1,2,3,

其中P(X=0)=。W，

尸(x=AG,；G)V

尸(X=2)=《G)2•泠,

尸(X=3)=G)=,

所以随机变量X的分布列为:

X0123

272791

rP

64646464

则E⑶=Oxg+lx系2x?3专

p（相）

〃、丁S“、_P（BM）_-^r_P（48）」iG48）_80_8

（JIIP（B\A}P（/l＞）P（AB}nfAB}303#

P（A）

所以估计7（用力）的值为*

5.（26分）（2024•湖南永州模拟）为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽

车，某4s店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行

统计分析，得到如下列联表（〃?W40,加WN）：

购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）

男性80~m20+/?